2025年黑龙江绥化一中数学高一第一学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025年黑龙江绥化一中数学高一第一学期期末质量跟踪监视试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的图象可能是（）
A. B.
C. D.
2．已知点P(1，a)在角α的终边上，tan＝－则实数a的值是（）
A.2 B.
C.－2 D.－
3．若函数的最大值为，最小值为－，则的值为
A. B.2
C. D.4
4．函数的图象的一个对称中心是（）
A B.
C. D.
5．已知函数则
A. B.
C. D.
6．已知集合，，，则
A. B.
C. D.
7．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（）
A.R B.
C. D.
8．已知集合，集合，则A∩B＝（）
A. B.
C. D.
9．若，则　　
A. B.
C. D.
10．如图所示，正方体中，分别为棱的中点，则在平面内与平面平行的直线

A.不存在 B.有1条
C.有2条 D.有无数条
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知圆,圆,则两圆公切线的方程为__________
12．已知集合，.若，则___________.
13．若f(x)为偶函数，且当x≤0时，，则不等式＞的解集______.
14．某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租金应该定为__________
15．已知，函数在上单调递增，则的取值范围是__
16．幂函数f（x）的图象过点（4，2），则f（x）的解析式是______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．求函数的定义域、值域与单调区间；
18．某汽车配件厂拟引进智能机器人来代替人工进行某个操作，以提高运作效率和降低人工成本，已知购买x台机器人的总成本为（万元）

（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？
（2）现按（1）中求得的数量购买机器人，需要安排m人协助机器人，经实验知，每台机器人的日平均工作量（单位：次），已知传统人工每人每日的平均工作量为400次，问引进机器人后，日平均工作量达最大值时，用人数量比引进机器人前工作量达此最大值时的用人数量减少百分之几？
19．设函数，将该函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，函数的图象关于y轴对称.

（1）求的值，并在给定的坐标系内，用“五点法”列表并画出函数在一个周期内的图象；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）设关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围
20．在边长为2的菱形中，，为的中点.

（1）用和表示；
（2）求的值.
21．已知n为正整数，集合，对于中任意两个元素和，定义：；.
（1）当n=3时，设，，写出α-β，并计算；
（2）若集合S满足，且，，，求集合S中元素个数的最大值，写出此时的集合S，并证明你的结论；
（3）若α，，且，任取，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】令,可判断出g(x)的图象就是将h(x)的图象向上平移一个单位，由图像的对称性即可得到答案.
【详解】令则,
即g(x)的图象就是将h(x)的图象向上平移一个单位即可.
因为h(-x)=f(-x)-f(x)=-h(x),即函数h(x)为奇函数,图象关于原点对称,
所以的图象关于(0,1)对称.
故选：C
2、C
【解析】利用两角和的正切公式得到关于tan α的值，进而结合正切函数的定义求得a的值.
【详解】∵，
∴tan α＝－2，
∵点P(1，a)在角α的终边上，
∴tan α＝＝a，
∴a＝－2.
故选：C.
3、D
【解析】当时取最大值
当时取最小值
∴，则
故选D
4、B
【解析】利用正弦函数的对称性质可知，，从而可得函数的图象的对称中心为，再赋值即可得答案
【详解】
令，，解得：，.
所以函数的图象的对称中心为，.
当时，就是函数的图象的一个对称中心，
故选：B.
5、A
【解析】，.
6、D
【解析】
本题选择D选项.
7、C
【解析】设，点代入即可求得幂函数解析式，进而可求得定义域.
【详解】设，因为的图象过点，
所以，解得，则，
故的定义域为
故选：C
8、B
【解析】化简集合B，再求集合A,B的交集即可.
【详解】∵集合，集合，
∴.
故选：B.
9、D
【解析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式把要求的式子化为，把已知条件代入运算，求得结果．
【详解】，，
故选D．
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．
10、D
【解析】根据已知可得平面与平面相交，两平面必有唯一的交线，则在平面内与交线平行的直线都与平面平行，即可得出结论.
【详解】平面与平面有公共点，
由公理3知平面与平面必有过的交线，
在平面内与平行的直线有无数条，
且它们都不在平面内，
由线面平行的判定定理可知它们都与平面平行.
故选：D.
【点睛】本题考查平面的基本性质、线面平行的判定，熟练掌握公理、定理是解题的关键，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】圆，圆心为(0,0)，半径为1；
圆，圆心为4,0)，半径为5.
圆心距为4=5-1，故两圆内切.
切点为(-1,0)，圆心连线为x轴，所以两圆公切线的方程为，即.
故答案.
12、
【解析】根据给定条件可得，由此列式计算作答.
【详解】因集合，，且，于是得，即，解得，
所以.
故答案为：
13、
【解析】由已知条件分析在上的单调性，利用函数的奇偶性可得，再根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】 f(x)为偶函数，且当x≤0时，单调递增，
当时，函数单调递减，
若＞， f(x)为偶函数，，
，同时平方并化简得，解得或，
即不等式＞的解集为.
故答案为：
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用属于中档题.
14、4050
【解析】设每辆车的月租金定为元，则租赁公司的月收益：
当时， 最大，最大值为，即当每车辆的月租金定为元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是，故答案为.
【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及几何概型概率公式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.解答本题的关键是：将租赁公司的月收益表示为关于每辆车的月租金的函数，然后利用二次函数的性质解答.
15、
【解析】本题已知函数的单调区间，求参数的取值范围，难度中等．由，得，又函数在上单调递增，所以，即，注意到，即，所以取，得
考点：函数的图象与性质
【方法点晴】已知函数为单调递增函数，可得变量的取值范围，其必包含区间，从而可得参数的取值范围，本题还需挖掘参数的隐含范围，即函数在上单调递增，可知，因此，综合题
16、
【解析】根据幂函数的概念设f（x）=xα，将点的坐标代入即可求得α值，从而求得函数解析式
【详解】设f（x）=xα，
∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），
∴4α=2
∴α=
这个函数解析式为
故答案为
【点睛】本题主要考查了待定系数法求幂函数解析式、指数方程解法等知识，属于基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、定义域为，值域为，递减区间为，递增区间为.
【解析】由函数的解析式有意义列出不等式，可求得其定义域，由，结合基本不等式，可求得函数的值域，令，根据对勾函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，可求得函数的单调区间.
【详解】由题意，函数有意义，则满足且，
因为方程，所以，解得，
所以函数的定义域为
又由，
因为，所以，
当且仅当时，即时，等号成立，所以，
所以函数的值域为，
令，
根据对勾函数的性质，可得函数在区间上单调递减，在上单调递增，
结合复合函数的单调性的判定方法，可得在上单调递减，在上单调递增.
18、（1）8台 （2）
【解析】（1）根据题意将问题转化为对的求解，利用基本不等式即可；
（2）先求出一台机器人的最大日工作量，根据最大工作量再求出所需要的人数，通过比较即可求解.
【小问1详解】
由题意
当且仅当，即时，等号成立，
所以应购买8台，可使每台机器人的平均成本最低
【小问2详解】
由，
可得当时，，
所以时，
每台机器人的日平均工作量最大时，安排的人工数最小为20人，
而此时人工操作需要的人工数为，
所以可减少
19、（1），图象见解析；
（2）
（3）
【解析】（1）化简解析式，通过三角函数图象变换求得结合关于轴对称求得，利用五点法作图即可；
（2）利用整体代入法求得的单调递增区间.
（3）化简方程，利用换元法，结合一元二次方程根的分布求得的取值范围.
【小问1详解】

.
所以，将该函数的图象向左平移个单位后得到函数，
则，
该函数的图象关于轴对称，可知该函数为偶函数，
故，，解得，.
因为，所以得到.
所以函数，
列表：

0

0

0

作图如下：
【小问2详解】
由函数，
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为
【小问3详解】
由（1）得到，
化简得，
令，，则.
关于的方程，即，
解得，.
当时，由，可得；
要使原方程在上有两个不相等的实数根，则，
解得.
故实数的取值范围为.
20、 (1) ； (2)-1
【解析】（1）由平面向量基本定理可得：.
（2）由数量积运算可得：，运算可得解.
【详解】解：（1）.
（2）
【点睛】本题考查了平面向量基本定理及数量积运算，属基础题.
21、（1），
（2）最大值是4，此时或，证明见解析
（3）
【解析】（1）根据定义直接求解即可；
（2）根据定义，结合反证法进行求解即可；
（3）根据定义，结合绝对值的性质进行证明即可.
【小问1详解】
，.
【小问2详解】
最大值是4.
此时或.
若还有第5个元素，则必有，和，和，和，之一出现，其对应的，不符合题意.
【小问3详解】
证明：设，，，
所以，，，，（）
从而，
又，
当时，；
当时，.
所以，
所以.
【点睛】关键点睛：运用分类讨论法、反证法是解题的关键.