湖南省长沙市第一中学、湖南师范大学附属中学2026届高一数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析.doc

湖南省长沙市第一中学、湖南师范大学附属中学2026届高一数学第一学期期末质量检测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ）
A. B.
C. D.
2．若两个非零向量，满足，则与的夹角为（）
A. B.
C. D.
3．已知函数，则
A.最大值为2，且图象关于点对称
B.周期为，且图象关于点对称
C.最大值为2，且图象关于对称
D.周期为，且图象关于点对称
4．已知函数，则下列区间中含有的零点的是（ ）
A. B.
C. D.
5．若函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
6．函数y＝ln（1﹣x）的图象大致为（）
A. B.
C. D.
7．已知函数的上单调递减，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．已知满足，则（ ）
A. B.
C. D.
9．在平面直角坐标系中，大小为的角始边与轴非负半轴重合，顶点与原点O重合，其终边与圆心在原点，半径为3的圆相交于一点P，点Q坐标为，则的面积为（）
A. B.
C. D.2
10．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆-嫦娥五号返回：舱之所以能达到如此髙的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s，则至少还需要“打水漂”的次数为（）(参考数据：取lg2≈0.301， lg3≈0.477)

A.4 B.5
C.6 D.7
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数的定义域为R，，且函数为偶函数，则的值为________，函数是________函数（从“奇”、“偶”、“非奇非偶”、“既奇又偶”中选填一个）.
12．已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=2，∠B'A'C'=90°，则原△ABC的面积为______

13．已知，若存在定义域为的函数满足：对任意，，则___________.
14．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是B，点和点的中点是E，则___________.
15．如果函数仅有一个零点，则实数的值为______
16．若角的终边与角的终边相同，则在内与角的终边相同的角是______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数()
（1）求在区间上的最小值；
（2）设函数，用定义证明：在上是减函数
18．已知角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，并满足：，且有意义.
（1）试判断角的终边在第几象限；
（2）若角的终边上一点，且为坐标原点），求的值及的值.
19．已知
（1）求；
（2）若，求.
20．已知函数是定义在上的奇函数，当时有.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明.
21．近年来，随着我市经济的快速发展，政府对民生越来越关注市区现有一块近似正三角形的土地（如图所示），其边长为2百米，为了满足市民的休闲需求，市政府拟在三个顶点处分别修建扇形广场，即扇形和，其中与、分别相切于点，且与无重叠，剩余部分（阴影部分）种植草坪.设长为（单位：百米），草坪面积为（单位：万平方米）.

（1）试用分别表示扇形和的面积，并写出的取值范围；
（2）当为何值时，草坪面积最大？并求出最大面积.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】利用三角函数的定义得出和的值，由此可计算出的值.
【详解】由三角函数的定义得，，因此，.
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题.
2、C
【解析】根据数量积的运算律得到，即可得解；
【详解】解：因为，
所以，即，
即，所以，即与的夹角为；
故选：C
3、A
【解析】

，∵，∴，则的最大值为；∵，∴周期；当时，图象关于某一点对称，∴当，求出，即图象关于对称，故选A
考点：三角函数的性质．
4、C
【解析】分析函数的单调性，利用零点存在定理可得出结论.
【详解】由于函数为增函数，函数在和上均为增函数，
所以，函数在和上均为增函数.
对于A选项，当时，，，此时，，
所以，函数在上无零点；
对于BCD选项，当时，，，
由零点存在定理可知，函数的零点在区间内.
故选：C.
5、C
【解析】根据偶次根号下非负，分母不等于零求解即可.
【详解】解：要使函数有意义，则需满足不等式， 解得：且，
故选：C
6、C
【解析】根据函数的定义域和特殊点，判断出正确选项.
【详解】由，解得，也即函数的定义域为，由此排除A,B选项.当时，，由此排除D选项.所以正确的为C选项.
故选：C
【点睛】本小题主要考查函数图像识别，属于基础题.
7、C
【解析】利用二次函数的图象与性质得，二次函数f（x）在其对称轴左侧的图象下降，由此得到关于a的不等关系，从而得到实数a的取值范围
【详解】当时，，显然适合题意，
当时，，解得：，
综上：的取值范围是
故选：C
【点睛】本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题
8、A
【解析】将转化为是函数的零点问题，再根据零点存在性定理即可得的范围，进而得答案.
【详解】解：因为函数在上单调递减，所以；
；
因为满足，即是方程的实数根，
所以是函数的零点，
易知函数f(x)在定义域内是减函数，
因为，，
所以函数有唯一零点，即.
所以.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小，函数零点的取值范围，考查化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于将满足转化为是函数的零点，进而根据零点存在性定理即可得的范围.
9、B
【解析】根据题意可得、，结合三角形的面积公式计算即可.
【详解】由题意知，
，，
所以.
故选：B
10、C
【解析】设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，再根据题设列不等式求解即可.
【详解】设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，则vn＝.
由，得，则
所以，故，又，
所以至少需要“打水漂”的次数为6.
故选：C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①.7 ②.奇
【解析】利用函数的奇偶性以及奇偶性定义即可求解.
【详解】函数为偶函数，
由，则，
所以，
所以，
，定义域为，
定义域关于原点对称.
因为，
所以，
所以函数为奇函数.
故答案为：7；奇
12、8
【解析】根据“斜二测画法”原理还原出△ABC，利用边长对应关系计算原△ABC的面积即可
详解】根据“斜二测画法”原理，还原出△ABC，如图所示；

由B′O′＝C′O′＝2，∠B'A'C'＝90°，

∴O′A′B′C′＝2，
∴原△ABC的面积为SBC×OA4×4＝8
故答案为8
【点睛】本题考查了斜二测画法中原图和直观图面积的计算问题，是基础题
13、-2
【解析】由已知可得为偶函数，即，令，由，可得，计算即可得解.
【详解】对任意，，
将函数向左平移2个单位得到，函数为偶函数，所以，
令，由，可得，解得：.
故答案为：.
14、
【解析】先利用对称性求得点B坐标，再利用中点坐标公式求得点E坐标，然后利用两点间距离公式求解.
【详解】因为点关于平面的对称点是，
点和点的中点是，
所以，
故答案为：
15、
【解析】利用即可得出.
【详解】函数仅有一个零点，即方程只有1个根，
，解得.
故答案为：.
16、
【解析】根据角的终边与角的终边相同,得到,再得到,然后由列式,根据,可得整数的值,从而可得.
【详解】∵（），
∴（）
依题意，得（），
解得（），
∴，
∴在内与角的终边相同的角为
故答案为
【点睛】本题考查了终边相同的角的表示,属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由已知得函数的对称轴，开口向上，分别讨论，，三种情况求得最小值；
（2）利用函数单调性的定义可得证
【详解】（1）因为的对称轴，开口向上，当，即时，；
当，即时，；
当，即时，，所以
；
（2），设，则，，
所以，
所以，
所以在上是减函数
【点睛】方法点睛：利用定义判断函数单调性的步骤：
1、在区间D上，任取，令；
2、作差；
3、对的结果进行变形处理；
4、确定符号的正负；
5、得出结论
18、（1）第四象限；（2），.
【解析】（1）根据题意得sinα<0，cosα>0进而求得答案．（2）先求得m的值，进而利用三角函数定义求得答案
【详解】（1）由，得,
由有意义，可知，
所以是第四象限角.
（2）因为，所以，
解得
又为第四象限角，故，
从而，
.
【点睛】本题主要考查了三角函数的符号及象限的判断，考查三角函数定义，解题过程中特别注意三角函数符号的判断，是基础题
19、（1）
（2）
【解析】（1） 利用诱导公式可得答案；
（2）利用诱导公式得到，再根据的范围和平方关系可得答案.
小问1详解】
.
【小问2详解】
，
若，则，
所以.
20、（1）； （2）见解析.
【解析】（1）当时，则，可得，进而得到函数的解析式；
（2）利用函数的单调性的定义，即可证得函数的单调性，得到结论.
【详解】（1）由题意，当时，则，可得，
　因为函数为奇函数，所以，
　所以函数的解析式为.
（2）函数在单调递增函数.
证明：设则
因为，所以
所以，即
故在为单调递增函数
【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，以及函数的单调性的判定与证明，其中解答中熟记函数的单调性的定义，以及熟练应用的函数的奇偶性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
21、（1），，；（2）时，草坪面积最大，最大面积为万平方米.
【解析】（1）因为，所以可得三个扇形的半径，圆心角都为，由扇形的面积公式可得答案；
（2）用三角形面积减去三个扇形面积可得草坪面积，再利用二次函数可求出最值.
【详解】（1），则，，
在扇形中，的长为，
所以，
同理，.
∵与无重叠，∴，即，则.
又三个扇形都在三角形内部，则，∴.
（2）∵，
∴

，
∴当时，取得最大值，为.
故当长为百米时，草坪面积最大，最大面积为万平方米.
【点睛】弧度制中求扇形弧长和面积的关键在于确定半径和扇形圆心角弧度数，解题时通常要根据已知条件列出方程，运用方程思想求解，强化了数学运算的素养.属于中档题.