2025年吉林省吉林地区普通高中友好学校联合体第三十一届数学高一上期末质量检测试题含解析.doc

2025年吉林省吉林地区普通高中友好学校联合体第三十一届数学高一上期末质量检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若角的终边过点，则等于
A. B.
C. D.
2．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少要经过（）小时才能驾驶.（参考数据：，）
A.1 B.3
C.5 D.7
3．设，则（ ）
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.c>b>a
4．已知函数（），对于给定的一个实数，点的坐标可能是（）
A.(2，1) B.(2，-2)
C.(2，-1) D.(2，0)
5．不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
6．命题，一元二次方程有实根，则（ ）
A.，一元二次方程没有实根
B.，一元二次方程没有实根
C.，一元二次方程有实根
D.，一元二次方程有实根
7．函数的零点一定位于区间（ ）
A. B.
C. D.
8．已知直线，，若，则实数的值为
A.8 B.2
C. D.-2
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A. B.
C. D.

10．对于函数的图象，关于直线对称；关于点对称；可看作是把的图象向左平移个单位而得到；可看作是把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍而得到以上叙述正确的个数是　　
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．夏季为旅游旺季，青岛某酒店工作人员为了适时为游客准备食物，调整投入，减少浪费，他们统计了每个月的游客人数，发现每年各个月份的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，游客人数基本相同；
②游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约200人；
③2月份的游客约为60人，随后逐月递增直到8月份达到最多.
则用一个正弦型三角函数描述一年中游客人数与月份之间关系为__________；需准备不少于210人的食物的月份数为__________.
12．设函数f（x）=，则f（-1）+f（1）=______
13．已知函数，为偶函数，则______
14．函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为_______________

15．已知函数.
（1）若在上单调递减，则实数的取值范围是___________；
（2）若的值域是，则实数的取值范围是___________.
16．幂函数的图像过点，则___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围；
（3）设函数，若函数与的图像只有一个公共点，求实数的取值范围.
18．某化工企业致力于改良工艺，想使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，第次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则可建立函数模型，其中是指改良工艺的次数.已知，（参考数据：）.
（1）试求该函数模型的解析式；
（2）若该地环保部门要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过，试问至少进行多少次改良工艺才能使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？
19．整治人居环境，打造美丽乡村，某村准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余的区域种植花卉.设.

（1）当时，求的长；
（2）求三角形区域面积的最大值.
20．已知函数是定义域为R的奇函数.
（1）求t的值，并写出的解析式；
（2）判断在R上的单调性，并用定义证明；
（3）若函数在上的最小值为，求k的值.
21．已知集合A={x|x2-px+q=0}，B={x|x2-x-6=0}
Ⅰ）若A∪B={-2，1，3}，A∩B={3}，用列举法表示集合A；
（Ⅱ）若∅AB，且p+q＞0，求p，q的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】角终边过点，则，所以.
故选C.
2、C
【解析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.
详解】设经过个小时才能驾驶，则，
即
由于在定义域上单调递减，
∴
∴他至少经过5小时才能驾驶.
故选：C
3、C
【解析】分别求出的范围即可比较.
【详解】，，
，，
，
.
故选：C
4、D
【解析】直接代入，利用为奇函数的性质，得到整体的和为定值.
【详解】易知是奇函数，则

即的横坐标与纵坐标之和为定值2.
故选：D.
5、C
【解析】将原不等式转化为从而可求出其解集
【详解】原不等式可化为，即，
所以
解得
故选：C
6、B
【解析】根据全称命题的否定为特称命题可得出.
【详解】因为全称命题的否定为特称命题，
所以，一元二次方程没有实根.
故选：B.
7、C
【解析】根据零点存在性定理，若在区间有零点，则，逐一检验选项，即可得答案.
【详解】由题意得为连续函数，且在单调递增，
，，，
根据零点存在性定理，，
所以零点一定位于区间.
故选：C
8、A
【解析】利用两条直线平行的充要条件求解
【详解】：∵直线l1：2x+y-2=0，l2：ax+4y+1=0，l1∥l2，
∴，
解得a=8
故选A .
【点睛】】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的灵活运用
9、A
【解析】由题可得该几何体为正方体的一半，截去了一个三棱锥，即得.
【详解】由三视图可知该几何体为正方体的一半，截去了一个三棱锥，如图，

则其体积为.
故选：A.
10、B
【解析】由判断；由判断；由的图象向左平移个单位，得到的图象判断；由的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得到函数的图象判断.
【详解】对于函数的图象，令，求得，不是最值，故不正确；
令，求得，可得的图象关于点对称，故正确；
把的图象向左平移个单位，得到的图象，故不正确；
把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，故正确，故选B
【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查三角函数的对称性以及三角函数的图象的变换规律，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①. ②.5
【解析】设函数为，根据题意，即可求得函数的解析式，再根据题意得出不等式，即可求解.
【详解】设该函数为，
根据条件①，可知这个函数的周期是12；
由②可知，最小，最大，且，故该函数的振幅为100；
由③可知，在上单调递增，且，所以，
根据上述分析，可得，解得，且，解得，
又由当时，最小，当时，最大，
可得，且，
又因为，所以，
所以游客人数与月份之间的关系式为，
由条件可知，
化简得，可得,
解得，
因为，且，所以，
即只有五个月份要准备不少于210人的食物.
故答案为：
12、3
【解析】直接利用函数的解析式，求函数值即可
【详解】函数f（x）=，
则==3
故答案为3
【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力
13、4
【解析】利用二次函数为偶函数的性质得一次项系数为0，定义域关于原点对称，即可求得的值.
【详解】由题意得：解得：
故答案为：.
【点睛】本题考查二次函数的性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意隐含条件的挖掘.
14、
【解析】根据所给的图象，可得到，周期的值，进而得到，根据函数的图象过点可求出的值，得到三角函数的解析式
【详解】由图象可知，，
，
，
三角函数的解析式是
函数的图象过,，
把点的坐标代入三角函数的解析式，

，又，
，
三角函数的解析式是.
故答案为：.
15、 ①. ②.
【解析】（1）分析可知内层函数在上为减函数，且对任意的，恒成立，由此可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（2）分析可知为二次函数值域的子集，分、两种情况讨论，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）令，.
当时，，该函数为常值函数，不合乎题意.
所以，，内层函数的对称轴为直线，
由于函数在上单调递减，且外层函数为增函数，
故内层函数在上为减函数，且对任意的，恒成立，
所以，，解得；
（2因为函数的值域是，则为二次函数值域的子集.
当时，内层函数为，不合乎题意；
当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：（1）；（2）.
16、
【解析】先设，再由已知条件求出，即，然后求即可.
【详解】解：由为幂函数，则可设，
又函数的图像过点，则，则，
即，则，
故答案为：.
【点睛】本题考查了幂函数的解析式的求法，重点考查了幂函数求值问题，属基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）函数是偶函数, 所以得出值检验即可；
（2），因为时，存在零点，即关于的方程有解，求出的值域即可；
（3）因为函数与的图像只有一个公共点，所以关于的方程有且只有一个解，所以，换元，研究二次函数图象及性质即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为是上偶函数，
所以，即
解得，
此时，
则是偶函数，满足题意，
所以.
【小问2详解】
解：因为，所以
因为时，存在零点，
即关于的方程有解，
令，则
因为，所以，所以，
所以，实数的取值范围是.
【小问3详解】
因为函数与的图像只有一个公共点，
所以关于的方程有且只有一个解，
所以
令，得…（*），
记，
①当时，函数图像开口向上，又因为图像恒过点，方程（*有一正一负两实根，所以符合题意；
②当时，因为，所以只需，
解得，
方程（*）有两个相等的正实根，所以满足题意，
综上，的取值范围是.
18、（1）；
（2）6.
【解析】（1）将，代入函数模型解解得答案；
（2）结合题意，解出指数不等式即可.
【小问1详解】
根据题意，，所以该函数模型的解析式为.
【小问2详解】
由（1），令，
则，而，则.
综上：至少进行6次改良工艺才能使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
19、（1）
（2）
【解析】（1）利用三角函数表达出的长；（2）用的三角函数表达出三角形区域面积，利用换元法转化为二次函数，求出三角形区域面积的最大值.
【小问1详解】
设MN与AB相交于点E，则，则，故的长为
【小问2详解】
过点P作PF⊥MN于点F，则PF=AE=，而MN=ME+EN=，则三角形区域面积为
，设，因为，所以，故，而，则，故当时，取得最大值，

故三角形区域面积的最大值为
20、（1）或，；（2）R上单调递增，证明见解析；（3）
【解析】（1）是定义域为R的奇函数，利用奇函数的必要条件，求出的值，进而求出，验证是否为奇函数；
（2）可判断在上为增函数，用函数的单调性定义加以证明，取两个不等的自变量，对应函数值做差，因式分解，判断函数值差的符号，即可证明结论；
（3）由，换元令，，由2）得，，根据条件转化为在最小值为-2，对二次函数配方，求出对称轴，分类讨论求出最小值，即可求解
【详解】解：（1）因为是定义域为R的奇函数，
所以，即，解得或，
可知，此时满足，
所以.
（2）在R上单调递增.
证明如下：设，则
.
因为，所以，
所以，可得.
因为当时，有，
所以R单调递增.
（3）由（1）可知，
令，则，
因为是增函数，且，所以.
因为在上的最小值为，
所以在上的最小值为.
因为，
所以当时，，
解得或（舍去）；
当时，，不合题意，舍去.
综上可知，.
【点睛】本题考查函数的奇偶性应用和单调性的证明，考查复合函数的最值，用换元方法，将问题化归为二次函数函数的最值，属于较难题.
21、（Ⅰ）{3，1}（Ⅱ）p=6，q=9
【解析】（Ⅰ）可求出B={-2，3}，根据A∪B={-2，1，3}，A∩B={3}，即可求出集合A；
（Ⅱ）根据条件∅AB即可得出A={-2}，或{3}，再根据p+q＞0即可求出p，q的值
【详解】（Ⅰ）B={-2，3}；
∵A∪B={-2，1，3}，A∩B={3}；
∴A={3，1}；
（Ⅱ）∵∅AB；
∴A={-2}，或A={3}；
①若A={-2}，则；
∴p+q=0，不满足p+q＞0；
∴A≠{-2}；
②若A={3}，则；
满足p+q＞0；
∴p=6，q=9
【点睛】考查描述法的定义，交集、并集的概念及运算，以及真子集的定义，韦达定理