江苏省无锡市石塘湾中学2025-2026学年数学高一上期末综合测试模拟试题含解析.doc

江苏省无锡市石塘湾中学2025-2026学年数学高一上期末综合测试模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．某圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角为　　
A. B.
C. D.1
2．关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．根据下表数据，可以判定方程的根所在的区间是（ ）

1
2

3
4

0
0.69
1
1.10
1.39

3
1.5
1.10
1
0.75
A. B.
C. D.
4．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是
A. B.
C. D.
5．方程的所有实数根组成的集合为（　　）
A. B.
C. D.
6．在正方体中，分别是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为
A. B.
C. D.
7．设，，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．直线与直线平行，则的值为（ ）
A. B.2
C. D.0
9．下列四组函数中，定义域相同的一组是（）
A.和 B.和
C.和 D.和
10．若集合，则（）
A.或 B.或
C.或 D.或
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的图像与直线y＝a在(0，)上有三个交点，其横坐标分别为，，，则的取值范围为_______.
12．___________
13．已知函数，，对任意，总存在使得成立，则实数a的取值范围是_________.
14．若存在常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立（或和恒成立），则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数，，若函数和之间存在隔离直线，则实数b的取值范围是______
15．若函数满足：对任意实数，有且，当时，，则时，________
16．已知的图象的对称轴为_________________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
18．已知函数是上的奇函数
（1）求；
（2）用定义法讨论在上的单调性；
（3）若在上恒成立,求的取值范围
19．如图，四面体中，平面，，，，.
（Ⅰ）求四面体的四个面的面积中，最大的面积是多少？
（Ⅱ）证明：在线段上存在点，使得，并求的值

20．已知关于一元二次不等式的解集为.
（1）求函数的最小值；
（2）求关于的一元二次不等式的解集.
21．已知集合，
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】直接利用已知条件，转化求解弦所对的圆心角即可．
【详解】圆的一条弦长等于半径，故由此弦和两条半径构成的三角形是等边三角形， 所以弦所对的圆心角为．
故选C．
【点睛】本题考查扇形圆心角的求法，是基本知识的考查．

2、D
【解析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于，分为三种情况，即可得解.
【详解】方程对应的二次函数设为：
因为方程恰有一根属于，则需要满足：
①，，解得：；
②函数刚好经过点或者，另一个零点属于，
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，故符合题意；
③函数与x轴只有一个交点，横坐标属于，
，解得，
当时，方程的根为，不合题意；
若，方程的根为，符合题意
综上：实数m的取值范围为
故选：D
3、B
【解析】构造函数，通过表格判断，判断零点所在区间，即得结果.
【详解设函数，易见函数在上递增，
由表可知，，
故，由零点存在定理可知，方程的根即函数的零点在区间上.
故选：B.
4、C
【解析】先由三角函数的最值得或，再由得，进而可得单调增区间.
【详解】因为对任意恒成立，所以，
则或，
当时，，则（舍去），
当时，，则，符合题意，
即，
令，解得，即的单调递增区间是；故选C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，利用三角函数的性质确定解析式，属于中档题.
5、C
【解析】首先求出方程的解，再根据集合的表示方法判断即可；
【详解】解：由，解得或，所以方程的所有实数根组成的集合为；
故选：C
6、C
【解析】设正方体的棱长为，如图，连接，它们交于，连接，则平面，而，故就是直线与平面所成的余角，又为直角三角形且，所以，，设直线与平面所成的角为，则，选C.

点睛：线面角的计算往往需要先构造面的垂线，必要时还需将已知的面的垂线适当平移才能构造线面角，最后把该角放置在容易计算的三角形中计算其大小.
7、D
【解析】分别取特殊值验证充分性和必要性不满足，即可得到答案.
【详解】充分性：取，满足“”，但是“”不成立，即充分性不满足；
必要性：取，满足“”，但是“”不成立，即必要性不满足；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
8、B
【解析】根据两直线平行的条件列式可得结果.
【详解】当时，直线与直线垂直，不合题意；
当时，因直线与直线平行，
所以，解得.
故选：B
【点睛】易错点点睛：容易忽视纵截距不等这个条件导致错误.
9、C
【解析】根据根式、分式、对数的性质求各函数的定义域即可.
【详解】A：定义域为，定义域为，不合题设；
B：定义域为，定义域为，不合题设；
C：、定义域均为，符合题设；
D：定义域为，定义域为，不合题设；
故选：C.
10、B
【解析】根据补集的定义，即可求得的补集.
【详解】∵，∴或，
故选：B
【点睛】本小题主要考查补集的概念和运算，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由x∈(0，)求出，然后，画出正弦函数的大致图像，利用图像求解即可
【详解】由题意因为x∈(0，)，则，可画出函数大致的图

则由图可知当时，方程有三个根，由解得，
解得，且点与点关于直线对称，所以，点与点关于直线对称，故由图得，令，当为x∈(0，)时，解得或，所以，，，解得，，则，即.
故答案为：
【点睛】关键点睛：解题关键在于利用x∈(0，)，则画出图像，并利用对称性求出答案
12、
【解析】利用、两角和的正弦展开式进行化简可得答案.
【详解】

故答案为：.
13、
【解析】根若对于任意的∈，总存在，使得g（x0）＝f（x1）成立，得到函数f（x在上值域是g（x）在上值域的子集，然后利用求函数值域之间的关系列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围即可
【详解】∵，
∴f（0）≤f（x）≤f（1），
即0≤f（x）≤4，即函数f（x）的值域为B＝[0，4]，
若对于任意的∈，总存在，使得g（x0）＝f（x1）成立，
则函数f（x）在上值域是g（x）在上值域A的子集，
即B⊆A
①若a＝0，g（x）＝0，此时A＝{0}，不满足条件
②当a≠0时，在是增函数，g（x）∈[﹣+3a，]，即A＝[﹣+3a，]，
则 ，
∴
综上，实数a的取值范围是
故答案为
【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数的值域，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题
14、
【解析】由已知可得、恒成立，利用一元二次不等式的解法和基本不等式即可求得实数的取值范围.
【详解】因为函数和之间存在隔离直线，
所以当时，可得对任意的恒成立，
则，即，所以；
当时，对恒成立，即恒成立，
又当时，，当且仅当即时等号成立，
所以，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
15、
【解析】由，可知.
所以函数是周期为4的周期函数.
，时，..
对任意实数，有，可知函数关于点(1,0)中心对称,
所以，又.
所以.
综上可知，时，.
故答案为.
点睛：抽象函数的周期性：（1）若，则函数周期为T；
（2）若，则函数周期为
（3）若，则函数的周期为；
（4）若，则函数的周期为.
16、
【解析】根据诱导公式可得，然后用二倍角公式化简，进而可求.
【详解】因为所以，故对称轴为.
故答案为:

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）最大值为，最小值为
【解析】（1）利用二倍角公式和两角和正弦公式化简再由周期公式计算可得答案；
（2）根据当的范围可得，再计算出可得答案.
【小问1详解】

，
所以的最小正周期.
【小问2详解】
当时， ，
所以，
所以 ，
所以在区间上的最大值为和最小值.
18、（1）；（2） 是上的增函数；（3）.
【解析】（1）利用奇函数的定义直接求解即可；
（2）用函数的单调性的定义，结合指数函数的单调性直接求解即可；
（3）利用函数的奇函数的性质、单调性原问题可以转化为在上恒成立，利用换元法，再转化为一元二次不等式恒成立问题，分类讨论，最后求出的取值范围.
【详解】（1）函数是上的奇函数

即
即
解得；
（2）由（1）知

设,则
故,,
故
即
是上的增函数
（3）是上的奇函数,是上的增函数
在上恒成立
等价于
等价于在上恒成立
即在上恒成立“*”
令
则“*”式等价于对时恒成立“**
①当,即时“**”为对时恒成立
②当,即时,“**”对时恒成立
须或
解得
综上,的取值范围是
【点睛】本题考查了奇函数的定义，考查了函数单调性的定义，考查了指数函数的单调性的应用，考查了不等式恒成立问题，考查了换元法，考查了数学运算能力.
19、 (Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.
【解析】（1）易得，,,均为直角三角形，且的面积最大，进而求解即可；
（2）在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N．在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM，可证得AC⊥平面MBN，从而使得AC⊥BM，利用相似和平行求解即可.
试题解析：
（1）由题设AB＝1，AC＝2，BC＝，
可得,所以,
由PA⊥平面ABC，BC、AB⊂平面ABC,所以，,
所以,
又由于PA∩AB＝A，故BC⊥平面PAB,
PB⊂平面PAB,所以,
所以，,,均为直角三角形，且的面积最大，
.

（2）证明：在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N．在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.
由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC
由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.
又BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM.
因为与相似，，
从而NC＝AC－AN＝.
由MN∥PA，得＝＝.
20、（1）
（2）
【解析】（1）由题意可得，解不等式求出的取值范围，再利用基本不等式求的最小值；
（2）不等式化为，比较和的大小，即可得出不等式的解集.
【小问1详解】
因为关于一元二次不等式的解集为，
所以，化简可得：，解得：，
所以，
所以，
当且仅当即，的最小值为.
【小问2详解】
不等式，可化为，
因为，所以，
所以该不等式的解集为.
21、（1） （2）的取值范围为
【解析】(1)化简集合A,B求出集合B的补集，再求即可;
(2)由得到集合A是集合B的子集，分别讨论集合A为空集和不是空集的情况，列出相应不等式，即可求解.
【详解】解：（1）当时，，，或，
可得.
（2）①当时，，此时，成立；
②当时，若，有，得，
由上知，若，则实数的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了集合间的基本运算以及包含关系，注意集合A是集合B的子集时，不要忽略集合A为空集的情况，属于中档题.