天津市河西区实验中学2025-2026学年数学高一第一学期期末联考模拟试题含解析.doc

天津市河西区实验中学2025-2026学年数学高一第一学期期末联考模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1． “”是成立的　　条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充分必要 D.既不充分又不必要
2．已知p：﹣2＜x＜2，q：﹣1＜x＜2，则p是q的（　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．若，，，则（）
A. B.
C. D.
4．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A B.
C. D.
5．已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，，则直角梯形边的长度是

A. B.
C. D.
6．下列哪组中的两个函数是同一函数（）
A.与 B.与
C.与 D.与
7．已知全集,集合，集合，则
A. B.
C. D.
8．若a＞b＞1，0＜c＜1，则下列式子中不正确的是（　　）
A. B.
C. D.
9．设，则a，b，c大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
10．已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增.若实数a满足, 则a的取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若直线l在x轴上的截距为1,点到l的距离相等，则l的方程为______.
12．若实数x，y满足，且，则的最小值为___________.
13．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（−，0上单调递增.若实数a满足f（2|a-1|）＞f（），则a的取值范围是______.
14．函数（且）的定义域为__________
15．等于_______.
16．已知幂函数的图象经过点，那么α=___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知的内角满足，若，且，满足：，，，为，的夹角，求
18．在区间上，如果函数为增函数，而函数为减函数，则称函数为“弱增”函数.试证明：函数在区间上为“弱增”函数.
19．如图，已知圆的圆心在坐标原点，点是圆上的一点

（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若过点的动直线与圆相交于，两点．在平面直角坐标系内，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由
20．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？
21．如图，平行四边形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，正方形ADEF，且面ADEF⊥面ABCD．

（1）求证：BD⊥平面ECD；
（2）求D点到面CEB的距离．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】求出不等式的等价条件，结合不等式的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可
【详解】由不等式“”，解得，
则“”是“”成立的必要不充分条件
即“”是“”成立的必要不充分条件，
故选B
【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，其中解答中结合不等式的关系是解决本题的关键，着重考查了推理与判断能力，属于基础题.
2、B
【解析】将相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.
【详解】已知p：﹣2＜x＜2，q﹣1＜x＜2；
∴q⇒p；但p推不出q，
∴p是q的必要非充分条件
故选：B
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.
3、A
【解析】先变形，然后利用指数函数的性质比较大小即可
【详解】，
因为在上为减函数，且，
所以，所以，
故选：A
4、C
【解析】函数为复合函数，先求出函数的定义域为，因为外层函数为减函数，则求内层函数的减区间为，由题意知函数在区间上单调递增，则是的子集，列出关于的不等式组，即可得到答案.
【详解】的定义域为，令，则函数为，外层函数单调递减，由复合函数的单调性为同增异减，要求函数的增区间，即求的减区间，当，单调递减，则 在上单调递增，即是的子集，则.
故选：C.
5、B
【解析】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半，
原高为
而横向长度不变，且梯形是直角梯形，

故选
6、D
【解析】根据同一函数的概念，逐项判断，即可得出结果.
【详解】A选项，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故A错；
B选项，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故B错；
C选项，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故C错；
D选项，与的定义域都为，且，对应关系一致，故D正确.
故选：D.
7、C
【解析】先求出，再和求交集即可.
【详解】因全集,集合，所以，
又，所以.
故选C
点睛】本题主要考查集合的混合运算，熟记概念即可，属于基础题型.
8、D
【解析】利用对数函数、指数函数与幂函数的单调性即可判断出正误．
【详解】解：，，,A正确;
是减函数，，B正确;
为增函数，，C正确.
是减函数，,D错误.
故选．
【点睛】本题考查了对数函数、指数函数与幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9、C
【解析】利用有理指数幂和幂函数的单调性分别求得，，的范围即可得答案
【详解】，，
，
又在上单调递增，
，
，
故选：C
10、C
【解析】函数是定义在上的偶函数，∴，等价为），即．∵函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增，∴）等价为．即，∴，解得,故选项为C
考点：（1）函数的奇偶性与单调性；（2）对数不等式.
【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应
用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得：，即，结合单调性得：将不等式进行等价转化即可得到结论.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、或
【解析】考虑斜率不存在和存在两种情况，利用点到直线距离公式计算得到答案.
【详解】显然直线轴时符合要求，此时的方程为.
当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则l的方程为，即.
∵A，B到l的距离相等
∴，∴，∴，
∴直线l的方程为.
故答案为或
【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，忽略掉斜率不存在的情况是容易犯的错误.
12、8
【解析】由给定条件可得，再变形配凑借助均值不等式计算作答.
【详解】由得：，又实数x，y满足，
则，当且仅当，即时取“=”，
由解得：，
所以当时，取最小值8.
故答案为：8
【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件.
13、
【解析】由题意在上单调递减，又是偶函数，
则不等式可化为，则，，解得
14、
【解析】根据对数的性质有，即可求函数的定义域.
【详解】由题设，，可得，即函数的定义域为.
故答案为：
15、
【解析】直接利用诱导公式即可求解.
【详解】由诱导公式得：
.
故答案为：.
16、3
【解析】根据幂函数的图象经过点，由求解.
【详解】因为幂函数的图象经过点，
所以，
解得，
故答案：3

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、
【解析】本题主要是考查了向量的数量积的性质和三角函数中恒等变换的综合运用．先利用得到cosB,然后结合向量的数量积公式以及两角和的正弦公式得到结论.
【详解】解：由题意得：
，即

又

又是的内角，故可知
又

18、见解析
【解析】根据定义，只要证明函数在是单调减函数即可，这可以通过单调减函数的定义去证明.
证明：设任意，且，由于，所以在区间上，为增函数. 令，则有：.由于，则且，故.故在区间上，函数为减函数.由“弱增”函数的定义可知，函数在区间上为“弱增”函数.
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】(Ⅰ)设圆的方程为，将代入，求得，从而可得结果；(Ⅱ)先设，由可得，再证明对任意，满足即可，，则利用韦达定理可得， ，由角平分线定理可得结果.
【详解】(Ⅰ)设圆的方程为，将代入，求得，
所以圆的方程为；
(Ⅱ)先设，，
由
由舍去）
再证明对任意，满足即可，
由，
则
则利用韦达定理可得，
化为
所以 ，
由角平分线定理可得，
即存在与点不同的定点，使得恒成立，.
【点睛】本题主要考查待定系数法求圆方程及韦达定理、直线和圆的位置关系及曲线线过定点问题.属于难题.探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点).② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
20、（1）；（2）5；（3）15.
【解析】（1）根据题意，列出关于砍伐面积的百分比的方程，即可容易求得；
（2）到今年为止，森林剩余面积为原来的，可列出关于m的等式，解之即可.
（3）设从今年开始，最多还能砍伐年，列出相应表达式有，解不等式求出的范围即可
【详解】（1）设每年砍伐的百分比为，则，即，
，解得：
所以每年砍伐面积的百分比为
（2）设经过年剩余面积为原来，则，即
又由（1）知，，，解得
故到今年为止，该森林已被砍伐5年
（3）设从今年开始，最多还能砍伐年，则年后剩余面积为.
令，即，，，解得
故今后最多还能砍伐15年
【点睛】关键点点睛：本题考查指数型函数数学建模在实际问题中的应用，熟练运用指数性质运算，将文字语言转化成数学语言是解题的关键，考查学生的转化能力与运算能力，属于中档题.
21、（1）见解析；（2）点到平面的距离为
【解析】（1）根据题意选择，只需证明，根据线面垂直的判定定理，即可证明平面；（2）把点到面的距离，转化为三棱锥的高，利用等体积法，即可求解高
试题解析：（1）证明：∵四边形为正方形∴
又∵平面平面，
平面平面=，
∴平面
∴
又∵,∴平面
（2）解：，，， 又∵ 矩形中，DE=1
∴，，
∴过B做CE的垂线交CE与M，CM= ∴
的面积等于
由得（1）平面∴点到平面的距离
∴
∴ ∴
即点到平面的距离为.
考点：直线与平面垂直的判定与证明；三棱锥的体积的应用．