江苏省南京师大附中2025-2026学年高一上数学期末联考模拟试题含解析.doc

江苏省南京师大附中2025-2026学年高一上数学期末联考模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若函数的零点所在的区间为，则整数的值为（）
A. B.
C. D.
2．已知函数若方程恰有三个不同的实数解a，b，c（），则的取值范围是（）.
A. B.
C. D.
3．当点在圆上变动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是（）
A. B.
C. D.
4．设,则的值为
A. B.
C. D.
5．方程的零点所在的区间为（）
A. B.
C. D.
6．函数的值域为（ ）
A.（0，＋∞） B.（－∞，1）
C.（1，＋∞） D.（0，1）
7．（ ）
A.1 B.0
C.-1 D.
8．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是
A. B.
C. D.
9．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log3（1+x），则f（﹣2）=（　　）
A.﹣3 B.﹣1
C.1 D.3
10．使幂函数为偶函数，且在上是减函数的值为（　　）
A. B.
C. D.2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．化简_____
12．设函数（e为自然对数的底数，a为常数），若为偶函数，则实数______；若对，恒成立，则实数a的取值范围是______
13．下列四个命题中：
①若奇函数在上单调递减，则它在上单调递增
②若偶函数在上单调递减，则它在上单调递增；
③若函数为奇函数，那么函数的图象关于点中心对称；
④若函数为偶函数，那么函数的图象关于直线轴对称；
正确的命题的序号是___________.
14．命题“，”的否定是______
15．计算：__________.
16． “”是“”的______条件.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．求下列各式的值
（1）
（2）
（3）
（4）
18．已知函数对任意实数x，y满足，，当时，
判断在R上的单调性，并证明你的结论
是否存在实数a使f 成立？若存在求出实数a；若不存在，则说明理由
19．如图，、分别是的边、上的点，且，，交于.

（1）若，求的值；
（2）若，，，求的值.
20．已知集合，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
21．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②.(注：利润和投资单位：万元)

(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】结合函数单调性，由零点存在性定理可得解.
【详解】由为增函数，且，
可得零点所在的区间为，所以.
故选：C.
2、A
【解析】画出的图象，数形结合可得求出.
【详解】画出的图象

所以方程恰有三个不同的实数解a，b，c（），
可知m的取值范围为，由题意可知，，
所以，所以
故选：A.
3、D
【解析】设中点的坐标为，则，利用在已知的圆上可得的中点的轨迹方程.
【详解】设中点的坐标为，则，
因为点在圆上，故，整理得到.
故选：D.
【点睛】求动点的轨迹方程，一般有直接法和间接法，
（1）直接法，就是设出动点的坐标，已知条件可用动点的坐标表示，化简后可得动点的轨迹方程，化简过程中注意变量的范围要求.
（2）间接法，有如下几种方法：①几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；②动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；③参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.
4、A
【解析】先利用诱导公式以及同角的三角函数关系化简，再根据特殊角的三角函数值代值计算
【详解】解：由题意得，,
则，
故选：A
【点睛】本题主要考查诱导公式和特殊角的三角函数值，考查同角的平方关系，属于基础题
5、C
【解析】分析函数的单调性，利用零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数在上也为增函数，
因为，，，，
由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为.
故选：C.
6、D
【解析】将函数解析式变形为，再根据指数函数的值域可得结果.
【详解】，
因为，所以，所以，
所以函数的值域为.
故选：D
7、A
【解析】
用诱导公式化简计算．
【详解】因为，
所以，
所以原式.
故选：A.
【点睛】本题考查诱导公式，考查特殊角的三角函数值．属于基础题．
8、D
【解析】选项A为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减；选项B，y＝x3为奇函数；选项C，y＝cosx为偶函数，但在区间（0，+∞）上没有单调性；选项D满足题意
【详解】选项A，y＝ln为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减，故错误；
选项B，y＝x3为奇函数，故错误；
选项C，y＝cosx为偶函数，但在区间（0，+∞）上没有单调性，故错误；
选项D，y＝2|x|为偶函数，当x＞0时，解析式可化为y＝2x，显然满足在区间（0，+∞）上单调递增，故正确
故选D
【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题
9、B
【解析】因为函数f（x）为奇函数，所以．选B
10、B
【解析】根据幂函数的性质确定正确选项.
【详解】A选项，是奇函数，不符合题意.
B选项，为偶函数，且在上是减函数，符合题意.
C选项，是非奇非偶函数，不符合题意.
D选项，，在上递增，不符合题意.
故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、-2
【解析】利用余弦的二倍角公式和正切的商数关系可得答案.
【详解】.
故答案为：.
12、 ①.1 ②.
【解析】第一空根据偶函数的定义求参数，第二空为恒成立问题，参变分离后转化成求函数最值
【详解】由，即，关于恒成立，故
恒成立，等价于恒成立
令，，，故a的取值范围是
故答案为：1，
13、②③
【解析】根据奇函数、偶函数的性质可判断①②，结合平移变换可判断③④.
【详解】奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性，故①错误，②正确因为函数为奇函数，图象关于原点对称，的图象可以由的图象向右平移1个单位长度得到，故的图象关于点对称，故③正确；函数的图象可以由函数的图象向左平移1个单位长度得到，因为为偶函数，图象关于y轴对称，所以的图象关于直线轴对称，故④错误.
故答案为：②③
14、.
【解析】全称命题的否定：将任意改为存在并否定原结论，即可知原命题的否定.
【详解】由全称命题的否定为特称命题，
所以原命题的否定：.
故答案为：.
15、
【解析】直接利用二倍角公式计算得到答案.
【详解】.
故答案为：.
16、充分不必要
【解析】解方程，即可判断出“”是“”的充分不必要条件关系.
【详解】解方程，得或，
因此，“”是“”的充分不必要条件.
故答案为充分不必要.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般转化为集合的包含关系来判断，考查推理能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）0；（2）；
（3）；
（4）.
【解析】（1）（2）利用和角的余弦公式，差角的正弦结合诱导公式分别计算作答.
（3）（4）逆用二倍角的正弦、余弦公式求解作答.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
【小问3详解】
.
【小问4详解】
.
18、（1）在上单调递增，证明见解析；（2）存在，.
解析】（1）令，则，根据已知中函数对任意实数满足，当时，易证得，由增函数的定义，即可得到在上单调递增；（2）由已知中函数对任意实数满足，，利用“凑”的思想，我们可得，结合（1）中函数在上单调递增，我们可将转化为一个关于的一元二次不等式，解不等式即可得到实数的取值范围
试题解析：（1）设，∴，又，
∴

即，∴在上单调递增
（2）令，则，
∴
∴，∴，即，
又在上单调递增，∴，
即，解得，故存在这样的实数，即
考点：1.抽象函数及其应用；2.函数单调性的判断与证明；3.解不等式.
【方法点睛】本题主要考查的是抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明,属于中档题，此类题目解题的核心思想就是对抽象函数进行变形处理，然后利用定义变形求出的大小关系，进而得到函数的单调性，对于解不等式，需要经常用到的利用“凑”的思想，对已知的函数值进行转化，求出常数所对的函数值，从而利用前面证明的函数的单调性进行转化为关于的一元二次不等式，因此正确对抽象函数关系的变形以及利用“凑”的思想，对已知的函数值进行转化是解决此类问题的关键.
19、（1）；（2）.
【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法则可求出、的值，进而可计算出的值；
（2）设，设，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数，可得出关于、的表达式，然后用、表示，最后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出的值.
【详解】（1），
，，因此，；
（2）设，
再设，则，即，
所以，，解得，所以，
因此，.
【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数，同时也考查了平面向量数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题.
20、（1）
（2），
【解析】（1）时，求出集合，，由此能求出；
（2）推导出，求出集合，列出不等式能，能求出实数的取值范围
【小问1详解】
时，集合，

；
【小问2详解】
若“”是“”的充分不必要条件，则，
集合，
，解得，
实数的取值范围是，
21、（1）；（2）当A，B两种产品分别投入2万元16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元.
【解析】⑴设出函数解析式，根据图象，即可求得答案；
⑵确定总利润函数，换元，利用配方法可求最值；
解析：(1)根据题意可设，
则f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2 (x≥0).
(2)设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元
则y＝ (18－x)＋2，0≤x≤18
令＝t，t∈[0,3]，
则y＝ (－t2＋8t＋18)＝－ (t－4)2＋.
所以当t＝4时，ymax＝＝8.5，
此时x＝16,18－x＝2.
所以当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约8.5万元.