2026届四川省乐山四中高二上数学期末统考试题含解析.doc

2026届四川省乐山四中高二上数学期末统考试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平形六面体中，其中，，，，，则的长为（ ）
A. B.
C. D.
2．不等式的解集为（）
A. B.
C.或 D.或
3．已知，若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
4．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知等比数列中，，，则该数列的公比为（）
A. B.
C. D.
6．已知空间向量，，且与互相垂直，则k的值是（）
A.1 B.
C. D.
7．点F是抛物线的焦点，点，P为抛物线上一点，P不在直线AF上，则△PAF的周长的最小值是（）
A.4 B.6
C. D.
8．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A. B.
C.2 D.
9．如图是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的n值是（ ）

A.2 B.3
C.4 D.5
10．椭圆的短轴长为（ ）
A.8 B.2
C.4 D.
11．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
12．已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则（）
A.4 B.5
C.6 D.7
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知点，点是直线上的动点，则的最小值是_____________
14．若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为___________若，则双曲线的右焦点到渐近线的距离为__________.
15．数列满足，，则______.
16．在平面直角坐标系xOy中，AB是圆O：x2＋y2＝1的直径，且点A在第一象限；圆O1：(x﹣a)2＋y2＝r2(a＞0)与圆O外离，线段AO1与圆O1交于点M，线段BM与圆O交于点N，且，则a的取值范围为_______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是岁以上人群.该病毒进入人体后有潜伏期.潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长，感染到他人的可能性越高.现对个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期平均数为，方差为.如果认为超过天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：
年龄/人数
长期潜伏
非长期潜伏
50岁以上
60
220
50岁及50岁以下
40
80
（1）是否有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；
（2）假设潜伏期服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）现在很多省市对入境旅客一律要求隔离天，请用概率知识解释其合理性；
（ii）以题目中的样本频率估计概率，设个病例中恰有个属于“长期潜伏”的概率是，当为何值时，取得最大值.
附：

0.1
0.05
0.010

2.706
3.841
6.635
若，则，，.
18．（12分）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，|AB|＝|AD|＝2，|CD|＝4，为的中点

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的正切值
19．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=2AD=4，且PC=.点E在PC上.

（1）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（2）若E为PC的中点，求直线PC与平面AED所成的角的正弦值.
20．（12分）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面ACD1的一个法向量.
21．（12分）已知函数在时有极值0.
（1）求函数的解析式；
（2）记，若函数有三个零点，求实数的取值范围.
22．（10分）已知数列为等差数列，满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和，并求的最大值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据空间向量基本定理、加法的运算法则，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】因为是平行六面体，
所以，
所以有：，
因此有：
，
因为，，，，，
所以，
所以，
故选：B
2、A
【解析】先将分式不等式转化为一元二次不等式，然后求解即可
【详解】由，得，
解得，
所以原不等式的解集为，
故选：A
3、C
【解析】根据题意，由为原点到直线上点的距离的平方，再根据点到直线垂线段最短，即可求得范围.
【详解】由，，
视为原点到直线上点的距离的平方，
根据点到直线垂线段最短，
可得，
所有的取值范围为，
故选：C.
4、B
【解析】两圆的方程消掉二次项后的二元一次方程即为公共弦所在直线方程.
【详解】由x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0两式相减
得：，即.
故选：B
5、C
【解析】设等比数列的公比为，可得出，即可得解.
【详解】设等比数列的公比为，可得出.
故选：C.
6、D
【解析】由＝0可求解
【详解】由题意
，

故选：D
7、C
【解析】由抛物线的定义转化后求距离最值
【详解】抛物线的焦点，准线为
过点作准线于点，故△PAF的周长为，
，可知当三点共线时周长最小，为
故选：C

8、A
【解析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率
【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心
，又点在圆上，
，即
，故选A

【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来
9、B
【解析】程序框图中的循环结构，一般需重复计算，根据判断框中的条件，确定何时终止循环，输出结果.
【详解】初始值：，
当时，，进入循环；
当时，，进入循环；
当时，，
终止循环，输出的值为3.
故选：B
10、C
【解析】根据椭圆的标准方程求出，进而得出短轴长.
【详解】由，可得，
所以短轴长为.
故选：C.
11、A
【解析】求出直线斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，
故直线的方程为，即.
故选：A.
12、C
【解析】利用赋值法确定展开式中各项系数的和以及二项式系数的和，利用比值为，列出关于的方程，解方程.
【详解】二项式的各项系数的和为，
二项式的各项二项式系数的和为，
因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，
所以，.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】直接根据点到直线的距离公式即可求出
【详解】线段最短时，与直线垂直，
所以，的最小值即为点到直线的距离，则.
故答案为：.
14、 ①. ②.3
【解析】由渐近线方程知，结合双曲线参数关系及离心率的定义求双曲线的离心率由已知可得右焦点为，应用点线距离公式求距离.
【详解】由题设，，则，
当时，，则双曲线为，故右焦点为，
所以右焦点到渐近线的距离为.
故答案为：，3.
15、
【解析】根据递推关系依次求得的值.
【详解】依题意数列满足，，
所以.
故答案为：
16、
【解析】根据判断出四边形为平行四边形，由此求得圆的方程以及的长，进而判断出点在圆上，根据圆与圆的位置关系，求得的取值范围.
【详解】四边形ONO1M为平行四边形，即ON＝MO1＝r＝1，
所以圆的方程为，
且ON为△ABM的中位线AM＝2ON＝2AO1＝3，
故点A在以O1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：，

故与x2＋y2＝1在第一象限有交点，即2＜a＜4，
由，解得，
故a的取值范围为(，4).
故答案为：

【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）有；（2）（i）答案见解析；（ii）250.
【解析】（1）根据列联表中的数据，利用求得，与临界表值对比下结论；
（2）(ⅰ)根据，利用小概率事件判断； (ⅱ)易得一个患者属于“长潜伏期”的概率是，进而得到，然后判断其单调性求解.
【详解】（1）依题意有，
由于，故有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；
（2）(ⅰ)若潜伏期，
由，
得知潜伏期超过天的概率很低，因此隔离天是合理的；
(ⅱ)由于个病例中有个属于长潜伏期，
若以样本频率估计概率，一个患者属于“长潜伏期”的概率是，
于是，
则，
，
当时，；
当时，；
∴，.
故当时，取得最大值.
【点睛】方法点睛：利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率
18、（1）见解析；
（2）.
【解析】(1)证明BC⊥平面BDE即可；
(2)以D为原点，DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D－xyz，求平面BMD和平面BCD的法向量，利用法向量的求二面角的余弦，再求正切﹒
【小问1详解】
∵ADEF为正方形
∴ED⊥AD
又∵正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，且ED⊂平面ADEF
∴ED⊥平面ABCD
∵BC⊂平面ABCD
∴ED⊥BC
在直角梯形ABCD中，|AB|＝|AD|＝2，|CD|＝4，
则，|BD|＝2，
在△BCD中，，
∴BC⊥BD
∵DE∩BD＝D，DE与BDÌ平面BDE，
∴BC⊥平面BDE
又∵BC⊂平面BEC
∴平面BDE⊥平面BEC；
【小问2详解】
由(1)知ED⊥平面ABCD
∵CDÌ平面ABCD，∴CD⊥ED，
∴DA，DC，DE三线两两垂直，故以D为原点，DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D－xyz：

则,
则
设为平面BDM的法向量，
则，取，
取平面BCD的法向量为，设二面角的大小为θ，
则，∴.
19、（1）证明见解析；
（2）
【解析】（1）根据题意可判断出ABCD是正方形，从而可得，再根据，由线面垂直的判定定理可得平面PAC，然后由面面垂直的判定定理即可证出；
（2）由、、两两垂直可建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出直线PC与平面AED所成的角的正弦值.
【小问1详解】
因为PA⊥底面ABCD，PA=2AD=4，PC=，所以，，即ABCD是正方形，所以，而PA⊥底面ABCD，所以，又，所以平面PAC，而平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC
【小问2详解】
由题可知、、两两垂直，建系如图，

，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，
，，，，1，，，2，，
设平面的一个法向量为，则，，
即，取，0，，
所以直线与平面所成的角的正弦值为
20、
【解析】建立空间直角坐标系，由向量法求法向量即可.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，则

设平面ACD1的法向量.
，又为平面ACD1的一个法向量
，化简得
令x=1，得y=z=1.
平面ACD1的一个法向量.
【点睛】本题主要考查了求平面的法向量，属于中档题.
21、（1）
（2）
【解析】（1）求出函数的导函数，由在时有极值0,则，两式联立可求常数a，b的值，从而得解析式；
（2）利用导数研究函数的单调性、极值，根据函数图象的大致形状可求出参数的取值范围.
【小问1详解】
由可得，
因为在时有极值0，
所以，即，解得或，
当时，，
函数在R上单调递增，不满足在时有极值，故舍去.
所以常数a，b的值分别为.
所以.
【小问2详解】
由（1）可知，
，
令，解得，
当或时，当时，，
的递增区间是和，单调递减区间为，
当有极大值，
当有极小值，
要使函数有三个零点，则须满足，解得.
22、（1）
（2），45
【解析】（1）由等差数列的通项列出方程组，得出通项公式；
（2）先得出，再由二次函数的性质得出最大值.
【小问1详解】
由，解得，即
【小问2详解】
，二次型函数开口向下，对称轴为，
则当或时，有最大值45.