2025-2026学年山西省岢岚县中学数学高一上期末学业水平测试试题含解析.doc

2025-2026学年山西省岢岚县中学数学高一上期末学业水平测试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数图象大致是 ）
A. B.
C. D.
2．已知函数，的最值情况为（）
A.有最大值，但无最小值 B.有最小值，有最大值1
C.有最小值1，有最大值 D.无最大值，也无最小值
3．已知函数，下列说法错误的是（）
A.函数在上单调递减
B.函数是最小正周期为的周期函数
C.若，则方程在区间内，最多有4个不同的根
D.函数在区间内，共有6个零点
4．函数的零点一定位于下列哪个区间（）.
A. B.
C. D.
5．在空间四边形的各边上的依次取点，若所在直线相交于点，则

A.点必在直线上 B.点必在直线上
C.点必在平面外 D.点必在平面内
6．下列关系中，正确的是　　
A. B.
C. D.
7．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°．那么这个二面角大小是（　　　　）

A.30° B.60°
C.90° D.120°
8．已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
9．已知圆：与圆：，则两圆的公切线条数为　　
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
10．已知在正四面体ABCD中，E是AD的中点，P是棱AC上的一动点，BP＋PE的最小值为，则该四面体内切球的体积为（）
A.π B.π
C.4π D.π
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如果实数满足条件，那么的最大值为__________
12．函数的定义域是__________
13．已知幂函数的图象过点（2，），则___________
14．定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若、是钝角三角形的两个锐角，对（1），为奇数；（2）；（3）；（4）；（5）.则以上结论中正确的有______________.(填入所有正确结论的序号).
15．已知函数是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上递减，则实数m＝________
16．比较大小：______cos（）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
18．函数
（1）当时，求函数的值域；
（2）当时，求函数的最小值
19．2021年8月，国务院教育督导委员会办公室 印发《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》，通知指出，加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理（简称“五项管理”），是深入推进学生健康成长的重要举措．宿州市要对全市中小学生“体能达标”情况进行摸底，采用普查与抽样相结合的方式进行．现从某样本校中随机抽取20名学生参加体能测试，将这20名学生随机分为甲、乙两组，其中甲、乙两组学生人数之比为3：2，测试后，两组各自的成绩统计如下：甲组学生的平均成绩为75分，方差为16；乙组学生的平均成绩为80分，方差为25
（1）估计该样本校学生体能测试的平均成绩；
（2）求这20名学生测试成绩的标准差．（结果保留整数）
20．（1）已知是奇函数，求的值；

（2）画出函数图象，并利用图象回答：为何值时，方程无解？有一解？有两解.
21．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点.求证：

（1）平面AB1F1∥平面C1BF；
（2）平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再利用当x＞0时，函数值的正负确定选项即可.
【详解】函数f（x）定义域为，
所以函数f（x）是奇函数，排除BC
当x＞0时，，排除D
故选：A
2、C
【解析】利用二次函数的图象与性质，得到二次函数的单调性，即可求解最值，得到答案.
【详解】由题意，函数，
可得函数在区间上单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最小值，最小值为，
故选C.
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及其应用，其中解答中熟练利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
3、B
【解析】A.由时，判断；B.易知是偶函数，作出其图象判断； C.在同一坐标系中作出的图象判断； D.根据函数是偶函数，利用其图象，判断的零点个数即可.
【详解】A.当时，而，上递减，故正确；
B.因为，所以是偶函数，当时，，作出其图象如图所示：

由图象知；函数不是周期函数，故错误；
C.在同一坐标系中作出的图象，如图所示：

由图象知：当，方程在区间内，最多有4个不同的根，故正确；
D.因为函数是偶函数，只求的零点个数即可，如图所示：

由函数图象知，在区间内共有3个，所以函数在区间内，共有6个零点，故正确；
故选：B
4、C
【解析】根据零点存在性定理可得结果.
【详解】因为函数的图象连续不断，且，
，，
，
根据零点存在性定理可知函数的零点一定位于区间内.
故选：C
【点睛】关键点点睛：掌握零点存在性定理是解题关键.
5、B
【解析】由题意连接EH、FG、BD，则P∈EH且P∈FG，再根据两直线分别在平面ABD和BCD内，根据公理3则点P一定在两个平面的交线BD上
【详解】如图：连接EH、FG、BD，
∵EH、FG所在直线相交于点P，
∴P∈EH且P∈FG，
∵EH⊂平面ABD，FG⊂平面BCD，
∴P∈平面ABD，且P∈平面BCD，
由∵平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴P∈BD，
故选B

【点睛】本题考查公理3的应用，即根据此公理证明线共点或点共线问题，必须证明此点是两个平面的公共点，可有点在线上，而线在面上进行证明
6、C
【解析】利用元素与集合的关系依次对选项进行判断即可
【详解】选项A：，错误；
选项B，，错误；
选项C，，正确；
选项D， 与是元素与集合的关系，应该满足，故错误；
故选C
【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题
7、C
【解析】根据折的过程中不变的角的大小、结合二面角的定义进行判断即可.
【详解】因为AD是等腰直角△ABC斜边BC上的高，所以
，因此是二面角的平面角，
∠B′AC＝60°．所以是等边三角形，因此，在中
.
故选：C
【点睛】本题考查了二面角的判断，考查了数学运算能力，属于基础题.
8、A
【解析】由题意可得在单调递减，且，从而可得当或时，，当或时，，然后分和求出不等式的解集
【详解因为奇函数在上单调递减，且，
所以在单调递减，且，
所以当或时，，当或时，，
当时，不等式等价于，
所以或，解得，
当时，不等式等价于，
所以或，解得或，
综上，不等式的解集为，
故选：A
9、D
【解析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距判断两圆外离，公切线有4条
【详解】圆C1：x2+y2﹣2x＝0化为标准形式是（x﹣1）2+y2＝1，
圆心是C1（1，0），半径是r1＝1；
圆C2：x2+y2﹣4y+3＝0化为标准形式是x2+（y﹣2）2＝1，
圆心是C2（0，2），半径是r2＝1；
则|C1C2|r1+r2，
∴两圆外离，公切线有4条
故选D
【点睛本题考查了两圆的一般方程与位置关系应用问题，是基础题
10、D
【解析】首先设正四面体的棱长为，将侧面和沿边展开成平面图形，根据题意得到的最小值为，从而得到，根据等体积转化得到内切球半径，再计算其体积即可.
【详解】设正四面体的棱长为，将侧面和沿边展开成平面图形，如图所示：

则的最小值为，
解得.
如图所示：为正四面体的高，

，正四面体高.
所以正四面体的体积.
设正四面体内切球的球心为，半径为，如图所示：

则到正四面体四个面的距离相等，都等于，
所以正四面体的体积，解得.
所以内切球的体积.
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可
【详解】先根据约束条件画出可行域，

当直线过点时，
z最大是1，
故答案为1
【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题
12、
【解析】要使函数有意义，则,解得, 函数的定义域是,故答案为.
13、
【解析】由幂函数所过的点求的解析式，进而求即可.
【详解】由题设，若，则，可得，
∴，故.
故答案为：
14、（1）（4）（5）
【解析】令，结合偶函数得到，根据题意推出函数的周期为，可得（1）正确；根据函数在上是减函数，结合周期性可得在上是增函数，利用、是钝角三角形的两个锐角，结合正弦函数、余弦函数的单调性可得，，再利用函数的单调性可得（4）（5）正确，当时，可得（2）（3）不正确.
【详解】∵，令，得，又是偶函数，
则，∴，
且，可得函数是周期为2的函数.故，为奇数.故（1）正确；
∵、是钝角三角形的两个锐角，
∴，可得，
∵在区间上是增函数，，
∴，即钝角三角形的两个锐角、满足，
由在区间上是减函数得，
∵函数是周期为2的函数且在上是减函数，∴在上也是减函数，又函数是定义在上的偶函数，可得在上是增函数.
∵钝角三角形的两个锐角、满足，，
且，，
∴，故（4）（5）正确；
当时，，，，，故（2）（3）不正确.
故答案为：（1）（4）（5）
【点睛】关键点点睛：利用函数的奇偶性和单调性求解是解题关键.
15、2
【解析】由幂函数的定义可得m2－m－1＝1，得出m＝2或m＝－1，代入验证即可.
【详解】是幂函数，
根据幂函数的定义和性质，得m2－m－1＝1
解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f（x）＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，符合题意；
当m＝－1时，f（x）＝x0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，
所以m＝2
故答案为：2
【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查了理解辨析能力和计算能力，属于基础题目.
16、＞
【解析】利用诱导公式化简后，根据三角函数的单调性进行判断即可
【详解】cos（π）＝cos（﹣4π）＝cos（）＝cos，
cos（π）＝cos（﹣4π）＝cos（）＝cos，
∵y＝cosx在（0，π）上为减函数，
∴coscos，
即cos（π）＞cos（π）
故答案为＞
【点睛】本题主要考查函数的大小比较，根据三角函数的诱导公式以及三角函数的单调性是解决本题的关键，属于基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）400；
（2）不能获利，至少需要补贴35000元.
【解析】(1)每月每吨的平均处理成本为，利用基本不等式求解即得最低成本；
(2)写出该单位每月的获利f(x)关于x的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答.
【小问1详解】
由题意可知：，
每吨二氧化碳的平均处理成本为：
，
当且仅当，即时，等号成立，
∴该单位每月处理量为400吨时，每吨平均处理成本最低；
【小问2详解】
该单位每月的获利：
，
因，函数在区间上单调递减，
从而得当时，函数取得最大值，即，
所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.
18、（1）
（2）答案见解析
【解析】（1）化简函数，结合二次函数的图象与性质，即可求解；
（2）根据函数的解析式，分，和，三种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，函数，
可得函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为，
综上函数在上的值域为.
【小问2详解】
解：①当时，函数在区间上单调递减，最小值为；
②当时，函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增，最小值为；
③当时，函数在区间上单调递增，最小值为，
综上可得：当时，函数的最小值为；当，函数的最小值为；当时，函数的最小值为.
19、（1）77 （2）
【解析】（1）由已知可得甲、乙两组学生的人数分别为12、8，求得总分进而可得平均成绩.
（2）方法一：由变形得，设甲组学生的测试成绩分别为，，，乙组学生的测试成绩分别为，，．根据方差公式计算可得，．计算求得20人的方差，进而得出标准差.方法二：直接使用权重公式计算即可得出结果.
【小问1详解】
由题知，甲、乙两组学生的人数分别为12、8，则这20名学生测试成绩的平均数，故可估计该样本校学生体能测试的平均成绩为77
【小问2详解】
方法一：由变形得，设甲组学生的测试成绩分别为，，，乙组学生的测试成绩分别为，，
由甲组学生的测试成绩的方差，得
由乙组学生的测试成绩的方差，得
故这20名学生的测试成绩的方差

所以
（方法二）直接使用权重公式

所以
20、（1）；（2）时，无解；时，有两个解；或时，有一个解.
【解析】（1）由奇函数的定义，，代入即可得出结果.
（2）画出函数图象，结合函数图象可得出结果.
【详解】（1）为奇函数，
，
所以
（2）

函数图象如图，可知时，无解；时，有两个解；或时，有一个解
【点睛】本题考查了奇函数的定义，考查了运算求解能力和画图能力，数形结合思想，属于基础题目.
21、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）由棱柱的性质及中点得B1F1∥BF，AF1∥C1F.，从而有线面平行，再有面面平行；
（2）先证明B1F1⊥平面ACC1A1，然后可得面面垂直
【详解】证明：（1）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，连接，
∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，
，，，
∴是平行四边形，是平行四边形，
∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.
　平面，平面，∴平面，
同理平面，
又∵B1F1∩AF1＝F1，平面，平面，
∴平面AB1F1∥平面C1BF.

（2）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，平面，∴B1F1⊥AA1.
又是等边三角形，是中点，∴B1F1⊥A1C1，而A1C1∩AA1＝A1，
∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，
∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
【点睛】本题考查证明面面平行和面面垂直，掌握面面平行和面面垂直的判定定理是解题关键