2025-2026学年湖南省安乡县一中高一数学第一学期期末综合测试试题含解析.doc

2025-2026学年湖南省安乡县一中高一数学第一学期期末综合测试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在中，，．若边上一点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
2．设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
3．已知函数在上单调递减，则实数 a的取值范围是
A. B.
C. D.
4．已知映射f：A→B，其中A={a，b}，B={1，2}，已知a的象为1，则b的象为
A.1，2中的一个 B.1，2
C.2 D.无法确定
5．与终边相同的角的集合是
A. B.
C. D.
6．对空间中两条不相交的直线和，必定存在平面，使得（）
A. B.
C. D.
7．直三棱柱中,若,则异面直线与所成角的余弦值为
A.0 B.
C. D.
8．如图所示，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）

A. B.
C. D.
9．已知函数，则下列说法正确的是（）
A.的最小正周期为 B.的图象关于直线
C.的一个零点为 D.在区间的最小值为1
10．对于任意实数，给定下列命题正确的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，，则以、为根的一元二次方程可以是___________.（写出满足条件的一个一元二次方程即可）
12．已知点为角终边上一点，则______.
13．若直线与互相垂直，则点到轴的距离为_____
14．已知幂函数在其定义域上是增函数，则实数___________
15．已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是______
16．若命题p是命题“”的充分不必要条件，则p可以是___________.（写出满足题意的一个即可）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量= (3，2)，=(-1，2)，=(4，1)
（1）若= m+n，求m，n的值；
（2）若向量满足(-)(+)，|-|=2，求的坐标.
18．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数且销售量近似满足g(t)=80-2t，价格近似满足f(t)=20-|t-10|.
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.
19．如图，四边形中，，，，，、分别在、上，，现将四边形沿折起，使平面平面
（）若，是否存在折叠后的线段上存在一点，且，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由
（）求三棱锥的体积的最大值，并求此时点到平面的距离

20．设函数
（1）求的最小正周期；
（2）若函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求函数在上的最值
21．一个半径为2米的水轮如图所示，其圆心O距离水面1米，已知水轮按逆时针匀速转动，每4秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．

（1）以过点O且与水面垂直的直线为y轴，过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；
（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据向量的线性运算法则，结合题意，即可求解.
【详解】由中，，且边上一点满足，如图所示
根据向量的线性运算法则，可得：
.
故选：A.

2、B
【解析】根据扇形的周长为，面积为，得到，解得l，r，代入公式求解.
【详解】因为扇形的周长为，面积为，
所以，
解得 ，
所以，
所以扇形的圆心角的弧度数是2
故选：B
3、C
【解析】由函数单调性的定义，若函数在上单调递减，可以得到函数在每一个子区间上都是单调递减的，且当时，，求解即可
【详解】若函数在上单调递减，则，解得.
故选C.
【点睛】本题考查分段函数的单调性．严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小，故解答本题的关键是的最小值大于等于的最大值
4、A
【解析】根据映射中象与原象定义，元素与元素的对应关系即可判断
【详解】映射f：A→B，其中A={a，b}，B={1，2}
已知a的象为1，根据映射的定义，对于集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应，可得b=1或2，
所以选A
【点睛】本题考查了集合中象与原象的定义，关于对应关系的理解．注意A集合中的任意元素在集合B中必须有对应，属于基础题
5、D
【解析】根据终边相同的角定义的写法，直接写出与角α终边相同的角，得到结果
【详解】根据角的终边相同的定义的写法，若α＝，则与角α终边相同的角可以表示为k•360°（k∈Z），即（k∈Z）
故选D
【点睛】本题考查与角α的终边相同的角的集合的表示方法属于基础题.
6、C
【解析】讨论两种情况，利用排除法可得结果.
【详解】和是异面直线时，选项A、B不成立，排除A、B；
和平行时，选项D不成立，排除D,
故选C.
【点睛】本题主要考查空间线面关系的判断，考查了空间想象能力以及排除法的应用，属于基础题.
7、A
【解析】
连接，在正方形中，，
又直三棱柱中，，即，所以面.
所以，所以面，面，所以，
即异面直线与所成角为90°，所以余弦值为0.
故选A.
8、A
【解析】根据文氏图表示的集合求得正确答案.
【详解】文氏图表示集合为，
所以.
故选：A
9、D
【解析】根据余弦函数的图象与性质判断其周期、对称轴、零点、最值即可.
【详解】函数，周期为，故A错误；
函数图像的对称轴为，，，
不是对称轴，故B错误；
函数的零点为，，，
所以不是零点，故C错误；
时，，所以，即，所以，故D正确.
故选：D
10、C
【解析】利用特殊值判断A、B、D，根据不等式的性质证明C；
【详解】解：对于A：当时，若则，故A错误；
对于B：若，，，，满足，则，，不成立，故B错误；
对于C：若，则，所以，故C正确；
对于D：若，满足，但是，故D错误；
故选：C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用两数和的完全平方公式得到，再利用根与系数的关系写出一个满足条件的方程.
【详解】因为，，
所以
，
即该一元二次方程的两根之和为3，两根之积为2，
所以以、为根的一元二次方程可以是.
12、5
【解析】首先求，再化简，求值.
【详解】由题意可知
.
故答案为：5
【点睛】本题考查三角函数的定义和关于的齐次分式求值，意在考查基本化简和计算.
13、或.
【解析】分析：由题意首先求得实数m的值，然后求解距离即可.
详解：由直线垂直的充分必要条件可得：
，即：，
解得：，，
当时点到轴的距离为0，
当时点到轴的距离为5，
综上可得：点到轴的距离为或.
点睛：本题主要考查直线垂直的充分必要条件，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14、
【解析】根据幂函数定义，可求得a值，根据其单调性，即可得答案.
【详解】因为为幂函数，所以，解得或，
又在其定义域上是增函数，
所以，所以.
故答案为：
15、
【解析】观察函数的解析式，推断函数的性质，借助函数性质解不等式
【详解】令 ，则，得，即函数的图像关于中心对称，且单调递增，不等式可化为，即，得，解集为
【点睛】利用函数解决不等式问题，关键是根据不等式构造适当的函数，通过研究函数的单调性等性质解决问题
16、，（答案不唯一）
【解析】由充分条件和必要条件的定义求解即可
【详解】因为当时，一定成立，
而当时，可能，可能，
所以是的充分不必要条件，
故答案为：（答案不唯一）

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）=(2，-3)或=(6，5).
【解析】（1）利用向量线性坐标运算即可求解.
（2）根据向量共线的坐标表示以及向量模的坐标表示列方程组即可求解.
【详解】解：（1）若=m +n，则(4，1)==m(3，2)+n(-1，2)
即所以
（2）设=(x，y)，则-=(x-4，y-1)，+=(2，4)
(-)(+)， |-|=2
\
解得或
所以=(2，-3)或=(6，5)
18、解：(1) y (2) ymax=1225，ymin=600
【解析】解：（Ⅰ）
＝
（Ⅱ）当0≤t＜10时，y的取值范围是[1200，1225]，
在t＝5时，y取得最大值为1225；
当10≤t≤20时，y的取值范围是[600，1200]，
在t＝20时，y取得最小值为600
（答）总之，第5天，日销售额y取得最大为1225元；
第20天，日销售额y取得最小为600元
19、 (1)答案见解析；(2)答案见解析.
【解析】(1)存在，使得平面，此时，即，利用几何关系可知四边形为平行四边形，则，利用线面平行的判断定理可知平面成立
(2)由题意可得三棱锥的体积，由均值不等式的结论可知时，三棱锥的体积有最大值，最大值为
建立空间直角坐标系，则，平面的法向量为，故点到平面的距离
试题解析：
（）存在，使得平面，此时
证明：当，此时，
过作，与交，则，
又，故，
∵，，
∴，且，故四边形为平行四边形，
∴，
∵平面，平面，
∴平面成立
（）∵平面平面，平面，，
∴平面，
∵，
∴，，，
故三棱锥的体积，
∴时，三棱锥的体积有最大值，最大值为
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
，，
设平面的法向量为，则，
∴，取，则，，
∴
∴点到平面的距离

20、（1）；
（2）最大值为，最小值为.
【解析】(1)利用辅助角公式化简f(x)解析式即可根据正弦型函数的周期求解；
(2)求出g(x)解析式，根据正弦型函数的性质可求其在上的最值.
【小问1详解】
，
故函数的最小正周期；
【小问2详解】
，
，
∴，故，
21、（1）；（2）秒
【解析】（1）设，根据题意求得、的值，以及函数的最小正周期，可求得的值，根据的大小可得出的值，由此可得出关于的函数解析式；
（2）由得出，令，求得的取值范围，进而可解不等式，可得出的取值范围，进而得解.
【详解】解：（1）如图所示，标出点M与点N，设，
根据题意可知，，所以，
根据函数的物理意义可知：
，
又因为函数的最小正周期为，
所以，
所以可得：．

（2）根据题意可知，，即，
当水轮转动一圈时，，可得：，
所以此时，
解得：，
又因为（秒），即水轮转动任意一圈内，有秒的时间点P距水面的高度超过2米