河北省保定市定州中学承智班2026届高一数学第一学期期末学业水平测试试题含解析.doc

河北省保定市定州中学承智班2026届高一数学第一学期期末学业水平测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数y＝ln（1﹣x）的图象大致为（）
A. B.
C. D.
2．已知，则
A.-2 B.-1
C. D.2
3．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）
A. B.
C. D.
4．已知函数的定义域和值域都是，则（ ）
A. B.
C.1 D.
5．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
每户每月用水量
水价
不超过12m3的部分
3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分
6元/m3
超过18m3的部分
9元/m3
若某户居民本月缴纳的水费为90元，则此户居民本月的用水量为（）
A.17 B.18
C.19 D.20
6． “密位制”是用于航海方面的一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是密位制，即将一个圆周角分为等份，每一个等份是一个密位，那么密位对应弧度为（）
A. B.
C. D.
7．函数是
A.最小正周期为的奇函数
B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数
D.最小正周期为的偶函数
8．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线给出下列命题：
①若m∥α，m∥β，则α∥β
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③m⊂α，n⊂β，m、n是异面直线，那么n与α相交；
④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β
其中正确的命题是（　　）
A.①② B.②③
C.③④ D.④
9． “”是“函数在内单调递增”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要
10．若幂函数的图像经过点，则
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，，则的值为
12．_____
13．已知点，若，则点的坐标为_________.
14．记为偶函数，是正整数，，对任意实数，满足中的元素不超过两个，且存在实数使中含有两个元素，则的值是__________
15．函数一段图象如图所示则的解析式为______

16．若存在常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立（或和恒成立），则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数，，若函数和之间存在隔离直线，则实数b的取值范围是______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．2009年某市某地段商业用地价格为每亩60万元，由于土地价格持续上涨，到2021年已经上涨到每亩120万元．现给出两种地价增长方式，其中是按直线上升的地价，是按对数增长的地价，t是2009年以来经过的年数，2009年对应的t值为0
（1）求，的解析式；
（2）2021年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策，为此，该市要求2025年的地价相对于2021年上涨幅度控制在10%以内，请分析比较以上两种增长方式，确定出最合适的一种模型．（参考数据：）
18．某班级欲在半径为1米的圆形展板上做班级宣传，设计方案如下：用四根不计宽度的铜条将圆形展板分成如图所示的形状，其中正方形ABCD的中心在展板圆心，正方形内部用宣传画装饰，若铜条价格为10元/米，宣传画价格为20元/平方米，展板所需总费用为铜条的费用与宣传画的费用之和

（1）设，将展板所需总费用表示成的函数；
（2）若班级预算为100元，试问上述设计方案是否会超出班级预算？
19．已知向量=（3，4），=（1，2），=（－2，－2）
（1）求||，||的值；
（2）若=m+n，求实数m，n的值；
（3）若（+）∥（－+ k），求实数k的值
20．已知函数.

（1）求，的值；
（2）在给定的坐标系中，画出的图象（不必列表）；
（3）若关于的方程恰有3个不相等的实数解，求实数的取值范围.
21．已知
（1）设，求的值域；
（2）设，求的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据函数的定义域和特殊点，判断出正确选项.
【详解】由，解得，也即函数的定义域为，由此排除A,B选项.当时，，由此排除D选项.所以正确的为C选项.
故选：C
【点睛】本小题主要考查函数图像识别，属于基础题.
2、B
【解析】，，则，故选B.
3、B
【解析】由奇偶性排除，再由增减性可选出正确答案.
【详解】项为奇函数，项为非奇非偶函数函数，为偶函数，项中，在单减，项中，在单调递增.
故选：B
4、A
【解析】分和，利用指数函数的单调性列方程组求解.
【详解】当时，，方程组无解
当时，，解得

故选：A.
5、D
【解析】根据给定条件求出水费与水价的函数关系，再由给定函数值计算作答.
【详解】依题意，设此户居民月用水量为，月缴纳的水费为y元，
则，整理得：，
当时，，当时，，因此，由得：，解得，
所以此户居民本月的用水量为.
故选：D
6、B
【解析】根据弧度制公式即可求得结果
【详解】密位对应弧度为
故选：B
7、C
【解析】根据题意，由于函数是，因此排除线线A,B，
然后对于选项C，D，由于正弦函数周期为，那么利用图象的对称性可知，函数的周期性为，故选C.
考点：函数的奇偶性和周期性
点评解决的关键是根据已知函数解析式俩分析确定奇偶性，那么同时结合图像的变换来得到周期，属于基础题
8、D
【解析】利用平面与平面垂直和平行的判定和性质，直线与平面平行的判断，对选项逐一判断即可
【详解】①若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，错误命题；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交．错误的命题；
③m⊂α，n⊂β，m、n是异面直线，那么n与α相交,也可能n∥α，是错误命题；
④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．是正确的命题
故选D
【点睛】本题考查平面与平面的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空间想象力，属于中档题.
9、A
【解析】由函数在内单调递增得，进而根据充分，必要条件判断即可.
【详解】解：因为函数在内单调递增，
所以，
因为是的真子集，
所以“”是“函数在内单调递增”的充分而不必要条件
故选：A
10、B
【解析】由题意可设，将点代入可得，则，故选B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、3
【解析】，故答案为3.
12、
【解析】利用根式性质与对数运算进行化简.
【详解】，
故答案为：6
13、（0,3）
【解析】设点的坐标，利用，求解即可
【详解】解：点，，，
设，，，
，，解得，
点的坐标为，
故答案为：
【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量相等的应用，属于基础题
14、4、5、6
【解析】根据偶函数，是正整数，推断出的取值范围，相邻的两个的距离是，依照题意列不等式组，求出的值
【详解】由题意得．∵为偶函数，是正整数，
∴，
∵对任意实数，满足中的元素不超过两个，且存在实数使中含有两个元素，
∴中任意相邻两个元素的间隔必小于1，任意相邻的三个元素的间隔之和必大于1
∴，解得，又，∴．答案：
【点睛】本题考查了正弦函数的奇偶性和周期性，以及根据集合的运算关系，求参数的值，关键是理解的意义，强调抽象思维与灵活应变的能力
15、
【解析】由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，从而得到函数的解析式
【详解】由函数的图象的顶点的纵坐标可得，再由函数的周期性可得，
再由五点法作图可得，
故函数的解析式为，
故答案为
【点睛】本题主要考查函数的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于中档题
16、
【解析】由已知可得、恒成立，利用一元二次不等式的解法和基本不等式即可求得实数的取值范围.
【详解】因为函数和之间存在隔离直线，
所以当时，可得对任意的恒成立，
则，即，所以；
当时，对恒成立，即恒成立，
又当时，，当且仅当即时等号成立，
所以，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；，
（2）分析比较见解析；应该选择模型
【解析】（1）由，求得；由，求得；
（2）分别由，，，算出直线和对数增长的增长率与10%比较即可.
【小问1详解】
解：由题知：，，
所以，解得：，
所以，；
又，，
所以，
解得：，
所以，；
【小问2详解】
若按照模型，到2025年时，，，
直线上升的增长率为，不符合要求；
若按照模型，到2025年时，，
，
对数增长的增长率为，符合要求；
综上分析，应该选择模型
18、（1）；（2）上述设计方案是不会超出班级预算
【解析】（1）过点O作，垂足为H，用表示出OH和PH，从而可得铜条长度和正方形的面积，进而得出函数式；
（2）利用同角三角函数的关系和二次函数的性质求出预算的最大值即可得出结论
【详解】（1）过点O作，垂足为H，则，，

正方形ABCD的中心在展板圆心，铜条长为相等，每根铜条长，
，展板所需总费用为
（2）
，当时等号成立.
上述设计方案是不会超出班级预算
【点睛】本题考查了函数应用，三角函数恒等变换与求值，属于中档题
19、（1）||=5；；
（2）；
（3）.
【解析】（1）利用向量的模长的坐标公式即得；
（2）利用向量的线性坐标表示即得；
（3）利用向量平行的坐标表示即求.
小问1详解】
∵向量=（3，4），=（1，2），
∴||=5，；
【小问2详解】
∵=（3，4），=（1，2），=（－2，－2），=m+n，
∴（3，4）=m（1，2）+n（－2，－2） =（m－2n，2m－2n），
所以，
得；
【小问3详解】
∵（+）∥(－+ k)，
又－+k=(－1－2k，－2－2k )，+=（4，6），
∴6 (－1－2k)=4 (－2－2k),
解得，
故实数k的值为.
20、（1），
（2）图象见解析（3）
【解析】（1）由函数解析式直接代入求解；
（2）根据函数解析式及函数的性质画出图象；
（3）利用数形结合的方法可求解.
【小问1详解】
由解析可得：，
因，所以.
【小问2详解】
函数的图象如下：
【小问3详解】
方程有3个不相等的实数解等价于函数的图象与的图象有三个交点，

结合（2）中的图象可得的取值范围为.
21、（1）
（2）
【解析】（1）由题意利用三角恒等变换化简的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论
（2）由题意利用诱导公式及二倍角公式求得结果
【小问1详解】

，
，所以，，
故当，即时，函数取得最小值；
当，即时，函数取得最大值
所以的值域为
【小问2详解】
由，
得
于是