西藏林芝第二高级中学2026届数学高一第一学期期末检测模拟试题含解析.doc

西藏林芝第二高级中学2026届数学高一第一学期期末检测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知三个变量随变量变化数据如下表：

则反映随变化情况拟合较好的一组函数模型是
A. B.
C. D.
2．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．在下列函数中，最小值为2的是（ ）
A.（且） B.
C. D.
4．某单位共有名职工，其中不到岁的有人，岁的有人，岁及以上的有人，现用分层抽样的方法，从中抽出名职工了解他们的健康情况．如果已知岁的职工抽取了人，则岁及以上的职工抽取的人数为（）
A. B.
C. D.
5．已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则a的值是（）
A. B.
C. D.
6．已知命题p：，．那么为（）
A.， B.，
C.， D.，
7．设，，，则　　
A. B.
C. D.
8．已知两点，点在直线上，则的最小值为（）
A. B.9
C. D.10
9．已知，，函数的零点为c，则（　　）
A.c＜a＜b B.a＜c＜b
C.b＜a＜c D.a＜b＜c
10．已知是定义在R上的奇函数，在区间上为增函数，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，则________.
12．2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空.约582秒后，载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为mkg，当燃料质量为mkg时，该火箭的最大速度为2ln2km/s，当燃料质量为时，该火箭最大速度为2km/s.若该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s，则燃料质量是箭体质量的_______________倍.（参考数据：）
13．已知函数是幂函数，且时，单调递减，则的值为___________.
14．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°的角；
④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________
15．若f(x)为偶函数，且当x≤0时，，则不等式＞的解集______.
16．如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．指数函数（且）和对数函数（且）互为反函数，已知函数，其反函数为
（1）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数使得对任意，关于的方程在区间上总有三个不等根，，？若存在，求出实数及的取值范围；若不存在，请说明理由
18．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？
19．已知是同一平面内的三个向量，其中
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与的夹角为，求的值
20．已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得
（1）若，求；
（2）若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围
21．已知，求值；
已知，求的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据幂函数、指数函数、对数函数增长速度的不同可得结果.
【详解】从题表格可以看出，三个变量都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量的增长速度最快，呈指数函数变化，变量的增长速度最慢，对数型函数变化，故选B
【点睛】本题主要考查幂函数、指数函数、对数函数模型的应用，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力，属于简单题.
2、A
【解析】先考虑函数在上是增函数，再利用复合函数的单调性得出求解即可.
【详解】设函数

在上是增函数
，解得
故选：A
【点睛】本题主要考查了由复合函数的单调性求参数范围，属于中档题.
3、C
【解析】根据基本不等式的使用条件，对四个选项分别进行判断，得到答案.
【详解】选项A，当时，，所以最小值为不正确；
选项B，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，而，所以等号不成立，所以不正确；
选项C， 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以正确；
选项D，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，而，所以不正确.
故选：C.
【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，基本不等式的使用条件，属于简单题.
4、A
【解析】计算抽样比例，求出不到35岁的应抽取人数，再求50岁及以上的应抽取人数.
【详解】计算抽样比例为，
所以不到35岁的应抽取(人，
所以50岁及以上的应抽取(人.
故选：.
5、D
【解析】根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.
【详解】由题意可得，再将的图象向右平移个单位长度，得到函数，
又因为，所以，，整理可得，

因为且，解得.
故选：D.
6、A
【解析】根据含有一个量词命题否定的定义，即可得答案.
【详解】命题p：，的否定为：，.
故选：A
7、C
【解析】利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较，，与1和2的大小得答案
【详解】∵，且，
，，
∴
故选C
【点睛】本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，寻找中间量是解题的关键，属于基础题
8、C
【解析】根据给定条件求出B关于直线的对称点坐标，再利用两点间距离公式计算作答.
【详解】依题意，若关于直线的对称点，
∴，解得，
∴，连接交直线于点，连接，如图，

在直线上任取点C，连接，显然，直线垂直平分线段，
则有，当且仅当点与重合时取等号，
∴，故的最小值为.
故选：C
9、B
【解析】由函数零点存在定理可得，又，，从而即可得答案.
【详解】解：因为在上单调递减，且，，
所以的零点所在区间为，即．又因为，，所以a＜c＜b
故选：B.
10、C
【解析】由奇函数知，再结合单调性及得，解不等式即可.
【详解】由题意知：，又在区间上为增函数，当时，，
当时，，由可得，解得.
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用三角函数的诱导公式，化简得到原式，代入即可求解.
【详解】因为，
由

故答案为：
12、51
【解析】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为k，根据条件列方程求出k值，再设当该火箭最大速度达到第- -宇宙速度7.9km/s时，燃料质量是箭体质量的a倍，根据题中数据再列方程可得a值.
【详解】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为k，
则，
解得，
设当该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s时，燃料质量是箭体质量的a倍，
则

，得
，

则燃料质量是箭体质量的51倍
故答案为：51.
13、
【解析】根据幂函数定义求出m的值，根据函数的单调性确定m的值，再利用对数运算即可.
【详解】为幂函数，
，解得：或
当时，在上单调递增，不符合题意，舍去；
当时，在上单调递减，符合题意；
，
故答案为：
14、①②④
【解析】①取BD的中点O，连接OA,OC,所以,所以平面OAC，所以AC⊥BD；②设正方形的边长为a，则在直角三角形ACO中，可以求得OC=a，
所以△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成45角；④分别取BC，AC的中点为M，N，连接ME，NE，MN.则MN∥AB，且MN＝AB＝a，ME∥CD，且ME＝CD＝a，∴∠EMN是异面直线AB，CD所成的角．在Rt△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a，∴NE＝AC＝a.∴△MEN是正三角形∴∠EMN＝60°，故④正确
考点：本小题主要考查平面图形向空间图形的折叠问题，考查学生的空间想象能力.
点评：解决此类折叠问题，关键是搞清楚折叠前后的变量和不变的量.
15、
【解析】由已知条件分析在上的单调性，利用函数的奇偶性可得，再根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】 f(x)为偶函数，且当x≤0时，单调递增，
当时，函数单调递减，
若＞， f(x)为偶函数，，
，同时平方并化简得，解得或，
即不等式＞的解集为.
故答案为：
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题.
16、2
【解析】证明平面得到，故与以为直径的圆相切，计算半径得到答案
详解】PA⊥平面ABCD，平面ABCD，故，PQ⊥QD，，
故平面，平面，故，
在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，即与以为直径的圆相切，
，故间的距离为半径，即为1，故.
故答案为：2

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）存在，，.
【解析】（1）利用复合函数的单调性及函数的定义域可得，即得；
（2）由题可得，令，则可得时，方程有两个不等的实数根，当时方程有且仅有一个根在区间内或1，进而可得对于任意的关于t的方程，在区间上总有两个不等根，且有两个不等根，只有一个根，再利用二次函数的性质可得，即得.
【小问1详解】
∵函数，其反函数为，
∴，
∴，又函数在区间上单调递减，
又∵在定义域上单调递增，
∴函数在区间上单调递减，
∴，解得；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，，
令，则时，方程有两个不等的实数根，不妨设为，
则，即，
∴，即方程有两个不等的实数根，且两根积为1，
当时方程有且仅有一个根在区间内或1，
由，可得，
令，则原题目等价于对于任意的关于t的方程，在区间上总有两个不等根，且有两个不等根，只有一个根，
则必有，
∴，解得，
此时，则其根在区间内，
所以，
综上，存在，使得对任意，关于的方程在区间上总有三个不等根，，，的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是把问题转化为对于任意的关于t的方程，在区间上总有两个不等根，且有两个不等根，只有一个根，进而利用二次函数性质可求.
18、（1）；（2）5；（3）15.
【解析】（1）根据题意，列出关于砍伐面积的百分比的方程，即可容易求得；
（2）到今年为止，森林剩余面积为原来的，可列出关于m的等式，解之即可.
（3）设从今年开始，最多还能砍伐年，列出相应表达式有，解不等式求出的范围即可
【详解】（1）设每年砍伐的百分比为，则，即，
，解得：
所以每年砍伐面积的百分比为
（2）设经过年剩余面积为原来，则，即
又由（1）知，，，解得
故到今年为止，该森林已被砍伐5年
（3）设从今年开始，最多还能砍伐年，则年后剩余面积为.
令，即，，，解得
故今后最多还能砍伐15年
【点睛】关键点点睛：本题考查指数型函数数学建模在实际问题中的应用，熟练运用指数性质运算，将文字语言转化成数学语言是解题的关键，考查学生的转化能力与运算能力，属于中档题.
19、（1）或（2）
【解析】（1）由可设，再由可得答案
（2）由数量积的定义可得，代入即可得答案
【详解】解：（1）由可设，
∵，∴，
∴，∴或
（2）∵与的夹角为，∴，
∴
【点睛】本题考查向量的基本运算，属于简单题
20、（1）
（2）或
【解析】（1）可将带入集合中，得到集合的解集，即可求解出答案；
（2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合与集合之间的关系，即可完成求解.
【小问1详解】
当时，集合，集合，所以；
【小问2详解】
i.当选择条件①时，集合，
当时，，舍；
当集合时，即集合，时，，
此时要满足，则，解得，
结合，所以实数m的取值范围为或；
ii.当选择条件②时，要满足是的充分条件，则需满足在集合时，
集合是集合的子集，即，解得，
所以实数m取值范围为或；
iii.当选择条件③时，要使得，使得，那么需满足在集合时，集合是集合子集，即，解得，
所以实数m的取值范围为或；
故，实数m的取值范围为或.
21、（1）（2）
【解析】（1）由三角函数中平方关系求得，再由诱导公式可商数关系化简求值；
（2）考虑到已知角与待求角互余，可直接利用诱导公式求值
【详解】解：已知，
所以：，
所以：，
，
，

由于，
所以：
【点睛】本题考查同角间的三角函数关系与诱导公式，解题时需考虑已知角与未知角之间的关系，　以寻求运用恰当的公式进行化简变形与求值