福建省泉州市永春县华侨中学2025年数学高一第一学期期末质量检测模拟试题含解析.doc

福建省泉州市永春县华侨中学2025年数学高一第一学期期末质量检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列四个函数中，在整个定义域内单调递减是　　
A. B.
C. D.
2．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）
A. B.
C. D.
3．已知，则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．已知a>0，则当取得最小值时，a值为（）
A. B.
C. D.3
5．直线与圆相交于两点,若,则的取值范围是
A. B.
C. D.
6．直线l：x﹣2y+k＝0（k∈R）过点（0，2），则k的值为（ ）
A.﹣4 B.4
C.2 D.﹣2
7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为()
A. B.
C. D.
8．若，则的值为　　
A. B.
C.2 D.3
9．已知函数，则的零点所在区间为　　
A. B.
C. D.
10．已知，若，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，则__________
12．已知向量，，则向量在方向上的投影为___________.
13．某超市对6个时间段内使用两种移动支付方式的次数用茎叶图作了统计，如图所示，使用支付方式的次数的极差为______；若使用支付方式的次数的中位数为17，则_______.
支付方式A

支付方式B
4 2
0
6 7
1 0
5 3
1
2
6 m 9
1

14．已知幂函数的图象过点，则________
15．已知函数．若关于的方程，有两个不同的实根，则实数的取值范围是____________
16．如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为6的等边三角形．若AB=4，则四面体ABCD外接球的表面积为________

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
⑴判断并证明函数的奇偶性；
⑵若，求实数的值.
18．已知函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，总有.
（1）求的值；
（2）证明：是定义域上的减函数；
（3）若，解不等式.
19．如图，以Ox为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，已知点P的坐标为

（1）求的值；
（2）若，求的值
20．已知函数（常数）.
（1）当时，用定义证明在区间上是严格增函数；
（2）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）令，设在区间上的最小值为，求的表达式.
21．（1）设函数.若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据指数函数的性质判断，利用特殊值判断，利用对数函数的性质判断，利用偶函数的性质判断
【详解】对于，，是指数函数，在整个定义域内单调递增，不符合题意；
对于，，有，，不是减函数，不符合题意；
对于，为对数函数，整个定义域内单调递减，符合题意；
对于，，为偶函数，整个定义域内不是单调函数，不符合题意，
故选C
【点睛】本题主要考查指数函数的性质、单调性是定义，对数函数的性质以及偶函数的性质意在考查综合利用所学知识解答问题的能力，属于中档题
2、B
【解析】由奇偶性排除，再由增减性可选出正确答案.
【详解】项为奇函数，项为非奇非偶函数函数，为偶函数，项中，在单减，项中，在单调递增.
故选：B
3、B
【解析】先由，得到，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.
【详解】由解得，所以由“”能推出“”，反之，不能推出；
因此“”是“”必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题主要考查命题的必要不充分条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.
4、C
【解析】利用基本不等式求最值即可.
【详解】∵a>0，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：C
5、C
【解析】圆，即.
直线与圆相交于两点,若,
设圆心到直线距离.
则，解得.
即，解得
故选C.
点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；
（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小
6、B
【解析】将点（0，2）代入直线l：x﹣2y+k＝0（k∈R）的方程中，可解得k的值.
【详解】由直线l：x﹣2y+k＝0（k∈R）过点（0，2）.
所以点的坐标满足直线l的方程
即 则，
故选：B.
【点睛】本题考查点在直线上求参数，属于基础题.
7、B
【解析】根据函数的定义域求出的范围，结合分母不为0求出函数的定义域即可
【详解】由题意得：，解得：，
由，解得：，
故函数的定义域是，
故选：B
8、A
【解析】利用同角三角函数的基本关系，把要求值的式子化为，即可得到答案.
【详解】由题意，因为，所以，
故选A
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.
9、B
【解析】根据函数的零点判定定理可求
【详解】连续函数在上单调递增，
，，
的零点所在的区间为，
故选B
【点睛】本题主要考查了函数零点存在定理的应用，熟记定理是关键，属于基础试题
10、C
【解析】设，求出，再由求出.
【详解】设，因为
所以，
又，所以，
所以.
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】先求出的值,然后再运用对数的运算法则求解出和的值,最后求解答案.
【详解】若,则,所以.
故答案为:
【点睛】本题考查了对数的运算法则,熟练掌握对数的各运算法则是解题关键,并能灵活运用法则来解题,并且要计算正确,本题较为基础.
12、
【解析】直接利用投影的定义求在方向上的投影.
【详解】因为，，设与夹角为，，
则向量在方向上的投影为：
.
所以在方向上投影为
故答案为：.
13、 ①.； ②.
【解析】根据极差，中位数的定义即可计算.
【详解】解：由茎叶图可知：使用支付方式的次数的极差为：；
使用支付方式的次数的中位数为17，
易知：，

解得：.
故答案为：；.
14、3
【解析】先求得幂函数的解析式，再去求函数值即可.
【详解】设幂函数，则，则，
则，则
故答案为：3
15、
【解析】作出函数的图象，如图所示，

当时，单调递减，且，当时，单调递增，且，所以函数的图象与直线有两个交点时，有
16、
【解析】由题设知，四面体ABCD的外接球也是与其同底等高的三棱柱的外接球，球心为上下底面中心连线EF的中点 ,所以，
所以球的半径
所以，外接球的表面积 ，所以答案应填：

考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的表面积

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】（1）求出函数的定义域，利用函数的奇偶性的定义判断即可；
（2）是奇函数,则结合，求解代入求解即可.
【详解】(1)解：是奇函数.
证明：要等价于即
故的定义域为
设任意则
又因为
所以是奇函数.
(2)由(1)知，是奇函数,则
联立得即
解得
18、（1）；
（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）令即可求得结果；
（2）设，由即可证得结论；
（3）将所求不等式化为，结合单调性和定义域的要求即可构造不等式组求得结果.
【小问1详解】
令，则，解得：；
【小问2详解】
设，则，
，，，是定义域上的减函数；
【小问3详解】
由得：，即，
又，，
是定义域上的减函数，，解得：；
又，，
的解集为.
【点睛】思路点睛：本题考查抽象函数的函数值的求解、单调性证明以及利用单调性求解函数不等式的问题；求解函数不等式的基本思路是将所求不等式化为同一函数的两个函数值之间的比较问题，进而通过函数的单调性得到自变量的大小关系.
19、（1）（2）
【解析】(1)由三角函数的定义首先求得的值，然后结合二倍角公式和同角三角函数基本关系化简求解三角函数式的值即可；
(2)由题意首先求得的关系，然后结合诱导公式和两角和差正余弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】（1）由三角函数定义得，，
∴原式
（2）∵，且，
∴，，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，二倍角公式及其应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20、（1）证明见解析
（2）当时，奇函数；当时，非奇非偶函数，理由见解析.
（3）
【解析】（1）当时，得到函数，利用函数单调性的定义，即可作出证明；
（2）分和两种情况，结合函数的奇偶性的定义，即可得出结论.
（3）根据正负性,结合具体类型的函数的单调性,进行分类讨论可以求出的表达式；
【小问1详解】
当时，函数，
设且，
则
，
因为，可得
又由，可得，所以
所以，即，
所以函数是上是严格增函数.
【小问2详解】
由函数的定义域为关于原点对称，
当时，函数，可得，此时函数为奇函数；
当时，，此时且，
所以时，函数为非奇非偶函数.
【小问3详解】
，
当时, ,函数在区间的最小值为；
当时,函数的对称轴为：.
若,在区间的最小值为；
若,在区间的最小值为
;
若,在区间的最小值为；
当时, ,在区间的最小值为.
综上所述：；
21、（1）；（2）答案见解析.
【解析】（1）由题设知对一切实数恒成立，根据二次函数的性质列不等式组求参数范围.
（2）分类讨论法求一元二次不等式的解集.
【详解】（1）由题设，对一切实数恒成立，
当时，在上不能恒成立；
∴，解得.
（2）由，
∴当时，解集为；
当时，无解；
当时，解集为；