江苏省南通市西亭高级中学2025年数学高一第一学期期末学业水平测试试题含解析.doc

江苏省南通市西亭高级中学2025年数学高一第一学期期末学业水平测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）
A.， B.，
C.， D.，
2．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）
A.与
B.与
C.与
D.与
3．已知一个水平放置的平面四边形的直观图是边长为1的正方形，则原图形的周长为（）
A.6 B.8
C. D.
4．已知集合，，则（）
A B.
C. D.{1，2，3}
5．函数y=8x2-（m-1）x+m-7在区间（-∞，-]上单调递减，则m的取值范围为（　　）
A. B.
C. D.
6．已知函数满足∶当时，， 当时，， 若，且，设，则( )
A.没有最小值 B.的最小值为
C.的最小值为 D.的最小值为
7．对于每个实数x，设取两个函数中的较小值.若动直线y=m与函数的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为,则的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
8．下列各组函数与的图象相同的是（ ）
A. B.
C. D.
9．设，且，则（ ）
A. B.10
C.20 D.100
10．直线与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若实数x，y满足，且，则的最小值为___________.
12．函数的定义域是__________
13．如果，且则化简为_____.
14．已知函数，则_________
15．已知向量、满足：，，，则_________.
16．将函数图象上的所有点向右平行移动个单位长度，则所得图象的函数解析式为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在非空集合①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，已知集合______，
使“”是“”的充分不必要条件，若问题中a存在，求a的值；若a不存在，请说明理由．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
18．已知函数
（1）求函数最小正周期与单调增区间；
（2）求函数在上的最大值与最小值
19．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
（1）求的解析式与单调递减区间；
（2）已知在时，求方程的所有根的和.
20．已知函数.
（1）当时，解关于的不等式；
（2）请判断函数是否可能有两个零点，并说明理由；
（3）设，若对任意的，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围.
21．已知.
（1），求和的值；
（2）若，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】利用三角函数图象变换依次列式求解作答.
【详解】函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，所得图象的解析式为，
把图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是，.
故选：D
【点睛】易错点睛：涉及三角函数图象变换问题，当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量是不同的
2、B
【解析】根据两个函数的定义域相同且对应关系也相同，逐项判断即可
【详解】由于函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故A错误；
由于的定义域为，函数且定义域为，所以与是同一函数，故B正确；
在函数中，，解得或，所以函数的定义域为，
在函数中，，解得，所以的定义域为，所以与不是同一函数，故C错误；
由于函数的定义域为，函数定义域为为，所以与不是同一函数，故D错误；
故选：B.
3、B
【解析】由斜二测画法的规则，把直观图还原为原平面图形，再求原图形的周长
【详解】解：由斜二测画法的规则知，与轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，
正方形的对角线在轴上，
可求得其长度为，所以在平面图中其在轴上，且其长度变为原来2倍，是，
其原来的图形如图所示；

所以原图形的周长是：
故选：
【点睛】本题考查了平面图形的直观图应用问题，能够快速的在直观图和原图之间进行转化，是解题的关键，属于中档题
4、A
【解析】利用并集概念进行计算.
【详解】.
故选：A
5、A
【解析】求出函数的对称轴，得到关于m的不等式，解出即可
【详解】函数的对称轴是,
若函数在区间上单调递减，
则，解得：m≥0，
故选A
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键
6、B
【解析】根据已知条件，首先利用表示出，然后根据已知条件求出的取值范围，最后利用一元二次函数并结合的取值范围即可求解.
【详解】∵且， 则，且，∴ ， 即
由，
∴，
又∵，
∴当时，，
当时，，
故有最小值.
故选：B.
7、C
【解析】如图，作出函数的图象，其中，

设与动直线的交点的横坐标为，
∵图像关于对称
∴
∵
∴
∴
故选C
点睛：本题首先考查新定义问题，首先从新定义理解函数，为此解方程，确定分界点，从而得函数的具体表达式，画出函数图象，通过图象确定三个数中具有对称关系，，因此只要确定的范围就能得到的范围.
8、B
【解析】根据相等函数的定义即可得出结果.
【详解】若函数与的图象相同则与表示同一个函数，则与的定义域和解析式相同.
A：的定义域为R，的定义域为，故排除A；
B：，与的定义域、解析式相同，故B正确；
C：的定义域为R，的定义域为，故排除C；
D：与的解析式不相同，故排除D.
故选：B
9、A
【解析】根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得，，进而结合对数的运算公式，即可求解.
【详解】由，可得，，
由换底公式得，，
所以，
又因为，可得
故选：A.
10、D
【解析】如图所示：
当直线过（1,0）时，将（1,0）代入直线方程得：m=；
当直线与圆相切时，圆心到切线的距离d=r，即，
解得：m=舍去负值.
则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时，m的范围为.
故选D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、8
【解析】由给定条件可得，再变形配凑借助均值不等式计算作答.
【详解】由得：，又实数x，y满足，
则，当且仅当，即时取“=”，
由解得：，
所以当时，取最小值8.
故答案为：8
点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件.
12、
【解析】要使函数有意义，则,解得, 函数的定义域是,故答案为.
13、
【解析】由，且，得到是第二象限角，由此能化简
【详解】解：∵，且，∴是第二象限角，
∴
故答案为：
14、
【解析】运用代入法进行求解即可.
【详解】，
故答案为：
15、.
【解析】将等式两边平方得出的值，再利用结合平面向量的数量积运算律可得出结果.
【详解】，
，
，
因此，，故答案为.
【点睛】本题考查利用平面向量数量积来计算平面向量的模，在计算时，一般将平面向量的模平方，利用平面向量数量积的运算律来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
16、
【解析】由题意利用函数的图象变换规律，即可得到结果
【详解】将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数解析式，即.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、答案见解析
【解析】由题设可得A不为空集，，根据所选的条件，结合充分不必要关系判断A、B的包含关系，进而列不等式组求参数范围.
【详解】由题意知，A不为空集，
i．如果选①，因为“”是“”的充分不必要条件，
所以A是B的真子集，则，解得，
所以实数a的取值范围是；
ii．如果选②，因为“”是“”的充分不必要条件，
所以A是B的真子集，则，此时，
所以不存在a使“”是“”的充分不必要条件；
iii．如果选③，因为“”是“”的充分不必要条件
所以A是B的真子集，则，解得，此时无解
不存在a使“”是“”的充分不必要条件
18、（1），单调增区间
（2），
【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，可得函数的最小正周期与的单调区间；
（2）利用整体法求函数的最值.
【小问1详解】
解：
，
函数的最小正周期，
令，
解得，
所以单调递增区间为
【小问2详解】
，
，
，
即，

所以，.
19、（1），，
（2）
【解析】（1）将函数变形为，由函数的周期及奇偶性可求解；
（2）解方程得或，即或，利用正弦函数的性质可求解.
【小问1详解】

图象的相邻两对称轴间的距离为，
的最小正周期为，即可得，
又为奇函数，则，，又，，
故的解析式为，
令，得
函数的递减区间为，.
【小问2详解】
，，，
方程可化为，
解得或，即或
当时，或或
解得或或
当时，，所以
综上知，在时，方程的所有根的和为
20、（1）
（2）不可能，理由见解析
（3）
【解析】（1）结合对数函数的定义域，解对数不等式求得不等式的解集.
2）由，求得，，但推出矛盾，由此判断没有两个零点.
（3）根据函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1列不等式，结合分离常数法来求得的取值范围.
【小问1详解】
当时，不等式可化为，
有，有
解得，
故不等式，的解集为.
【小问2详解】
令，有，
有，，
，，
则，
若函数有两个零点，记，必有，，
且有，此不等式组无解，
故函数不可能有两个零点.
【小问3详解】
当，，时，，函数单调递减，
有，
有，
有
有，整理为，
由对任意的恒成立，必有
解得，
又由，可得，
由上知实数的取值范围为.
21、（1）；
（2）
【解析】（1）根据同角三角函数基本关系式，以及二倍角公式，即可求解；
（2）根据角的变换，再结合两角和的余弦公式，即可求解.
【小问1详解】
，，
，得，
；
【小问2详解】
，，
，，

.