贵阳市贵阳市第二中学2025年高一上数学期末预测试题含解析.doc

贵阳市贵阳市第二中学2025年高一上数学期末预测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，在中，点是线段及、的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且，则在直角坐标平面上，实数对所表示的区域在直线的右下侧部分的面积是（）

A. B.
C. D.不能求
2．已知函数，且函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
3．含有三个实数的集合可表示为{a，，1}，也可表示为{a2，a+b，0}，则a2012+b2013的值为（ ）
A.0
B.1
C.-1
D.±1
4．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC且AB=BC=1，SA=，则球O的表面积是（ ）
A. B.
C. D.
5．函数f（x）=
A.（-2,-1） B.（-1,0）
C.（0,1） D.（1,2）
6．已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A.13 B.14
C.15 D.16
7．已知函数满足∶当时，， 当时，， 若，且，设，则( )
A.没有最小值 B.的最小值为
C.的最小值为 D.的最小值为
8．设函数的图象为，关于点A（2，1）的对称图象为，若直线y=b与有且仅有一个公共点，则b的值为
A.0 B.-4
C.0或4 D.0或-4
9．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直
其中，为真命题的是
A.①和② B.②和③
C.③和④ D.②和④
10．设且则（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知,则的值为________
12．已知集合，若，则_______.
13．函数的单调递减区间为___________.
14．已知是定义在上的奇函数且以6为周期，若，则在区间内至少有________零点.
15．已知，则__________.
16．已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）请用“五点法”画出函数在上的图象（先列表，再画图）；
（2）求在上的值域；
（3）求使取得最值时的取值集合，并求出最值
18．为迎接党的“十九大”胜利召开与响应国家交给的“提速降费”任务，某市移动公司欲提供新的资费套餐（资费包含手机月租费、手机拨打电话费与家庭宽带上网费）．其中一组套餐变更如下：
原方案资费
手机月租费
手机拨打电话
家庭宽带上网费（50M）
18元/月
0.2元/分钟
50元/月
新方案资费
手机月租费
手机拨打电话
家庭宽带上网费（50M）
58元/月
前100分钟免费，
超过部分元/分钟（>0.2）
免费
（1）客户甲只有一个手机号和一个家庭宽带上网号）欲从原方案改成新方案，设其每月手机通话时间为分钟（），费用原方案每月资费-新方案每月资费，写出关于函数关系式；
（2）经过统计，移动公司发现，选这组套餐的客户平均月通话时间分钟，为能起到降费作用，求的取值范围
19．已知，
（1）分别求，的值；
（2）若角终边上一点，求的值
20．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（直角三角形三条边，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口是的中点，分别落在线段上（含线段两端点），已知米，米，记.

（1）试将污水净化管道的总长度（即的周长）表示为的函数，并求出定义域；
（2）问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.
21．设向量的夹角为且如果
（1）证明：三点共线.
（2）试确定实数的值，使的取值满足向量与向量垂直.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由点是由线段及、的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，作的平行线，把中、所满足的不等式表示出来，然后作出不等式组所表示的可行域，并计算出可行域在直线的右下侧部分的面积即可.
【详解】如下图，过作，交的延长线于，交的延长线于，

设，，，，
则，
所以，得，所以.
作出不等式组对应的可行域，如下图中阴影部分所示，

故所求面积为，故选：A.
【点睛】本题考查二元一次不等式组与平面区域的关系，考查转化思想，是难题.解决本题的关键是建立、的不等式组，将问题转化为线性规划问题求解.
2、A
【解析】函数恰有三个不同的零点等价于与有三个交点，再分别画出和的图像，通过观察图像得出a的范围.
【详解】解：方程
所以函数恰有三个不同的零点等价于与有三个交点
记，
画出函数简图如下
画出函数如图中过原点虚线l，平移l要保证图像有三个交点，
向上最多平移到l’位置，向下平移一直会有三个交点，
所以，即
故选A.

【点睛】本题考查了函数的零点问题，解决函数零点问题常转化为两函数交点问题
3、B
【解析】根据题意，由{a，，1}={a2，a+b，0}可得a=0或=0，
又由的意义，则a≠0，必有=0，
则b=0，
则{a，0，1}={a2，a，0}，则有a2=1，即a=1或a=-1，
集合{a，0，1}中，a≠1，则必有a=-1，
则a2012+b2013=（-1）2012+02013=1，
故选B
点睛：集合的三要素是：确定性、互异性和无序性，集合的表示常用的有三种形式：列举法，描述法，Venn图法.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.
4、A
【解析】如图，三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，

∵SA⊥平面ABC，SA=,AB⊥BC且AB=BC=1，
∴AC= ∴SA⊥AC，SB⊥BC，
SC= ∴球O的半径R= =1∴球O的表面积S=4πR2=4π
故选A
点睛：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，确定球心，求出球半径是解题的关键
5、C
【解析】
，所以零点在区间（0，1）上
考点：零点存在性定理
6、D
【解析】用分离参数法转化为恒成立，只需，
再利用基本不等式求出的最小值即可.
【详解】因为，所以，
所以恒成立，只需
因为，
所以，
当且仅当时，即时取等号.
所以.
即的最大值为16.
故选：D
7、B
【解析】根据已知条件，首先利用表示出，然后根据已知条件求出的取值范围，最后利用一元二次函数并结合的取值范围即可求解.
【详解】∵且， 则，且，∴ ， 即
由，
∴，
又∵，
∴当时，，
当时，，
故有最小值.
故选：B.
8、C
【解析】先设图像上任一点以及P关于点的对称点，根据点关于点对称的性质，用p的坐标表示的坐标，再把的坐标代入f(x)的解析式进行整理，求出图象的解析式，通过对解析式值域的分析，再结合直线y=b与有且仅有一个公共点，来确定未知量b的值。
【详解】设图像上任一点，且P关于点的对称点，则有解得，又点在函数的图像上，则有，那么图像的函数为，当时，，，当且仅当时取到等号，此时取到最小值4，直线y=b与只有一个公共点，故b=4，同理当时，，，即，此时取到最大值0，当且仅当x=3时取到等号，直线y=b与只有一个公共点，故b=0.
综上，b的值为0或4.
故选：C
【点睛】利用基本不等式求出函数最值时，要注意函数定义域是否包含取等点，本题是一道函数综合题
9、D
【解析】利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择
【详解】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④.
故选D
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题
10、C
【解析】试题分析：由已知得，，去分母得，，所以
，又因为，
，所以，即，选
考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用正弦、余弦、正切之间的商关系,分式的分子、分母同时除以即可求出分式的值.
【详解】
【点睛】本题考查了同角三角函数的平方和关系和商关系,考查了数学运算能力.
12、
【解析】根据求得，由此求得.
【详解】由于，所以，所以.
故答案为：
13、
【解析】利用对数型复合函数性质求解即可.
【详解】由题知：，解得或.
令，则为减函数.
所以，为减函数，为增函数，
，为增函数，为减函数.
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：
14、6
【解析】直接利用的奇偶性和周期性求解.
【详解】因为是定义在上奇函数且以6为周期，
所以
即，
所以的图象关于对称，且，
则，
又，
又，
所以，
所以在区间内至少有6个零点.
故答案为：6
个零点
15、3
【解析】由同角三角函数商数关系及已知等式可得，应用诱导公式有，即可求值.
【详解】由题设，，可得，
∴.
故答案为：3
16、4π
【解析】设点的坐标为（ 则 ，即（ 以点的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆，所以点的轨迹所包围的图形的面积等于4π.即答案为4π

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）答案见解析
（2）
（3）答案见解析
【解析】（1）取五个值，列表描点连线即可得出答案；
（2）根据图象求出的范围，即可得出答案；
（3）根据正弦函数最值即可得出答案.
【小问1详解】
列表如下：

1
0
-1
0

0
2
0
-2
0
在直角坐标系中描点连线，如图所示：
【小问2详解】

当时，，所以，所以.
所以在上的值域为
【小问3详解】

当时，取最大值2
令，则
当时，取最小值－2
令，则
所以使取得最大值时的取值集合为，且最大值为2
取得最小值时的取值集合为，且最大值为－2.
18、（1）；（2）.
【解析】（1）关键是求出原资费和新资费，原资费为68＋0.2x，新资费是分段函数，x≤100时，为58，当x＞100时，为，相减可得结论；
（2）只要（1）中的y＞0，则说明节省资费，列出不等式可得，注意当100＜x≤400时，函数y为减函数，因此在x=400时取最小值，由此最小值＞0，可解得范围
试题解析：
（1）i)当，
ii) 当，

综上所述
（未写扣一分）
（2）由题意，恒成立，
显然，当，，
当，因为，
为减函数
所以当时，
解得
从而
19、（1）
（2）-7
【解析】（1）由的值以及的范围，利用同角三角函数的基本关系即可求的值，进而可得的值，利用两角和的正弦公式求.
（2）利用三角函数的定义可求的值，利用正切的二倍角公式可求出的值，再由两角和的正切公式即可求解.
【小问1详解】
因为，，
所以，
所以，

.
【小问2详解】
由三角函数的定义可得，
由正切的二倍角公式可得，

20、（1），
（2）或时，L取得最大值为米
【解析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围
（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数L=在[，]上是单调减函数，可求得L的最大值．同时也可求得值
【小问1详解】
由题意可得，，，
由于 ，，
所以，，
，
即，
【小问2详解】
设，则，
由于，
由于在上是单调减函数，
当时，即或时，L取得最大值为米
21、（1）见解析（2）
【解析】（1）利用向量的加法求出 ，据此，结合 ，可以得到 与的关系；（2）根据题意可得 ，再结合 的夹角为 ，且 ，即可得到关于 的方程，求解即可.
试题解析：（1）
即共线，
有公共点
三点共线.
（2）

且

解得