湖南省郴州市汝城县第一中学2025-2026学年数学高一第一学期期末质量检测试题含解析.doc

湖南省郴州市汝城县第一中学2025-2026学年数学高一第一学期期末质量检测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数恰有2个零点，则实数a取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2．已知x，，且则
A. B.
C. D.
3．在空间中，直线平行于直线，直线与为异面直线，若，则异面直线与所成角的大小为（）
A. B.
C. D.
4．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
5．一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是（　　）

A. B.
C. D.2
6．若直线x＋（1＋m）y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是
A.1 B.－2
C.1或－2 D.
7．设a为实数，“”是“对任意的正数x，”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
8．已知函数的值域是（）
A. B.
C. D.
9．设集合，则
A. B.
C. D.
10．已知命题：，，则（）
A.：， B.：，
C.：， D.：，
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是________.
12．实数的值为___________.
13．函数的部分图像如图所示，轴，则_________，_________

14．集合的非空子集是________________
15．已知集合，，则集合中的元素个数为___________.
16．已知，则函数的最大值为__________.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．为了考查甲乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株苗，测得苗高如下：
甲
12
13
14
15
10
16
13
11
15
11
乙
11
16
17
14
13
19
6
8
10
16
哪种小麦长得比较整齐？
18．某保险公司决定每月给推销员确定具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图：

（1）①根据图中数据，求出月销售额在小组内的频率；
②根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使的推销员完成任务？并说明理由；
（2）该公司决定从月销售额为和的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自同一个小组的概率.
19．已知函数，.
（1）当时，解关于的方程；
（2）当时，函数在有零点，求实数的取值范围.
20．已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断的单调性并用定义证明；
（3）已知不等式恒成立，求实数的取值范围.
21．计算下列各式：
（1）（式中字母均为正数）；
（2）.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】由在区间上单调递减，分类讨论，，三种情况，根据零点个数求出实数a的取值范围.
【详解】函数在区间上单调递减，且方程的两根为.
若时，由解得或，满足题意.
若时，，，当时，，即函数在区间上只有一个零点，因为函数恰有2个零点，所以且.
当时，，，此时函数有两个零点，满足题意.
综上，
故选：D
2、C
【解析】原不等式变形为，由函数单调递增，可得，利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性逐一分析四个选项即可得答案
【详解】函数为增函数，
，即，可得，
由指数函数、对数函数幂函数的单调性可得，B，D错误，
根据递增可得C正确，故选C
【点睛】本题考查指数函数、对数函数、幂函数的单调性，是中档题．函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：（1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解函数不等式；（4）求参数的取值范围或值
3、A
【解析】根据异面直线所成角的定义与范围可得结果.
【详解】因为且，故异面直线与所成角的大小为的补角，即为.
故选：A.
4、A
【解析】根据分段函数是上的增函数，则每一段都为增函数，且右侧的函数值不小于左侧的函数值求解.
【详解】函数是上增函数，

所以，解得，
所以实数的取值范围是
故选：A.
5、B
【解析】由三视图可知此几何体是由一个长为2，宽为，高为的长方体过三个顶点切去一角的空间多面体，如图所示，则其体积为.故正确答案选B.

考点：1.三视图；2.简单组合体体积.
6、A
【解析】分类讨论直线的斜率情况，然后根据两直线平行的充要条件求解即可得到所求
【详解】①当时，两直线分别为和，此时两直线相交，不合题意
②当时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得，解得
综上可得
故选A
【点睛】本题考查两直线平行的等价条件，解题的关键是将问题转化为对直线斜率存在性的讨论．也可利用以下结论求解：若，则
且或且
7、A
【解析】根据题意利用基本不等式分别判断充分性和必要性即可.
【详解】若，因为，则，当且仅当时等号成立，所以充分性成立；
取，因为，则，当且仅当时等号成立，即时，对任意的正数x，，但，所以必要性不成立，
综上，“”是“对任意的正数x，”的充分非必要条件.
故选：A.
8、B
【解析】由于，进而得，即函数的值域是
【详解】解：因为,
所以
所以函数的值域是
故选：B
9、B
【解析】 ,选B.
【考点】 集合的运算
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
10、C
【解析】根据全称命题的否定是特称命题进行否定即可得答案.
【详解】解：因为全称命题的否定为特称命题，
所以命题：，的否定为：：，.
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】先将角度转化成弧度制，再利用扇形面积公式计算即可.
【详解】扇形的圆心角为120°，即，故扇形面积.
故答案为：.
12、
【解析】直接根据指数幂运算与对数运算求解即可.
【详解】解：
故答案为：
13、 ①.2 ②.##
【解析】根据最低点的坐标和函数的零点，可以求出周期，进而可以求出的值，再把最低点的坐标代入函数解析式中，最后求出的值.
【详解】通过函数的图象可知，
点B、C的中点为，与它隔一个零点是，
设函数的最小正周期为，则，
而，把代入函数解析式中，
得.
故答案为：；
14、
【解析】结合子集的概念，写出集合A的所有非空子集即可.
【详解】集合的所有非空子集是.
故答案为：.
15、
【解析】解不等式确定集合，解方程确定集合，再由交集定义求得交集后可得结论
【详解】由题意，，
∴，只有1个元素
故答案为：1
16、
【解析】换元，，化简得到二次函数，根据二次函数性质得到最值.
【详解】设，，则，，
故当，即时，函数有最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了指数型函数的最值，意在考查学生的计算能力，换元是解题的关键

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、乙种小麦长得比较整齐.
【解析】根据题意，要比较甲、乙两种小麦的长势更整齐，需比较它们的方差，先求出其平均数，再根据方差的计算方法计算方差，进行比较可得结论
试题解析：
由题中条件可得：
，
，
，
，
∵，∴乙种小麦长得比较整齐.
点睛：平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小，方差或标准差越小，则数据分布波动较小，相对比较稳定
18、（1）①；②17，理由见解析
（2）
【解析】（1）①利用各组的频率和为1求解，②由题意可得的推销员不能完成该目标，而前两组的频率和，前三组的频率和为，所以月销售目标应在第3组，从而可求得结果，
（2）由频率分布直方图结合题意可得待选的推销员一共有4人，然后利用列举法求解概率
【小问1详解】
①月销售额在小组内的频率为
.
②若要使的推销员能完成月销售额目标，则意味着的推销员不能完成该目标.根据题图所示的频率分布直方图知，和两组的频率之和为0.18，故估计月销售额目标应定为（万元）.
【小问2详解】
根据直方图可知，月销售额为和的频率之和为0.08，由可知待选的推销员一共有4人.
设这4人分别为，则样本空间为{}，一共有6种情况
其中2人来自同一组的情况有2种
所以选出的推销员来自同一个小组的概率.
19、（1）；（2）
【解析】（1）方程变成，令，化简解关于的一元二次方程，从而求出的值.
（2）将零点转化为方程有实根，即时有解，令，，得：，从而得出取值范围.
【详解】（1），令，则，
解得，
所以
（2），
时，
设，，
，对称轴为，
时，，
.
20、（1）；（2）减函数，证明见解析；（3） .
【解析】（1）根据可求的值，注意检验.
（2）利用增函数的定义可证明在上是减函数.
（3）利用函数的奇偶性和单调性可把原不等式化为，利用对数函数的性质可求的取值范围.
【详解】（1）是上的奇函数，，得，
此时，，故为奇函数，
所以.
（2）为减函数，证明如下：
设是上任意两个实数，且，
，
，，即，，，
，即，在上是减函数.
（3）不等式恒成立，.
是奇函数，，即不等式恒成立
又在上是减函数，不等式恒成立，
当时，得，.
当时，得，.
综上，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了不等式恒成立问题，考查了应用对数函数单调性解与对数有关的不等式，涉及了指数函数与对数函数的图象与性质，体现了转化思想在解题中的运用 .
21、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据给定条件利用指数运算法则化简作答.
（2）根据给定条件，利用对数换底公式及对数运算性质计算作答.
【小问1详解】
依题意，.
【小问2详解】
.