2026届湖北省宜昌市县域优质高中合作体高二数学第一学期期末质量检测试题含解析.doc

2026届湖北省宜昌市县域优质高中合作体高二数学第一学期期末质量检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在数列中，若，则称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断，其中不正确的为（ ）
A若是等方差数列，则是等差数列 B.若是等方差数列，则是等方差数列
C.是等方差数列 D.若是等方差数列，则是等方差数列
2． “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（）
A. B.
C. D.
3．已知为等腰直角三角形的直角顶点，以为旋转轴旋转一周得到几何体，是底面圆上的弦，为等边三角形，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
4．某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为（ ）
A.0.0689 B.0.049
C.0.0248 D.0.02
5．甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数中相同的是（）

A.极差 B.方差
C.平均数 D.中位数
6．双曲线：的左、右焦点分别为、，过的直线与y轴交于点A、与双曲线右支交于点B，若为等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B.
C.2 D.
7．函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
8．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（）

A.是函数的极大值点
B.函数在区间上单调递增
C.是函数的最小值点
D.曲线在处切线的斜率小于零
9．执行如图所示的程序框图，若输入t的取值范围为，则输出s的取值范围为（）

A. B.
C. D.
10．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官（正一品、从一品、正二品、从二品、正三品依品递差十三石分之，问，各若干？”其大意是，现有俸粮石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这位官员，依照品级递减石分这些俸粮，问，每个人各分得多少俸粮？在这个问题中，正三品分得俸粮是（）
A.石 B.石
C.石 D.石
11．直线的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D.
12．已知圆与圆，则圆M与圆N的位置关系是（）
A.内含 B.相交
C.外切 D.外离
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点M是双曲线左支上的一点，若，，则双曲线的离心率是____________
14．以下数据为某校参加数学竞赛的名同学的成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.则这人成绩的第百分位数可以是______
15．基础建设对社会经济效益产生巨大的作用．某市投入亿元进行基础建设，年后产生亿元社会经济效益．若该市投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，则再过______年．该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍
16．已知直线：与直线：平行，则的值为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知为坐标原点，圆的圆心在轴上，点、均在圆上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于两个不同的点、，点在圆上，求面积的最大值.
18．（12分）如图1，已知矩形中，，E为上一点且.现将沿着折起，使点D到达点P的位置，且，得到的图形如图2.

（1）证明为直角三角形；
（2）设动点M在线段上，判断直线与平面位置关系，并说明理由.
19．（12分）在中，，，的对边分别是，，，已知.
（1）求；
（2）若，且的面积为4，求的周长
20．（12分）已知椭圆的左焦点为，点到短袖的一个端点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作斜率为的直线，与椭圆交于，两点，若，求的取值范围.
21．（12分）已知等差数列的前项和为，满足，.
（1）求数列的通项公式与前项和；
（2）求的值.
22．（10分）△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
（1）求角B的大小；
（2）若△不为钝角三角形，且，，求△的面积
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据等方差数列的定义逐一进行判断即可
【详解】选项A中，符合等差数列的定义，所以是等差数列，A正确；选项B中，不是常数，所以不是等方差数列，选项B错误；选项C中，，所以是等方差数列，C正确；选项D中
，所以是等方差数列，D正确
故选：B
2、C
【解析】由题设且，应用不等式求的范围，即可确定项数.
【详解】由题设，且，
所以，可得且.
所以此数列的项数为.
故选：C
3、B
【解析】设，过点作的平行线，与平行的半径交于点，找出异面直线与所成角，然后通过解三角形可得出所求角的余弦值.
【详解】设，过点作的平行线，与平行的半径交于点，
则，，
所以为异面直线与所成的角，
在三角形中，，，所以.
故选：B.

【点睛】本题考查异面直线所成角余弦值的计算，一般通过平移直线的方法找到异面直线所成的角，考查计算能力，属于中等题.
4、C
【解析】根据全概率公式即可求出
【详解】随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为
0.0248
故选：C
5、C
【解析】根据茎叶图中数据的波动情况，可直接判断方差不同；根据茎叶图中的数据，分别计算极差、中位数、平均数，即可得出结果.
【详解】由茎叶图可得：甲的数据更集中，乙的数据较分散，所以甲与乙的方差不同；
甲的极差为；乙的极差为，所以甲与乙的极差不同；
甲的中位数为，乙的中位数为，所以中位数不同；
甲的平均数为，
乙的平均数为，所以甲、乙的平均数相同；
故选：C.
6、B
【解析】由双曲线的定义知，，又为等边三角形，所以，由对称性有，所以，在直角三角形中，求出，在三角形中，由余弦定理求出，从而即可求解.
【详解】解：由双曲线的定义知，，又为等边三角形，
所以，由对称性有，
所以，

在直角三角形中，，
在三角形中，由余弦定理有，
所以，解得，所以双曲线C的离心率，
故选：B.
7、D
【解析】对函数求导，利用导数的几何意义求出切线斜率即可计算作答.
【详解】依题意，，即有，而，则过点，斜率为1的直线方程为：，
所以曲线在点处切线方程为.
故选：D
8、B
【解析】根据导函数的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断；
【详解】解：由导函数的图象可知，当时，当时，当时，当或时，则在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极小值即最小值，所以是函数的极小值点与最小值点，因为，所以曲线在处切线的斜率大于零，
故选：B
9、A
【解析】由程序图可得，，再分段求解函数的值域，即可求解
【详解】由程序图可得，
当时，，，当时，，，
综上所述，的取值范围为，
故选：A
10、D
【解析】令位官员(正一品、从一品、正二品、从二品、正三品)所分得的俸粮数是公差为数列，利用等差数列的前n项和求，进而求出正三品即可.
【详解】正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这位官员所分得的俸粮数记为数列，
由题意，是以为公差的等差数列，且，解得.
故正三品分得俸粮数量为（石）.
故选：D.
11、D
【解析】由直线斜率概念可写出倾斜角的正切值，进而可求出倾斜角.
【详解】因为直线的斜率为，所以倾斜角.故选D
【点睛】本题主要考查直线的倾斜角，由斜率的概念，即可求出结果.
12、B
【解析】将两圆方程化为标准方程形式，计算圆心距，和两圆半径的和差比较，可得答案,
【详解】圆,即，圆心，
圆，即，圆心，
则故有，
所以两圆是相交的关系，
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、5
【解析】根据得出，设，从而利用双曲线的定义可求出，的关系，从而可求出答案.
【详解】设双曲线的焦距为，则，
因为，所以，
因为，不妨设，，
由双曲线的定义可得，所以，，
由勾股定理可得，，
所以，所以双曲线的离心率
故答案为：.
14、
【解析】利用百分位数的求法直接求解即可.
【详解】解将所给数据按照从小到大的顺序排列：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.
数据量，
∵是整数，
∴
故答案为：.
15、8
【解析】由4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，代入已知函数式求得参数，再求得社会经济效益是投资额的8倍时的时间，即为所求结论
【详解】由条件得，∴，即．设投资年后，产生的社会经济效益是投资额的8倍，则有，解得，
所以再过年，该项投资产生社会经济效益是投资额的8倍
故答案为：8
16、-1
【解析】根据两直线平行的条件列式求解即可.
【详解】由题意可知，的斜率，的斜率，
∵，∴解得.
故当时，直线：与直线：平行.
故答案为：-1.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）求出圆心坐标，可求得圆的半径，进而可得出圆的标准方程；
（2）求得点到直线的距离，将直线的方程与椭圆的方程联立，求得的表达式，利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得结果.
【小问1详解】
解：由题知，线段的中点为，直线的斜率，
所以线段的中垂线为，即为，
所以圆的圆心为轴与的交点，
所以圆的半径，所以圆的标准方程为.
【小问2详解】
解：由题知：圆心到直线的距离，
因为，所以圆心到直线的距离，
所以到直线的距离，
设点、，联立可得，
，，则，
所以
所以，
所以，
所以当且仅当，即时等号成立，
所以当时，取得最大值.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值
18、（1）证明见解析
（2）答案不唯一，见解析
【解析】（1）利用折叠前后的线段长度及勾股定理求证即可；
（2）动点M满足时和，但时两种情况，利用线线平行或相交得到结论.
【小问1详解】
在折叠前的图中，如图：

，E为上一点且，
则
折叠后，所以，又，

所以，所以为直角三角形.
小问2详解】
当动点M在线段上，满足，同样在线段上取，使得，则，
当时，则，又且所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，又平面，所以此时平面；
当时，此时，但，
所以四边形为梯形，所以与必然相交，所以与平面必然相交.
综上，当动点M满足时，平面；
当动点M满足，但时，与平面相交.

19、（1）（2）
【解析】（1）根据正弦定理及题中条件，可得，化简整理，即可求解
（2）由的面积为4，结合（1）中结论，可得，结合余弦定理，可得，从而可求的周长
【详解】解：（1）由及正弦定理得，
，
又，∴，∴，∴.
（2）∵的面积为，∴.
由余弦定理得，∴.
故的周长为.
【点睛】本题考查正弦定理应用，余弦定理解三角形，三角形面积公式，考查计算化简的能力，属基础题
20、（1）
（2）或
【解析】（1）根据焦点坐标可得，根据点到短袖一个端点的距离为，然后根据即可；
（2）先设联立直线与椭圆的方程，然后根据韦达定理得到，两点的坐标关系，然后根据建立关于直线的斜率的不等式，解出不等式即可.
【小问1详解】
根据题意，已知椭圆的左焦点为，则有：
点到短袖一个端点的距离为，则有：
则有：
故椭圆的方程为：
【小问2详解】
设过点作斜率为的直线的方程为：
联立直线与椭圆的方程可得

则有：,
直线过点，所以恒成立，
不妨设，两点的坐标分别为：，则有：

又
且
则有：

将，代入后可得：

若，则有：
解得：或
21、（1），；
（2）.
【解析】(1)设出等差数列的公差，借助前项和公式列式计算作答.
(2)由(1)的结论借助裂项相消去求解作答.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，因，，则，解得，
于是得，，
所以数列的通项公式为，前项和.
【小问2详解】
由(1)知，，
所以.
22、（1）或；
（2）.
【解析】（1）根据正弦定理边角关系可得，再由三角形内角的性质求其大小即可.
（2）由（1）及题设有，应用余弦定理求得、，最后利用三角形面积公式求△的面积
【小问1详解】
由正弦定理得：，又，
所以，又B为△的一个内角，则，
所以或；
【小问2详解】
由△不为钝角三角形，即，又，，
由余弦定理，，得（舍去负值），则
∴