广西壮族自治区玉林市第一中学2025年高一数学第一学期期末监测模拟试题含解析.doc

广西壮族自治区玉林市第一中学2025年高一数学第一学期期末监测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是

A.平面
B.与是异面直线
C.
D.
2．函数在上最大值与最小值之和是 ）
A. B.
C. D.
3．下列说法正确的是（ ）
A.向量与共线，与共线，则与也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点
C.向量与不共线，则与都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
4．针对“台独”分裂势力和外部势力勾结的情况，为捍卫国家主权和领土完整，维护中华民族整体利益和两岸同胞切身利益，解放军组织多种战机巡航.已知海面上的大气压强是，大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则当歼20战机巡航高度为，歼16D战机的巡航高度为时，歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的（ ）倍（精确度为0.01）.
A.0.67 B.0.92
C.1.09 D.1.26
5．已知某扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的半径为（ ）
A.3 B.
C.9 D.
6．函数在区间上的所有零点之和等于（ ）
A.-2 B.0
C.3 D.2
7．现在人们的环保意识越来越强，对绿色建筑材料的需求也越来越高．某甲醛检测机构对某种绿色建筑材料进行检测，一定量的该种材料在密闭的检测房间内释放的甲醛浓度（单位：）随室温（单位：℃）变化的函数关系式为（为常数）．若室温为20℃时该房间的甲醛浓度为，则室温为30℃时该房间的甲醛浓度约为（取）（）
A. B.
C. D.
8．已知函数f(x)＝设f(0)＝a，则f(a)＝（）
A.－2 B.－1
C. D.0
9．已知函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10．将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移个单位，得到的图像对应的解析式为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，则的定义域为____________.
12．已知函数的零点为，不等式的最小整数解为，则__________
13．已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为___________.
14．若定义域为的函数满足：对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，也能构成三角形三边长，则m的最大值为______．（是自然对数的底）
15．若函数在区间上是增函数，则实数取值范围是______
16．函数的单调递增区间是_________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为.
（Ⅰ）若，求点的坐标；
（Ⅱ）求证：经过三点圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
18．在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答
①的最小正周期为，且是偶函数：
②图象上相邻两个最高点之间的距离为，且；
③直线与直线是图象上相邻的两条对称轴，且
问题：已知函数，若
（1）求，的值；（请先在答题卡上写出所选序号再做答）
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的最小值和最大值
19．某中学共有3000名学生，其中高一年级有1200名学生，为了解学生的睡眠情况，现用分层抽样的方法，在三个年级中抽取了200名学生，依据每名学生的睡眠时间（单位：小时），绘制出了如图所示的频率分布直方图.

（1）求样本中高一年级学生的人数及图中a的值；

（2）估计样本数据中位数（保留两位小数）；
（3）估计全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数.
20．设全集为，，.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
21．已知函数，记.
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）是否存在实数，使得的定义域为时，值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，则说明理由.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】因为三棱柱A1B1C1-ABC中,侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，
所以对于A,AC与AB夹角为60°,即两直线不垂直，所以AC不可能垂直于平面ABB1A1；故A错误；
对于B,CC1与B1E都在平面CC1BB1中不平行，故相交；所以B错误；
对于C,A1C1，B1E是异面直线；故C错误；
对于D,因为几何体是三棱柱,并且侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，所以BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AE,AE⊥BC,得到AE⊥平面BCC1B1,所以AE⊥BB1；
故选D.
2、A
【解析】直接利用的范围求得函数的最值，即可求解.
【详解】∵,
∴,
∴,
∴最大值与最小值之和为，
故选：.
3、C
【解析】根据共线向量（即平行向量）定义即可求解.
【详解】解：对于A： 可能是零向量，故选项A错误；
对于B：两个向量可能在同一条直线上，故选项B错误；
对于C：因为与任何向量都是共线向量，所以选项C正确；
对于D：平行向量可能在同一条直线上，故选项D错误
故选：C.
4、C
【解析】根据给定信息，求出，再列式求解作答.
【详解】依题意，，即，则歼20战机所受的大气压强，
歼16D战机所受的大气压强，，
所以歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的倍.
故选：C
5、A
【解析】根据扇形面积公式求出半径.
【详解】扇形的面积，解得：
故选：A
6、C
【解析】分析：首先确定函数的零点，然后求解零点之和即可.
详解：函数的零点满足：，
解得：，
取可得函数在区间上的零点为：，
则所有零点之和为.
本题选择C选项.
点睛：本题主要考查三角函数的性质，函数零点的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7、D
【解析】由题可知，，求出，在由题中的函数关系式即可求解.
【详解】由题意可知，，解得，
所以函数的解析式为，
所以室温为30℃时该房间的甲醛浓度约为
.
故选：D.
8、A
【解析】根据条件先求出的值，然后代入函数求
【详解】，即，
故选：A
9、C
【解析】令，则，从而，即可得到然后构造函数，利用导数判断其单调性，进而可得，解不等式可得答案
【详解】令，则，
，
所以，
所以，
令，则，
所以，所以，
所以在单调递增，
所以由，得，
所以，解得，
故选：C
【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式变形得，再构造函数，利用函数的单调性解不等式.
10、B
【解析】由三角函数的平移变换即可得出答案.
【详解】函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得，再将所得的图象向左平移个单位可得
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】使表达式有意义，解不等式组即可.
【详解】由题，解得，即，
故答案为：.
【点晴】此题考函数定义域的求法，属于简单题.
12、8
【解析】利用单调性和零点存在定理可知，由此确定的范围，进而得到.
【详解】函数为上的增函数，，，
函数的零点满足，，
的最小整数解
故答案为：.
13、
【解析】根据函数的解析式作出函数的大致图像，再将
整理变形，然后将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题解决.
【详解】由题意得，即或，
的图象如图所示，

关于的方程有5个不同的实数根，
则或，解得，
故答案为：
14、##
【解析】不妨设三边的大小关系为：，利用函数的单调性，得出，，的大小关系，作为三角形三边则有任意两边之和大于第三边，再利用基本不等式求出边的范围得出的最大值即可.
【详解】在上严格增，所以，不妨设，
因为对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，
也能构成三角形三边长，所以，
因为，所以，
因为对任意都成立，所以，所以，所以，
所以，所以m的最大值为
故答案为：.
15、
【解析】令，由题设易知在上为增函数，根据二次函数的性质列不等式组求的取值范围.
【详解】由题设，令，而为增函数，
∴要使在上是增函数，即在上为增函数，
∴或，可得或，
∴的取值范围是.
故答案为：
16、
【解析】设 ，或
为增函数，在为增函数，根据复合函数单调性“同增异减”可知：函数单调递增区间是.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) 点的坐标为或 (2)见解析， 过的圆必过定点和
【解析】（1）设，由题可知，由点点距得到，解得参数值；（2）设的中点为，过三点的圆是以为直径的圆，根据圆的标准方程得到圆 ，根据点P在直线上得到，代入上式可求出，进而得到定点
解析：
（Ⅰ）设，由题可知，
即，解得：，
故所求点的坐标为或.
（2）设的中点为，过三点的圆是以为直径的圆，
设，则
又∵
圆
又∵代入（1）式，得：

整理得：
无论取何值时，该圆都经过的交点或
综上所述，过的圆必过定点和
点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系；一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值
18、（1），
（2）最小值为1，最大值为2
【解析】(1)根据①②③所给的条件，以及正余弦函数的对称性和周期性之间的关系即可求解；
(2)根据函数的伸缩平移变换后的特点写出的解析式即可.
【小问1详解】
选条件①：
∵的最小正周期为，
∴，∴；
又是偶函数，
∴对恒成立，
得对恒成立，
∴，∴（），
又，∴；
选条件②：
∵函数图象上相邻两个最高点之间的距离为，
∴，；
又，∴，即，
∴（），又，∴；
选条件③：
∵直线与直线是图象上相邻的两条对称轴，
∴，即．∴；
又，
∴，∴（），又，∴；
【小问2详解】
由（1）无论选择①②③均有，，即，
将图象向右平移个单位长度后，
得到的图象，
将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，
纵坐标不变，得到的图象，

∵，∴
∴在上单调递增；在上单调递减
又∵
，，
∴在的最小值为1，最大值为2；
综上：，最小值=1，最大值=2.
19、（1）人数为，；
（2）7.42；（3）约为人.
【解析】（1）由分层抽样等比例性质求高一年级学生的人数，根据直方图及频率和为1求参数a.
（2）由频率直方图及中位数的性质估计中位数.
（3）由直方图计算区间的频率，进而估计全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数.
【小问1详解】
由分层抽样等比例的性质，样本中高一年级学生的人数为.
由，可得.
【小问2详解】
设中位数为x，
由、，知：，
∴.得，故样本数据的中位数约为7.42.
【小问3详解】
由图可知，样本数据落在的频率为.
故全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数约为人.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）由，得到，，再利用集合的补集和交集运算求解
（2）易知，，根据，且求解.
【详解】（1）当时，，，
所以或，
则；
（2），，
因为，且，
所以，解得，
所以的取值范围是，
21、（1）；
（2）奇函数，理由见解析；
（3）不存在，理由见解析.
【解析】(1)分别求f(x)和g(x)定义域，F(x)为这两个定义域的交集；
(2)先判断定义域是否关于原点对称，再判断F(－x)与F(x)的关系；
(3)先根据定义域和值域求出m，n，a的范围，再利用单调性将问题转化为方程有解问题.
【小问1详解】
由题意知
要使有意义，则有
，得
所以函数的定义域为：
【小问2详解】
由(1)知函数F(x)的定义域为：，关于原点对称，

函数为上的奇函数.
【小问3详解】
，
假设存在这样的实数，则由
可知

令，则在上递减，在上递减，

是方程，即有两个在上的实数解
问题转化为：关于的方程在上有两个不同的实数解
令，则有
，
解得，又，∴
故这样的实数不存在.