青海省大通回族土族自治县第一完全中学2025-2026学年高二数学第一学期期末检测模拟试题含解析.doc

青海省大通回族土族自治县第一完全中学2025-2026学年高二数学第一学期期末检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在空间直角坐标系中，已知点A(1，1，2)，B(－3，1，－2)，则线段AB的中点坐标是（）
A.(－2，1，2) B.(－1，1，0)
C.(－2，0，1) D.(－1，1，2)
2．在四棱锥中，分别为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
3．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（）
A B.
C. D.6
4．已知双曲线，则双曲线M的渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知m是2与8的等比中项，则圆锥曲线x2﹣＝1的离心率是（　　）
A.或 B.
C. D.或
6．双曲线的左右焦点分别是，，直线与双曲线在第一象限的交点为，在轴上的投影恰好是，则双曲线的离心率是（）
A. B.
C. D.
7．已知椭圆的右焦点和右顶点分别为F，A，离心率为，且，则n的值为（ ）
A.4 B.3
C.2 D.
8．已知等比数列的首项为1，公比为2，则=（）
A. B.
C. D.
9．下列事件：
①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；
②某人买彩票中奖；
③从集合中任取两个不同元素，它们的和大于2；
④在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾.
其中是随机事件的个数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
10．已知向量，，若，则（）
A.1 B.
C. D.2
11．若直线与圆相交于、两点，且（其中为原点），则的值为（）
A. B.
C. D.
12．已知动圆过定点，并且与定圆外切，则动圆的圆心的轨迹是（ ）
A.抛物线 B.椭圆
C.双曲线 D.双曲线的一支
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，则函数在区间上的平均变化率为___________.
14．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l过点F斜率为的直线与抛物线C交于点M（M在x轴的上方），过M作于点N，连接NF交抛物线C于点Q，则__________
15．求值______.
16．如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，分别为的中点，连接，则点到平面的距离为__________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线上的点M到焦点F的距离为5，点M到x轴的距离为

（1）求抛物线C的方程；
（2）若抛物线C的准线l与x轴交于点Q，过点Q作直线交抛物线C于A，B两点，设直线FA，FB的斜率分别为，．求的值
18．（12分）设：函数的定义域为；：不等式对任意的恒成立
（1）如果是真命题，求实数的取值范围；
（2）如果“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围
19．（12分）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为
（1）求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程；
（2）若O是坐标原点，直线与抛物线C交于A，B两点，求的面积
20．（12分）已知数列的前项和为，满足_______
请在①；②，；③三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成上述问题．注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前项和
21．（12分）已知椭圆的离心率为，过左焦点且垂直于长轴的弦长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点为椭圆的长轴上的一个动点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，证明为定值.
22．（10分）已知抛物线的焦点为F，以F和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，过的直线交抛物线E于A，B两点
（1）求抛物线E的方程；
（2）是否存在常数，使得，如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由；
（3）证明：内切圆的面积小于
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】利用中点坐标公式直接求解
【详解】在空间直角坐标系中，
点，1，1，，
则线段的中点坐标是，，，1，
故选：B.
2、A
【解析】结合空间几何体以及空间向量的线性运算即可求出结果.
【详解】
因为分别为的中点，则,,

,
故选：A.
3、C
【解析】按照空间中点到直线的距离公式直接求解.
【详解】由题意，，，的方向向量，，则点到直线的距离为.
故选：C.
4、C
【解析】由双曲线的方程直接求出见解析即可.
【详解】由双曲线，则其渐近线方程为：
故选：C
5、A
【解析】利用等比数列求出m，然后求解圆锥曲线的离心率即可
【详解】解：m是2与8的等比中项，可得m＝±4，
当m=4时,圆锥曲线为双曲线x2﹣＝1, 它的离心率为：,
当m=-4时，圆锥曲线x2﹣＝1为椭圆，离心率：，
故选：A
6、D
【解析】根据题意的到，，代入到双曲线方程，解得，即，则，即，即，求解方程即可得到结果.
【详解】设原点为，∵直线与双曲线在第一象限的交点在轴上的投影恰好是，
∴，且，∴，
将代入到双曲线方程，可得，解得，即，
则，即，即，解得（舍负），
故.
故选:D.
7、B
【解析】根据椭圆方程及其性质有，求解即可.
【详解】由题设，，整理得，可得.
故选：B
8、D
【解析】数列是首项为1，公比为4的等比数列，然后可算出答案.
【详解】因为等比数列的首项为1，公比为2，
所以数列是首项为1，公比为4的等比数列
所以
故选：D
9、B
【解析】因为随机事件指的是在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，只需逐一判断4个事件哪一个符合这种情况即可
【详解】解：连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点这一事件可能发生也可能不发生，①是随机事件
某人买彩票中奖这一事件可能发生也可能不发生，②是随机事件
从集合，2，中任取两个元素，它们的和必大于2，③是必然事件
在标准大气压下，水加热到时才会沸腾，④是不可能事件
故随机事件有2个，
故选：B
10、B
【解析】由向量平行，先求出的值，再由模长公式求解模长.
【详解】由，则，即
则，所以
则
故选：B
11、D
【解析】分析出为等腰直角三角形，可得出原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，由此可解得的值.
【详解】圆的圆心为原点，由于且，
所以，为等腰直角三角形，且圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式可得，解得.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用圆周角求参数，解题的关键在于求出弦心距，再利用点到直线的距离公式列方程求解参数.
12、D
【解析】结合双曲线定义的有关知识确定正确选项.
【详解】圆圆心为，半径为，
依题意可知，
结合双曲线的定义可知，的轨迹为双曲线的一支.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分共20分。
13、3
【解析】根据平均变化率的定义即可计算.
【详解】设，因，，
所以.
故答案为：3
14、
【解析】由题意画出图形，写出直线的方程，与抛物线方程联立求出的坐标，进一步求出的坐标，求得即可求解
【详解】解：如图，
由抛物线，得，，则，与抛物线联立得，解得、
，，
，，
，为等边三角形，
，

过作轴的垂线交轴于，
设，
，
，
，
，
在抛物线上，
，解得，
，
，，
则，
故答案为：
15、
【解析】将原式子变形为：，将代入变形后的式子得到结果即可.
【详解】
将代入变形后的式子得到结果为
故答案为：
16、
【解析】利用转化法，根据线面平行的性质，结合三棱锥的体积等积性进行求解即可.
【详解】设是的中点，连接，因为是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因此点到平面的距离等于点到平面的距离，设为，
因为平面，所以，，
于是有，
底面为矩形，所以有，
，因为平面，所以，
于是有：，
由余弦定理可知：，
所以，
因此，
，
因为，
所以，
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）0
【解析】（1）由焦半径公式求C的方程；
（2）设直线AB方程，与抛物线方程联立，由韦达定理表示出，，代入中化简求值即可.
小问1详解】
设点，则，所以，解得
因为，所以．所以抛物线C的方程为
【小问2详解】
由题知，，，直线AB的斜率必存在，且不为零
设，，直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为，
由，得
所以，，
且，即
所以

所以的值为0
18、（1）
（2）
【解析】（1）由对数函数性质，转化为对任意的恒成立，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）利用基本不等式，求得当命题是真命题，得到，结合 “”为真命题，“”为假命题，分类讨论，即可求解.
【小问1详解】
解：因为是真命题，所以对任意的恒成立，
当时，不等式，显然在不能恒成立；
当时，则满足解得，
故实数的取值范围为
【小问2详解】
解：因为，所以，当且仅当时，等号成立
若是真命题，则；
因为“”为真命题，“”为假命题，所以与一真一假
当真假时，所以；
当假真时，所以，
综上，实数的取值范围为
19、（1）；
（2）
【解析】（1）由双曲线的渐近线方程为，可得，继而得到双曲线的右焦点为，即为抛物线的焦点坐标，可得，即得解；
（2）联立直线与抛物线，可得，再由直线过抛物线的焦点，故，三角形的高为O到直线的距离，利用点到直线公式，求解即可
【小问1详解】
由题意，双曲线渐近线方程为：，
所以，
所以双曲线E的标准方程为：
故双曲线
故双曲线的右焦点为，
所以，，
所以
【小问2详解】
由题意联立，
得，
又
所以
因为直线过抛物线的焦点，所以
O到直线的距离，

20、（1）条件选择见解析，；
（2）.
【解析】（1）选①，可得出，由可求得数列的通项公式；
选②，分析可知数列是公差为的等差数列，根据已知条件求出的值，利用等差数列的求和公式可求得数列的通项公式；
选③，在等式中令可求得的值，即可得出数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项相消法可求得.
【小问1详解】
解：选①，因为，则，则，
当时，，
也满足，所以，对任意的，；
选②，因为，则数列是公差为的等差数列，
所以，，解得，则；
选③，对任意的，，则，可得，
因此，.
【小问2详解】
解：因为，
因此，.
21、 (1)；(2)证明见解析.
【解析】(1)借助题设条件建立方程组求解；(2)依据题设运用直线与椭圆的位置关系探求.
试题解析：
（1）由，可得椭圆方程.
（2）设的方程为，代入并整理得：
.
设，，则，
同理
则
.
所以，是定值.
考点：椭圆的标准方程几何性质及直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用
【易错点晴】本题考查的是椭圆的标准方程等基础知识及直线与椭圆的位置关系等知识的综合性问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件运用椭圆的几何性质和椭圆的有关概念建立方程组,进而求得椭圆的标准方程为；第二问的求解过程中,先设直线的方程为,再借助二次方程中根与系数之间的关系，依据坐标之间的关系进行计算探求，从而使得问题获解.
22、（1）；
（2）存在，1； （3）证明见解析.
【解析】(1)根据几何关系即可求p；
(2)求解为定值1，即可求λ＝1；
(3)先求的面积，再由(为三角周长)可求内切圆半径r.
【小问1详解】
由题意焦点到准线的距离等于该正三角形一条边上的高线，因此，∴抛物线E的方程为
【小问2详解】
设直线的斜率为，直线方程为，记，
，消去，得
由，得且，，，
，
因此，即存在实数满足要求
【小问3详解】
由(2)知，，

点F到直线AB的距离，
∴的面积
记的内切圆半径为r，∵，
∴
∴内切圆的面积小于