内蒙古自治区包头市第九中学2025年数学高一第一学期期末统考试题含解析.doc

内蒙古自治区包头市第九中学2025年数学高一第一学期期末统考试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的最大值为（）
A. B.
C.2 D.3
2．已知，，则下列不等式中恒成立的是（）
A. B.
C. D.
3．函数，则
A. B.4
C. D.8
4．已知函数的零点在区间上，则（）
A. B.
C. D.
5．有四个关于三角函数的命题：
：xR, +=: x、yR, sin(x-y)=sinx-siny
: x=sinx : sinx=cosyx+y=
其中假命题的是
A.， B.，
C.， D.，
6．设，满足约束条件，则的最小值与最大值分别为（　　）
A.， B.2，
C.4，34 D.2，34
7．函数在上最大值与最小值之和是（ ）
A. B.
C. D.
8．已知圆：与圆：，则两圆的位置关系是
A.相交 B.相离
C.内切 D.外切
9．已知圆与圆相离，则的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
10．已知,,,,则
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为_____
12．某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为，则徒弟加工2个零件都是精品的概率为______
13．函数是幂函数，且当时，是减函数，则实数=_______
14．若函数满足，则______
15．已知函数，又有定义在R上函数满足：（1），
，均恒成立；
（2）当时，，则_____，
函数在区间中的所有零点之和为_______.
16．已知，求________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某淘宝商城在2017年前7个月的销售额（单位：万元）的数据如下表，已知与具有较好的线性关系.
月份

销售额

（1）求关于的线性回归方程；
（2）分析该淘宝商城2017年前7个月的销售额的变化情况，并预测该商城8月份的销售额.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，.
18．已知圆，直线
（1）直线l一定经过哪一点；
（2）若直线l平分圆C，求k的值；
（3）若直线l与圆C相交于A，B，求弦长的最小值及此时直线的方程
19．设是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）解不等式.
20．已知二次函数的图象与轴、轴共有三个交点.
（1）求经过这三个交点的圆的标准方程；
（2）当直线与圆相切时，求实数的值；
（3）若直线与圆交于两点，且，求此时实数的值.
21．已知圆C经过点A（0，0），B（7，7），圆心在直线上
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，求直线l的方程
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】先利用，得；再用换元法结合二次函数求函数最值.
【详解】，
，当时取最大值，
.
故选:B
【点睛】易错点点睛：注意的限制条件.
2、D
【解析】直接利用特殊值检验及其不等式的性质判断即可.
【详解】对于选项A，令，，但，则A错误；
对于选项B，令，，但，则B错误；
对于选项C，当时，，则C错误；
对于选项D，有不等式的可加性得，则D正确，
故选：D.
3、D
【解析】因为函数，所以，，故选D.
【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、指数与对数的运算，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.本题解答分两个层次：首先求出 的值，进而得到的值.
4、C
【解析】根据解析式，判断的单调性，结合零点存在定理，即可求得零点所在区间，结合题意，即可求得.
【详解】函数的定义域为，且在上单调递增，故其至多一个零点；
又，，故的零点在区间，故.
故选：
5、A
【解析】故是假命题；令但故是假命题.
6、D
【解析】画出约束条件表示的可行域，通过表达式的几何意义，判断最大值与最小值时的位置求出最值即可
【详解】解：由，满足约束条件表示的可行域如图，

由，解得
的几何意义是点到坐标原点的距离的平方，
所以的最大值为，
的最小值为：原点到直线的距离
故选D
【点睛】本题考查简单的线性规划的应用，表达式的几何意义是解题的关键，考查计算能力，属于常考题型.
7、A
【解析】直接利用的范围求得函数的最值，即可求解.
【详解】∵,
∴,
∴,
∴最大值与最小值之和为，
故选：.
8、C
【解析】分析：求出圆心的距离，与半径的和差的绝对值比较得出结论
详解：圆，圆,，所以内切．故选C
点睛：两圆的位置关系判断如下：设圆心距为，半径分别为，则：
，内含；，内切；，相交；，外切；，外离
9、D
【解析】∵圆的圆心为，半径为，
圆的标准方程为，
则
又两圆相离，则：
，
本题选择D选项.
点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法
10、C
【解析】分别求出的值再带入即可
【详解】因为,
所以
因为,
所以
所以
【点睛】本题考查两角差的余弦公式．属于基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、；
【解析】令 ,则为偶函数,且 ,当时, 为减函数
所以当时, ;当时, ;因此当时, ;当时, ,即不等式的解集为
点睛：利用函数性质解抽象函数不等式，实质是利用对应函数单调性，而对应函数需要构造.
12、##0.25
【解析】结合相互独立事件的乘法公式直接计算即可.
【详解】记师傅加工两个零件都是精品的概率为，则，徒弟加工两个零件都是精品的概率为，则师徒二人各加工两个零件都是精品的概率为，求得，故徒弟加工两个零件都是精品的概率为.
故答案为：
13、-1
【解析】根据幂函数的定义，令m2﹣m﹣1=1，求出m的值，再判断m是否满足幂函数当x∈（0，+∞）时为减函数即可
【详解】解：∵幂函数，
∴m2﹣m﹣1=1，
解得m=2，或m=﹣1；
又x∈（0，+∞）时，f（x）为减函数，
∴当m=2时，m2+m﹣3=3，幂函数为y=x3，不满足题意；
当m=﹣1时，m2+m﹣3=0，幂函数为y=x﹣3，满足题意；
综上，m=﹣1，
故答案为﹣1
【点睛】本题考查了幂函数的定义与图像性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的m值
14、
【解析】根据题意，令，结合指数幂的运算，即可求解.
【详解】由题意，函数满足，令，可得.
故答案为：.
15、 ①.1 ②.42
【解析】求出的周期和对称轴，再结合图象即可.
【详解】由条件可知函数的图象关于对称轴对称，
由可知，，则周期，
即，
函数在区间中的所有零点之和即为函数与函数
图象的交点的横坐标之和，
当时，为单调递增函数，，
，且区间关于对称，
又∵由已知得也是的对称轴，∴只需用研究直线左侧部分即可，
由图象可知左侧有7个交点，则右侧也有7个交点，将这14个交点的横坐标从小到大排列，第个数记为，由对称性可知，则，
同理，…，，
∴.
故答案为：，.

16、
【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得和的值，再利用两角和差的三角公式求得的值
【详解】∵ ，
∴ ，，，
∴ ，
∴
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）预测该商城8月份的销售额为126万元.
【解析】（1）根据表格中所给数据及平均数公式可求出与的值从而可得样本中心点的坐标，求可得公式中所需数据，求出，再结合样本中心点的性质可得，进而可得关于的回归方程；（2）由（1）知，，故前个月该淘宝商城月销售量逐月增加，平均每月增加万，将，代入（1）中的回归方程，可预测该商城月份的销售额.
.试题解析：（1）由所给数据计算得 ， ，
，
，
， .
所求回归方程为.
（2）由（1）知，，故前7个月该淘宝商城月销售量逐月增加，平均每月增加10万.
将，代入（1）中的回归方程，得.
故预测该商城8月份的销售额为126万元.
【方法点晴】本题主要考查线性回归方程求法与实际应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
18、（1）（2）（3）弦长的最小值为,此时直线的方程为
【解析】（1）由可求出结果；
（2）转化为圆心在直线上可求出结果；
（3）当时，弦长最小，根据垂直关系求出直线斜率，根据点斜式求出直线的方程，利用勾股定理可求出最小弦长.
【详解】（1）由得得，
所以直线l一定经过点.
（2）因为直线l平分圆C，所以圆心在直线上，
所以，解得.
（3）依题意可知当时，弦长最小，
此时，所以，
所以，即，
圆心到直线的距离，
所以.
所以弦长的最小值为，此时直线的方程为.
【点睛】关键点点睛：（3）中，将弦长最小转化为是解题关键.
19、 (1)；(2)(－∞，－2)∪(0,2)
【解析】（1）奇函数有f(0)＝0，再由x<0时，f(x)＝－f(－x)即可求解；
（2）由（1）分段求解不等式，最后取并集即可.
试题解析：
（1）因为f(x)是定义在上的奇函数，所以当x=0时，f(x)＝0，
当x<0时，f(x)＝－f(－x)，－x>0，又因为当x>0时，f(x)＝，.
所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－＝..
综上所述：此函数的解析式.
（2）f(x)<－，当x=0时，f(x)<－不成立；
当x>0时，即<－，所以<－，所以>，所以3x－1<8，解得x<2，
当x<0时，即<－，所以>－，所以3－x>32，所以x<－2，
综上所述解集是(－∞，－2)∪(0,2).
20、（1）；（2）或；（3）
【解析】（1）先求出二次函数的图象与坐标轴的三个交点的坐标，然后根据待定系数法求解可得圆的标准方程；（2）根据圆心到直线的距离等于半径可得实数的值；（3）结合弦长公式可得所求实数的值
【详解】（1）在中，
令，可得；
令，可得或
所以三个交点分别为，，，
设圆的方程为，
将三个点的坐标代入上式得 ，解得，
所以圆的方程为，
化为标准方程为：
（2）由（1）知圆心，

因为直线与圆相切，
所以，
解得或，
所以实数的值为或
（3）由题意得圆心到直线的距离，
又，
所以，
则，
解得
所以实数的值为或
【点睛】（1）求圆的方程时常用的方法有两种：一是几何法，即求出圆的圆心和半径即可得到圆的方程；二是用待定系数法，即通过代数法求出圆的方程
（2）解决圆的有关问题时，要注意圆的几何性质的应用，合理利用圆的有关性质进行求解，可以简化运算、提高解题的效率
21、（1）（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25
（2）yx或x+y+57＝0或x+y﹣57＝0
【解析】（1）设圆心C（a，b），半径为r，然后根据条件建立方程组求解即可；
（2）分直线l经过原点、直线l不经过原点两种情况求解即可.
【小问1详解】
根据题意，设圆心C（a，b），半径为r，标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
圆C经过点A（0，0），B（7，7），圆心在直线上，
则有，解可得，
则圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25，
小问2详解】
若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，分2种情况讨论：
①直线l经过原点，设直线l的方程为y＝kx，则有5，解得k，此时直线l的方程为yx；
②直线l不经过原点，设直线l的方程为x+y﹣m＝0，则有5，解得m＝7+5或7﹣5，
此时直线l方程为x+y+57＝0或x+y﹣57＝0；
综合可得：直线l的方程为yx或x+y+57＝0或x+y﹣57＝0