南京市金陵中学2026届高一上数学期末联考试题含解析.doc

南京市金陵中学2026届高一上数学期末联考试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上（ ）
A.各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位
B.各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位
C.各点的横坐标缩短到原来的2倍，再向左平移个单位
D.各点的横坐标缩短到原来的2倍，再向左平移个单位
2．已知过点和的直线与直线平行，则的值为（ ）
A. B.0
C.2 D.10
3．若直线与圆相切，则的值是（）
A.-2或12 B.2或-12
C.-2或-12 D.2或12
4．直线与圆相交于两点,若,则的取值范围是
A. B.
C. D.
5．已知函数是上的奇函数，且在单调递减，则三个数：，，之间的大小关系是（）
A. B.
C. D.
6．已知定义在上偶函数满足下列条件：①是周期为2的周期函数；②当时，.那么值为（）
A B.
C. D.2
7．给定函数：①；②；③；④，其中在区间上单调递减函数序号是（ ）
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
8．已知sinα + cosα = ，则sin的值为（）
A.- B.
C.- D.
9．如图是函数在一个周期内的图象，则其解析式是（ ）

A. B.
C. D.
10．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有的解的和为___________.
12．函数f（x）＝cos的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为_______，函数的值域是________
13．设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f()＝____________.
14．已知扇形的周长为8，则扇形的面积的最大值为_________，此时扇形的圆心角的弧度数为________
15．已知任何一个正实数都可以表示成，则的取值范围是________________；的位数是________________．（参考数据）
16．已知函数,若方程有四个不同的解,且,则的最小值是______,的最大值是______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求a，b的值；
（2）用定义证明在上是增函数；
（3）解不等式：.
18．如图，在四棱锥中，，是以为斜边的等腰直角三角形，且.

（1）证明：平面平面.
（2）若四棱锥的体积为4，求四面体的表面积.
19．已知函数(，且).
（1）判断函数的奇偶性，并予以证明；
（2）求使的x的取值范围.
20．一几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：）.

（1）试画出它的直观图（不写作图过程）；
（2）求它的表面积和体积.
21．已知.
（1）若，且，求的值.
（2）若，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】各点的横坐标缩短到原来的倍，变为，再向左平移个单位，得到.
2、A
【解析】因为过点和的直线与直线平行，所以两直线的斜率相等.
【详解】解：∵直线的斜率等于，
∴过点和的直线的斜率也是，
，解得，
故选：A.
【点睛】本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用.
3、C
解析】解方程即得解.
【详解】解：由题得圆的圆心坐标为半径为1，
所以或.
故选：C
4、C
【解析】圆，即.
直线与圆相交于两点,若,
设圆心到直线距离.
则，解得.
即，解得
故选C.
点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；
（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小
5、D
【解析】根据题意，得函数在上单调递减，又，，然后结合单调性判断
【详解】因为函数是上奇函数，且在单调递减，
所以函数在上单调递减，
∵，，
∴，
即
故选：D
6、B
【解析】根据函数的周期为2和函数是定义在上的偶函数，可知，再根据条件②，即可求出结果.
【详解】因为是周期为2的周期函数，
所以，
又函数定义在上的偶函数，所以
又当时，，所以.
所以值为.
故选：B.
7、B
【解析】①，为幂函数，且的指数，在上为增函数；②，，为对数型函数，且底数，在上为减函数；③，在上为减函数，④为指数型函数，底数在上为增函数，可得解.
【详解】①，为幂函数，且的指数，在上为增函数，故①不可选；
②，，为对数型函数，且底数，在上为减函数，故②可选；
③，在上为减函数，在上为增函数，故③可选；
④为指数型函数，底数在上为增函数，故④不可选；
综上所述，可选的序号为②③，
故选B.
【点睛】本题考查基本初等函数的单调性，熟悉基本初等函数的解析式、图像和性质是解决此类问题的关键，属于基础题.
8、C
【解析】应用辅助角公式可得，再应用诱导公式求目标三角函数的值.
【详解】由题设，，而.
故选：C
9、B
【解析】通过函数的图象可得到：A=3，，，则，然后再利用点在图象上求解.，
【详解】由函数的图象可知：A=3，，，
所以，
又点在图象上，
所以，
即，
所以，
即，
因为，
所以
所以
故选：B
【点睛】本题主要考查利用三角函数的图象求解析式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
10、A
【解析】先计算一名男同学都没有的概率，再求至少有一名男同学的概率即可.
【详解】两名同学中一名男同学都没有的概率为，则2名同学中至少有一名男同学的概率是.
故选：A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据给定条件，分析函数，函数的性质，再在同一坐标系内作出两个函数图象，结合图象计算作答.
【详解】当时，，则函数在上单调递减，函数值从减到0，
而是R上的偶函数，则函数在上单调递增，函数值从0增到，
因，有，则函数的周期是2，且有，即图象关于直线对称，
令，则函数在上递增，在上递减，值域为，且图象关于直线对称，
在同一坐标系内作出函数和的图象，如图，

观察图象得，函数和在上的图象有8个交点，且两两关于直线对称，
所以方程在区间上所有解的和为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴
公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
12、 ①. ②.
【解析】由题意利用函数的图象变换规律求得的解析式，可得的解析式，再根据余弦函数的值域，二次函数的性质，求得的值域
【详解】函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
函数
，，
故当时，取得最大值为；
当时，取得最小值为，
故的值域为，，
故答案为：；，
13、
【解析】由f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，可得，，再结合已知的解析式可得，然后结合已知可求出，从而可得当时，，进而是结合前面的式子可求得答案
【详解】因为f(x＋1)为奇函数，所以的图象关于点对称，
所以，且
因为f(x＋2)为偶函数，
所以的图象关于直线对称，，
所以，即，
所以，即，
当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b，则
，
因为，所以，得，
因为，所以，
所以当时，，
所以，
故答案为：
14、 ①.4 ②.2
【解析】根据扇形的面积公式，结合配方法和弧长公式进行求解即可.
【详解】设扇形所在圆周的半径为r，弧长为l，有，
，
此时，，
故答案为：；
15、 ①. ②.
【解析】根据对数函数的单调性及对数运算、对数式指数式的转化即可求解.
【详解】因为，所以，由，故知，共有31位.
故答案为：；31
16、 ①.1 ②.4
【解析】画出的图像,再数形结合分析参数的的最小值,再根据对称性与函数的解析式判断中的定量关系化简再求最值即可.
【详解】画出的图像有：

因为方程有四个不同的解,故的图像与有四个不同的交点,又由图,, 故的取值范围是,故的最小值是1.
又由图可知,,,故,故.
故.
又当时, .当时, ,故.
又在时为减函数,故当时取最大值.
故答案为：(1).1 (2).4
【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数以及范围的问题,需要根据题意分析交点间的关系,并结合函数的性质求解.属于难题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】(1)根据奇函数定义及给定函数值列式计算作答.
(2)用函数单调性定义证明单调性的方法和步骤直接证明即可.
(3)利用(1)，(2)的结论脱去法则“f”，解不等式作答.
【小问1详解】
因数是定义在上的奇函数，则，即，
解得，即有，，解得，
所以，.
【小问2详解】
由(1)知，，，

因，则，而，因此，，即，
所以函数在上是增函数.
【小问3详解】
由已知及(1)，(2)得：，解得，
所以不等式的解集为：.
18、（1）见解析（2）9
【解析】（1）由已知可得，根据线面垂直的判定得平面，进而可得平面，由面面垂直的判定可得证.
（2）根据四棱锥的体积可得.过作于，连接，可证得平面，.可求得，可求得四面体的表面积.
【详解】（1）证明：∵是以为斜边的等腰直角三角形，∴，
又，∴平面，则.
又，∴平面.
又平面，∴平面平面.
（2）解：∵,且，
∴.∴.
过作于，连接，∵.∴平面，则.
∵.
∴.
∴.
故四面体的表面积为.

【点睛】本题考查面面垂直的证明，四棱锥的体积和表面积的计算，关键在于熟记各线面平行、垂直，面面平行、垂直的判定定理，严格地满足所需的条件，属于中档题.
19、（1）是奇函数，证明见解析；（2）.
【解析】（1）先根据对数函数的定义得函数的定义域关于原点对称，再根据函数的奇偶性定义判断即可；
（2）由已知条件得，再分与两种情况讨论，结合对数函数的单调性列出不等式组，求出x的取值范围即可.
【详解】（1）函数是奇函数.
证明：要使函数的解析式有意义，
需的解析式都有意义，
即解得，
所以函数的定义域是，
所以函数的定义域关于原点对称.
因为

所以函数是奇函数.
（2）若，
即.
当时，有
解得；
当时，有
解得，
综上所述，当时，x的取值范围是，
当时，x的取值范围是.
【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有本题函数的奇偶性的判断与证明、对数函数的单调性、根据单调性解不等式，不用对参数进行讨论，属于中档题目.
20、（1）直观图见解析；（2）， .
【解析】（1）由三视图直接画出它的直观图即可；
（2）由三视图可知该几何体是长方体被截取一个角，分别计算其表面积和体积可得答案.
【详解】解：（1）直观图如图所示.

（2）由三视图可知该几何体是长方体被截取一个角，且该几何体的体积是以，，为棱的长方体的体积的.
在直角梯形中，作，则是正方形，
∴.
在中，，，∴.
∴

.
∴几何体的体积.
∴该几何体的表面积为，体积为.
【点睛】本题主要考查空间几何体的三视图与直观图、空间几何体的表面积与体积，考查学生的直观想象能力，数学计算能力，属于中档题.
21、（1）或
（2）
【解析】（1）诱导公式化简可得，结合，求解即可；
（2）代入，结合诱导公式化简可得，即，利用二倍角公式化简可得，代入即得解
【小问1详解】
由题意，
若，
则或
【小问2详解】
若，则
即，即
故