北京市北方交大附中2026届高一上数学期末质量检测模拟试题含解析.doc

北京市北方交大附中2026届高一上数学期末质量检测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图所示，已知全集，集合则图中阴影部分表示的集合为（）

A. B.
C. D.
2．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即的面积，其中分别为的内角的对边，若，且，则的面积的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
3．设，，，则，，的大小关系为（）
A. B.
C. D.
4．下列函数中，与的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是（ ）
A. B.
C. D.
5．关于的一元二次不等式的解集为（）
A.或 B.
C.或 D.
6．函数的零点所在的区间是
A. B.
C. D.
7．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
8．设，，，则（）
A. B.
C. D.
9．已知三棱锥的三条棱,,长分别是3、4、5，三条棱,,两两垂直，且该棱锥4个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是
A B.
C. D.都不对
10．若幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是(　　)
A.(0，＋∞) B.[0，＋∞)
C.(－∞，＋∞) D.(－∞，0)
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数，则________
12．直线与直线平行，则实数的值为_______.
13．已知球O的内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则球O的表面积为_
14．已知函数，若函数图象恒在函数图象的下方，则实数的取值范围是__________.
15．若两平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的距离不大于,则k的取值范围是____
16．已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在①函数的图象向右平移个单位长度得到的图像，图像关于对称；②函数这两个条件中任选一个，补充在下而问题中，并解答.
已知______，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）若在上的值域为，求a的取值范围；
（2）求函数在上的单调递增区间.
18．如图甲，直角梯形中，，，为的中点，在上，且，现沿把四边形折起得到空间几何体，如图乙.在图乙中求证：

（1）平面平面；
（2）平面平面.
19．已知函数，
（1）求函数最小正周期以及函数在区间上的最大值和最小值；
（2）将函数图象的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若，求实数的取值范围
20．已知（）.
（1）当时，求关于的不等式的解集；
（2）若f（x）是偶函数，求k的值；
（3）在（2）条件下，设，若函数与的图象有公共点，求实数b的取值范围
21．已知两个非零向量和不共线，，，
（1）若，求的值；
（2）若A、B、C三点共线，求的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据文氏图表示的集合求得正确答案.
【详解】文氏图表示集合为，
所以.
故选：A
2、A
【解析】先根据求出关系，代入面积公式，利用二次函数的知识求解最值.
【详解】因为，所以，
即；
由正弦定理可得，所以
；
当时，取到最大值.
故选：A.
3、D
【解析】根据指数函数和对数函数的单调性，再结合0,1两个中间量即可求得答案.
【详解】因为，，，所以.
故选：D.
4、C
【解析先求得函数的奇偶性和单调性，结合选项，利用函数的性质和单调性的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，函数满足，所以函数为偶函数，
当时，可得，
结合指数函数的性质，可得函数为单调递增函数，
对于A中，函数为奇函数，不符合题意；
对于B中，函数为非奇非偶函数函数，不符合题意；
对于C中，函数的定义域为，
且满足，所以函数为偶函数，
设，且时，
则
，
因为且，所以，
所以，即，
所以在为增函数，符合题意；
对于D中，函数为非奇非偶函数函数，不符合题意.
故选：C.
5、A
【解析】根据一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出结果.
【详解】由得，解得或
即原不等式的解集为或.
故选：A.
6、B
【解析】∵，，，，
∴函数的零点所在区间是
故选B
点睛：函数零点问题，常根据零点存在性定理来判断，如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有，那么，函数在区间内有零点，即存在使得 这个也就是方程的根．由此可判断根所在区间.
7、B
【解析】首先求出、，即可判断，再利用作差法判断，即可得到，再判断，即可得解；
【详解】解：由，所以，可知，又由，有，又由，有，可得，即，故有.
故选：B
8、C
【解析】根据指数函数和对数函数的单调性判断，，的范围即可比较的大小.
【详解】因为，即，
，即，
，即，
所以，
故选：C.
9、B
【解析】长方体的一个顶点上的三条棱分别为，且它的八个顶点都在同一个球面上，则长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为
球的半径为
则这个球的表面积为
故选
点睛：本题考查的是球的体积和表面积以及球内接多面体的知识点．由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积即可
10、D
【解析】设幂函数为y=xa，把点(2,)代入，求出a的值，从而得到幂函数的方程，再判断幂函数的单调递增区间.
【详解】设y＝xa，则＝2a，解得a＝－2，
∴y＝x－2其单调递增区间为(－∞，0)
故选D.
【点睛】本题考查了通过待定系数法求幂函数的解析式,以及幂函数的主要性质.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用函数的解析式可计算得出的值.
【详解】由已知条件可得.
故答案为：.
12、
【解析】根据直线一般式，两直线平行则有，代入即可求解.
【详解】由题意，直线与直线平行，
则有

故答案为：
【点睛】本题考查直线一般式方程下的平行公式，属于基础题.
13、
【解析】根据内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，确定球O的半径，再由球的表面积公式即得。
【详解】由题得，圆柱底面直径为2，球的半径为R，球O的内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的轴截面的对角线即为球的直径，故，则球的表面积.
故答案为：
【点睛】本题考查空间几何体，球的表面积，是常见的考题。
14、
【解析】作出和时，两个函数图象，结合图象分析可得结果.
【详解】当时，，，
两个函数的图象如图：

当时，，，
两个函数的图象如图：

要使函数的图象恒在函数图象的下方，由图可知，，
故答案为：.
15、
【解析】利用平行线之间的距离及两直线不重合列出不等式，求解即可
【详解】y＝﹣2x﹣k﹣2的一般式方程为2x+y+k+2＝0，
则两平行直线的距离d
得，|k+6|≤5，解得﹣11≤k≤﹣1，
当k+2＝﹣4，即k＝﹣6，此时两直线重合，
所以k的取值范围是
故答案为
【点睛】本题考查了两平行直线间的距离，考查两直线平行的条件，考查计算能力，属于基础题.
16、
【解析】由题意在上单调递减，又是偶函数，
则不等式可化为，则，，解得

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2），，.
【解析】先选条件①或条件②，结合函数的性质及图像变换，求得函数，
（1）由，得到，根据由正弦函数图像，即可求解；
（2）根据函数正弦函数的形式，求得，，进而得出函数的单调递增区间.
【详解】方案一：选条件①
由函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为可得，解得，
所以，
又由函数的图象向右平移个单位长度得到，
又函数图象关于对称，可得，，
因为，所以，所以.
（1）由，可得，
因为函数在上的值域为，
根据由正弦函数图像，可得，解得，
所以的取值范围为.
（2）由，，可得，，
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得，
所以函数在上的单调递增区间为，，.
方案二：选条件②：
由
，
因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，可得，所以，
可得，
又由函数的图象向右平移个单位长度得到，
又函数图象关于对称，可得，，
因为，所以，所以.
（1）由，可得，
因为函数在上的值域为，
根据由正弦函数图像可得，解得，
所以的取值范围为.
（2）由，，可得，，
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得，
所以函数在上的单调递增区间为，，.
【点睛】解答三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先将已知条件化为或的形式，然后再根据三角函数的基本性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质.
18、（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】（1）证明出平面，平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）证明出平面，可得出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立.
【小问1详解】
证明：翻折前，，翻折后，则有，，
因为平面，平面，平面，
因为平面，平面，平面，
因为，因此，平面平面.
【小问2详解】
证明：翻折前，在梯形中，，，则，
，则，
翻折后，对应地，，，因为，所以，平面，
，则平面，
平面，因此，平面平面.
19、（1）；最大值为，最小值；
（2）.
【解析】（1）由题可得，再利用正弦函数的性质即求；
（2）由题可得，利用正弦函数的性质可知在上单调递增，进而可得，即得.
【小问1详解】
∵，，
∴
，
∴函数的最小正周期为，
当时，，，
∴，
故函数在区间上的最大值为，最小值；
【小问2详解】
由题可得，
由，可得，故在上单调递增，
又，，
由可得，
，解得，
∴实数的取值范围为.
20、（1）（2）1（3）
【解析】（1）根据条件列指数不等式，直接求解即可；
（2）利用偶函数定义列直接求解即可；
（3）根据题意列方程，令，得到方程，构造，结合二次函数性质讨论方程的根即可.
【详解】（1）因为
所以原不等式的解集为
（2）因为的定义域为且为偶函数，
所以
即

所以.经检验满足题意.
（3）有（2）可得
因为函数与的图象有公共点
所以方程有根
即
有根
令且（）
方程可化为（*）
令恒过定点
①当时，即时，（*）在上有根
（舍）；

②当时，即时，（*）在上有根
因为，则（*）方程在上必有一根
故成立；
③当时，（*）在上有根
则有
④当时，（*）在上有根
则有
综上可得：的取值范围为
【点睛】本题重点考查了函数方程的求解及二次函数根的分布，用到了换元和分类讨论的思想，考查了学生的计算能力，属于难题.
21、（1）-1（2）-1
【解析】（1）根据即可得出，，由即可得出1+k＝0，从而求出k的值；
（2）根据A，B，C三点共线即可得出，从而可得出，根据平面向量基本定理即可得出，解出k即可
【详解】解：（1）；
∴=；
∵；
∴k+1=0；
∴k=-1；
（2）∵A，B，C三点共线；
∴；
∴；
∴；
∵不共线；
∴由平面向量基本定理得，；
解得k=-1
【点睛】本题考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理