北京市第二十五中学2025-2026学年数学高一第一学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

北京市第二十五中学2025-2026学年数学高一第一学期期末综合测试模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数，，则（）
A.的最大值为 B.在区间上只有个零点
C.的最小正周期为 D.为图象的一条对称轴
2．将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为（　　）
A. B.
C. D.
3．已知直线，平面满足，则直线与直线的位置关系是
A.平行 B.相交或异面
C.异面 D.平行或异面
4．对于①，②，③，④，⑤，⑥，则为第二象限角的充要条件是（）
A.①③ B.③⑤
C.①⑥ D.②④
5．已知向量，满足，，且与的夹角为，则（）
A. B.
C. D.
6．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（　　）

A.所在平面 B. 所在平面
C.所在平面 D.所在平面
7．已知角α的终边经过点，则（ ）
A. B.
C. D.
8．已知函数f(x)＝|ln x|－1，g(x)＝－x2＋2x＋3，用min{m，n}表示m，n中的最小值．设函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}，则函数h(x)的零点个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
9．函数的部分图象是（）
A. B.
C. D.
10．下列表示正确的是
A.0∈N B.∈N
C.–3∈N D.π∈Q
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知奇函数满足，，若当时，，则______
12．漏斗作为中国传统器具而存在于日常生活之中，某漏斗有盖的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该漏斗的容积为不考虑漏斗的厚度______，若该漏斗存在外接球，则______.

13．已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是____________
14．集合的子集个数为______
15．已知函数，若正实数，满足，则的最小值是____________
16．函数的图象恒过定点,点在幂函数的图象上,则=____________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知在半径为的圆中，弦的长为.
（1）求弦所对的圆心角的大小；
（2）求圆心角所在的扇形弧长及弧所在的弓形的面积.
18．计算下列各式的值.
（1）；
（2）.
19．如图，四棱锥的底面是正方形，，点在棱上.

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）当且为的中点时，求与平面所成的角的大小.
20．甲地到乙地的距离大约为240，某汽车公司为测试一种新型号的汽车的耗油量与行驶速度的关系，进行了多次实地测试，收集到了该车型的每小时耗油量Q（单位：）与速度v（单位：）（）的数据如下表：
v
0
40
60
80
120
Q
0.000
6.667
8.125
10.000
20.000
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③.
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
（2）从甲地到乙地，该型号的汽车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？
21．设为奇函数，为常数.
（1）求的值；
（2）证明：在内单调递增；
（3）若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：函数
，
可得的最大值为2，最小正周期为，故A、C错误；
由可得，即，
可知在区间上的零点为，故B错误；
由，可知为图象的一条对称轴，故D正确
故选：D
2、B
【解析】直接利用函数图像变化原则：“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式
【详解】函数图像向右平移个单位，
由得，故选B
【点睛】本题考查函数图像变换：“左加右减，上加下减”，需注意“左加右减”时平移量作用在x上，即将变成，是函数图像平移了个单位，而非个单位
3、D
【解析】∵a∥α，∴a与α没有公共点，b⊂α，∴a、b没有公共点，
∴a、b平行或异面．
故选D
4、C
【解析】利用三角函数值在各个象限的符号判断.
【详解】为第二象限角的充要条件是：①，④，⑥，
故选：C.
5A
【解析】根据向量的数量积运算以及运算法则，直接计算，即可得出结果.
【详解】因为，，且与的夹角为，
所以，
因此.
故选：A.
6、B
【解析】本题为折叠问题，分析折叠前与折叠后位置关系、几何量的变与不变，可得HA、HE、HF三者相互垂直，根据线面垂直的判定定理，可判断AH与平面HEF的垂直
【详解】根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，B正确；
∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；
∵AG⊥EF，EF⊥AH，∴EF⊥平面HAG，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，
∴C不正确；
∵HG不垂直于AG，∴HG⊥平面AEF不正确，D不正确

故选B
【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，一般利用线线⇔线面⇔面面，垂直关系的相互转化判断
7、D
【解析】推导出，，，再由，求出结果
【详解】∵角的终边经过点，
∴，，，
∴
故选：D
8、C
【解析】画图可知四个零点分别为－1和3，和e，但注意到f(x)的定义域为x>0，故选C.

9、C
【解析】首先判断函数的奇偶性，即可排除AD，又，即可排除B.
【详解】因为，定义域为R，关于原点对称，
又，
故函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除AD；
又，故排除B.
故选：C.
10、A
【解析】根据自然数集以及有理数集的含义判断数与集合关系.
【详解】N表示自然数集，在A中，0∈N，故A正确；
在B中，，故B错误；
在C中，–3∉N，故C错误；
Q表示有理数集，在D中，π∉Q，故D错误
故选A
【点睛】本题考查自然数集、有理数集的含义以及数与集合关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由，可得是以周期为周期函数，由奇函数的性质以及已知区间上的解析式可求值，从而计算求解.
【详解】因为，即是以周期为的周期函数.为奇函数且当时，， ，当时，
所以
故答案为：
12、 ①. ②.0.5

【解析】先将三视图还原几何体，然后利用长方体和锥体的体积公式求解容积即可；设该漏斗外接球的半径为，设球心为，利用，列式求解的值即可.
【详解】
由题中的三视图可得，原几何体如图所示，
其中，，正四棱锥的高为，
，
，
所以该漏斗的容积为；
正视图为该几何体的轴截面，
设该漏斗外接球的半径为，设球心为，
则，
因为，
又，
所以，
整理可得，解得，
所以该漏斗存在外接球，则
故答案为：①；②.
13、
【解析】令，进而作出的图象，然后通过数形结合求得答案.
【详解】令，现作出的图象，如图：

于是，当时，图象有交点，即函数有零点.
故答案为：.
1432
【解析】由n个元素组成的集合，集合的子集个数为个.
【详解】解：由题意得，则A的子集个数为
故答案为：32.
15、9
【解析】根据指数的运算法则，可求得，根据基本不等式中“1”的代换，化简计算，即可得答案.
【详解】由题意得，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是9
故答案为：9
16、
【解析】因为函数图象恒过定点，则可之令2x-3=1,x=2,函数值为4，故过定点（2，4），然后根据且点在幂函数的图象上，设,故可知=9，故答案为9.
考点：对数函数
点评：本题考查了对数函数图象过定点（1，0），即令真数为1求对应的x和y，则是所求函数过定点的坐标

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】（1）根据为等边三角形得出，
（2）代入弧长公式和面积公式计算.
【详解】（1）由于圆的半径为，弦的长为，所以为等边三角形，所以.
（2）因为，所以.，
又，
所以.
【点睛】本题主要考查了扇形的相关知识点，弦长、弧长、面积等，属于基础题，解题的关键是在于公式的熟练运用.
18、（1）125（2）0
【解析】（1）按照指数运算进行计算即可；
（2）按照对数运算进行计算即可；
【小问1详解】
；
【小问2详解】
.
19、 (1)见解析 (2)
【解析】（Ⅰ）欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；
（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可
【详解】（1）证明：∵底面ABCD是正方形
∴AC⊥BD
又PD⊥底面ABCD
PD⊥AC
所以AC⊥面PDB
因此面AEC⊥面PDB
（2）解：设AC与BD交于O点，连接EO
则易得∠AEO为AE与面PDB所成的角
∵E、O为中点 ∴EO＝PD ∴EO⊥AO
∴在Rt△AEO中 OE＝PD＝AB＝AO
∴∠AEO＝45° 即AE与面PDB所成角的大小为45°
本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题
20、（1）最符合实际的模型为①，理由见解析
（2）从甲地到乙地，该型号的汽车以80的速度行驶时能使总耗油量最少
【解析】（1）根据定义域和单调性来判断；
（2）根据行驶时间与单位时间的耗油量得到总耗油量的函数表达式，再求最小值的条件即可.
【小问1详解】
依题意，所选的函数必须满足两个条件：
定义域为，且在区间上单调递增.
由于模型③定义域不可能是.
而模型②在区间上是减函数.
因此，最符合实际的模型为①.
【小问2详解】
设从甲地到乙地行驶总耗油量为y，行驶时间为t，依题意有.
∵，，
∴，
它是一个关于v的开口向上的二次函数，其对称轴为，且，
∴当时，y有最小值.
由题设表格知，当时，，，.
∴从甲地到乙地，该型号的汽车以80km/h的速度行驶时能使总耗油量最少.
21、（1）
（2）证明见解析（3）
【解析】（1）根据得到，验证得到答案.
（2）证明的单调性，再根据复合函数的单调性得到答案.
（3）确定单调递增，再计算最小值得到答案.
【小问1详解】
，，
，
即，故，，
当时，，不成立，舍去；
当时，，验证满足.
综上所述：.
【小问2详解】
，函数定义域为，
考虑，
设，则，
，，故，函数单调递减.
在上单调递减，
根据复合函数单调性知在内单调递增.
【小问3详解】
，即，为增函数.
故在单调递增，故.
故.