2026届上海市虹口区上海外国语大学附属外国语学校数学高一第一学期期末检测模拟试题含解析.doc

2026届上海市虹口区上海外国语大学附属外国语学校数学高一第一学期期末检测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为，外圆半径为，内圆半径为.则制作这样一面扇面需要的布料为（

A. B.
C. D.
2．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（）
A.R B.
C. D.
3．函数的部分图像如图所示，则的最小正周期为（）

A. B.
C. D.
4．将函数图象向左平移个单位后与的图象重合，则（ ）
A. B.
C D.
5．在区间上任取一个数，则函数在上的最大值是3的概率为（ ）
A. B.
C. D.
6．函数在的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7．已知，，则的值为
A. B.
C. D.
8．函数的零点所在的区间是
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
9．过点且与原点距离最大的直线方程是（）
A. B.
C. D.
10．已知幂函数的图象过点(4，2)，则（ ）
A.2 B.4
C.2或-2 D.4或-4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．不等式的解集为______
12．已知扇形的周长是2022，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是___________.
13．已知，且，则______
14．已知是内一点，，记的面积为，的面积为，则__________
15．设函数，则____________.
16．若函数满足，且当时，则______
三、解答题：本大题共5小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）用定义证明f（x）在（1，＋∞）上单调递增；
（3）求f（x）在[－2，－1]上的值域
18．设函数
（1）求函数的值域；
（2）设函数，若对，求正实数a的取值范围
19．2020年12月17日凌晨，经过23天月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程“绕，落，回”圆满收官.近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭(除推进剂外)的质量，是推进剂与火箭质量的总和，从称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为.
（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.参考数据：，.
20．整治人居环境，打造美丽乡村，某村准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余的区域种植花卉.设.

（1）当时，求的长；
（2）求三角形区域面积的最大值.
21．（1）计算:（）0.5+（-3）-1÷0.75-2- ;
（2）设0基础题.
2、C
【解析】设，点代入即可求得幂函数解析式，进而可求得定义域.
【详解】设，因为的图象过点，
所以，解得，则，
故的定义域为
故选：C
3、B
【解析】由图可知，,计算即可.
【详解】由图可知，,则,
故选：B
4、C
【解析】利用三角函数的图象变换可求得函数的解析式.
【详解】由已知可得.
故选：C.
5、A
【解析】设函数，求出时的取值范围，再根据讨论的取值范围，判断是否能取得最大值,从而求出对应的概率值
【详解】在区间上任取一个数，基本事件空间对应区间的长度是，
由，得 ，
∴ ，
∴的最大值是或，即最大值是或；
令，得，解得；
又，∴；
∴当时，，
∴在上的最大值是，满足题意；
当时，，
∴函数在上的最大值是，
由，得，的最大值不是；
6、A
【解析】根据函数解析式，结合特殊值，即可判断函数图象.
【详解】设，则，
故为上的偶函数，故排除B
又，，排除C、D
故选：A．
【点睛】本题考查图象识别，注意从函数的奇偶性、单调性和特殊点函数值的正负等方面去判断，本题属于中档题.
7、A
【解析】根据角的范围可知，；利用同角三角函数的平方关系和商数关系构造方程可求得结果.
【详解】由可知：，
由得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查同角三角函数值的求解，关键是能够熟练掌握同角三角函数的平方关系和商数关系，易错点是忽略角的范围造成函数值符号错误.
8、B
【解析】因为函数为上的增函数，故利用零点存在定理可判断零点所在的区间.
【详解】因为为上的增函数，为上的增函数，故为上的增函数.又，，由零点存在定理可知在 存在零点，故选B.
【点睛】函数的零点问题有两种类型，（1）计算函数的零点，比如二次函数的零点等，有时我们可以根据解析式猜出函数的零点，再结合单调性得到函数的零点，比如；（2）估算函数的零点，如等，我们无法计算此类函数的零点，只能借助零点存在定理和函数的单调性估计零点所在的范围.
9、A
【解析】首先根据题意得到过点且与垂直的直线为所求直线，再求直线方程即可.
详解】由题知：过点且与原点距离最大的直线为过点且与垂直的直线.
因为，故所求直线为，即.
故选：A
【点睛】本题主要考查直线方程的求解，数形结合为解题的关键，属于简单题.
10、B
【解析】设幂函数代入已知点可得选项.
【详解】设幂函数又函数过点(4，2)，，
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、，
【解析】根据正切函数性质求解、
【详解】由正切函数性质，由得，，
所以，，
故答案为：，
12、2
【解析】设扇形的弧长为，半径为，则，将面积最值转化为一元二次函数的最值；
【详解】设扇形的弧长为，半径为，则，
，
当时，扇形面积最大时，
此时，
故答案为：
13、##
【解析】由，应用诱导公式，结合已知角的范围及正弦值求，即可得解.
【详解】由题设，，
又，即，且，
所以，故.
故答案为：
14、
【解析】设BC中点为M,则,所以P到BC的距离为点A到BC距离的，故
15、
【解析】依据分段函数定义去求的值即可.
【详解】由，可得，则
由，可得
故答案为：
16、1009
【解析】推导出，当时，从而当时，，，由此能求出的值
【详解】∵函数满足，
∴，
∵当时，
∴当时，，，
∴
故答案为1009
【点睛】本题主要考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）f（x）为奇函数，理由见解析
（2）证明见解析（3）[－，－2]
【解析】（1）根据奇偶性的定义判断；
（2）由单调性的定义证明；
（3）由单调性得值域
【小问1详解】
f（x）为奇函数
由于f（x）的定义域为，关于原点对称，
且，所以f（x）为在上的奇函数
（画图正确，由图得出正确结论，也可以得分）
【小问2详解】
证明：设任意，，
有
由，得，
，
即，所以函数f（x）在（1，＋∞）上单调递增
【小问3详解】
由（1），（2）得函数f（x）在[－2，－1]上单调递增，
故f（x）的最大值为，最小值为，
所以f（x）在[－2，－1]的值域为[－，－2]
18、（1）函数的值域为.
（2）
【解析】(1)由已知，利用基本不等式可求函数的值域；(2)由对可得函数函数在上的值域包含与函数在上的值域，由此可求正实数a的取值范围
【小问1详解】
，
，则，当且仅当时取“=”，
所以，即函数的值域为.
【小问2详解】
设，因为所以，函数在上单调递增，
则函数在上单调递增，，设时，函数的值域为A．由题意知．函数图象的对称轴为，
当，即时，函数在上递增，则，解得，
当时，即时，函数在上的最大值为，中的较大者，而且，不合题意，
当，即时，函数在上递减，则，满足条件的不存在，
综上，
19、（1）；（2）在材料更新和技术改进前总质比最小整数为74.
【解析】（1）代入公式中直接计算即可
（2）由题意得，，则，求出的范围即可
【详解】（1），
（2），.
因为要使火箭的最大速度至少增加，
所以，
即：，
所以，
即，所以，
因为，所以.
所以在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.
【点睛】此题考查了函数的实际运用，考查运算求解能力，解题的关键是正确理解题意，列出不等式，属于中档题
20、（1）
（2）
【解析】（1）利用三角函数表达出的长；（2）用的三角函数表达出三角形区域面积，利用换元法转化为二次函数，求出三角形区域面积的最大值.
【小问1详解】
设MN与AB相交于点E，则，则，故的长为
【小问2详解】
过点P作PF⊥MN于点F，则PF=AE=，而MN=ME+EN=，则三角形区域面积为
，设，因为，所以，故，而，则，故当时，取得最大值，

故三角形区域面积的最大值为
21、（1）0；（2）{x|x>1}
【解析】（1）根据指数幂的运算性质，化简求值；
（2）利用指数函数的单调性，即可求解不等式.
【详解】（1）原式

（2）因为01.
故x的解集为{x|x>1}.