河南省周口市中英文学校2025年高一数学第一学期期末达标测试试题含解析.doc

河南省周口市中英文学校2025年高一数学第一学期期末达标测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设集合则（）.
A. B.
C. D.
2．若函数是函数（且）的反函数，且，则（）
A. B.
C. D
3．下列函数中，以为最小正周期且在区间上为增函数的函数是（ ）
A. B.
C. D.
4．已知，则（）
A. B.
C. D.
5． “”是“幂函数在上单调递增”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．已知，点在轴上，，则点的坐标是
A. B.
C.或 D.
7．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
8．在梯形中，，，.将梯形绕所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
A. B.
C. D.
9．可以化简成（）
A. B.
C. D.
10．为空间中不重合的两条直线，为空间中不重合的两个平面，则
①若；②；
③；④
上述说法正确的是
A.①③ B.②③
C.①② D.③④
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知,则的值为________
12．函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是______.
13．已知平面向量，，若，则______
14．过点且在轴，轴上截距相等的直线的方程为___________.
15．已知是定义在上的奇函数, 当时, ,则的值为________________
16．已知幂函数经过点，则______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）求的对称轴方程；
（2）若在上，函数最小值为且有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围
18．已知角的终边有一点.
（1）求的值；
（2）求的值.
19．如图所示，已知长方形ABCD，AD=2CD=4，M、N分别为AD、BC的中点，将长方形ABCD沿MN折到MNFE位置，且使平面MNFE⊥平面ABCD

（1）求证：直线CM⊥面DFN；
（2）求点C到平面FDM的距离
20．设直线l的方程为.
（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程
（2）若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.
21．如图，在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，

（1）求的值；
（2）将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，求的值；
（3）若点与关于轴对称，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】利用求集合交集的方法求解.
【详解】因为所以.
故选：D.
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，明确集合交集的含义是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
2、B
【解析】由题意可得出，结合可得出的值，进而可求得函数的解析式.
【详解由于函数是函数（且）的反函数，则，
则，解得，因此，.
故选：B.
3、B
【解析】对四个选项依次判断最小正周期及单调区间,即可判断.
【详解】对于A, ,最小正周期为,单调递增区间为,即,在内不单调,所以A错误;
对于B, 的最小正周期为,单调递增区间为,即,在内单调递增,所以B正确;
对于C, 的最小正周期为,所以C错误;
对于D, 的最小正周期为,所以D错误.
综上可知,正确的为B
故选:B
【点睛】本题考查了函数的最小正周期及单调区间的判断,根据函数性质判断即可,属于基础题.
4、C
【解析】先对两边平方，构造齐次式进而求出或，再用正切的二倍角公式即可求解.
【详解】解：对两边平方得
，
进一步整理可得，
解得或，
于是
故选：C
【点睛】本题考查同角三角函数关系和正切的二倍角公式，考查运算能力，是中档题.
5、A
【解析】由幂函数的概念，即可求出或，再根据或均满足在上单调递增以及充分条件、必要条件的概念，即可得到结果.
【详解】若为幂函数，则，解得或，
又或都满足在上单调递增
故“”是“幂函数在上单调递增”的充分不必要条件
故选：A.
6、C
【解析】依题意设，根据，解得，所以选.
7、D
【解析】是奇函数，单调递增，所以，得，
所以，所以，故选D
点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性应用．本题中，结合函数的奇偶性和单调性的特点，转化得到，分参，结合恒成立的特点，得到，求出参数范围
8、C
【解析】
由题意可知旋转后的几何体如图: 
直角梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为
故选C.
考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.
9、B
【解析】根据指数幂和根式的运算性质转化即可
【详解】解：，
故选：B
10、A
【解析】由线面垂直的性质定理知①正确；②中直线可能在平面内，故②错误；，则内一定有直线//，，则有，所以，③正确；④中可能平行，相交，异面，故④错误，故选A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用正弦、余弦、正切之间的商关系,分式的分子、分母同时除以即可求出分式的值.
【详解】
【点睛】本题考查了同角三角函数的平方和关系和商关系,考查了数学运算能力.
12、
【解析】先化简，然后分析的奇偶性，将的最大值和小值之和转化为和有关的式子，结合对勾函数的单调性求解出的取值范围.
【详解】，
令，定义域为关于原点对称，
∴，
∴为奇函数，∴，
∴，
，由对勾函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：.
【点睛关键点点睛：解答本题的关键在于函数奇偶性的判断，同时需要注意到奇函数在定义域上如果有最值，那么最大值和最小值一定是互为相反数.
13、
【解析】求出，根据，即，进行数量积的坐标运算，列出方程，即可求解
【详解】由题意知，平面向量，，则；
因为，所以，解得
故答案为
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的数量积的应用，其中解答中根据平面向量垂直的条件，得到关于的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
14、或
【解析】当直线不过原点时设截距式方程；当直线过原点时设,分别将点代入即可
【详解】由题,当直线不过原点时设,则,所以,则直线方程为,即；
当直线过原点时设,则,所以,则直线方程为,即,
故答案为: 或
【点睛】本题考查求直线方程,考查截距式方程的应用,截距相同的直线问题,需注意过原点的情况
15、-7
【解析】由已知是定义在上的奇函数, 当时, ，所以，则=
点睛：利用函数奇偶性求有关参数问题时，要灵活选用奇偶性的常用结论进行处理，可起到事半功倍的效果：
①若奇函数在处有定义，则；
②奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数奇函数=偶函数偶函数=偶函数；
③特殊值验证法
16、##0.5
【解析】将点代入函数解得，再计算得到答案.
【详解】，故，.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；
（2）.
【解析】（1）应用二倍角正余弦公式、辅助角公式可得，根据余弦函数的性质求的对称轴方程.
（2）由题设可得，画出的图象，进而由已知条件及数形结合思想求m的取值范围
【小问1详解】
由题设，，
令，，可得，.
∴的对称轴方程为，.
【小问2详解】
令，在上，而时有，且图象如下：

又最小值为且有两个不相等的实数根，
由上图知：，可得.
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据终边上的点及正切函数的定义求即可.
（2）利用诱导公式及商数关系，将目标式化为，结合（1）的结果求值即可.
【小问1详解】
由题设及正切函数的定义，.
【小问2详解】
.
19、（1）见解析；（2）
【解析】（1）推导出DN⊥CM，CM⊥FN，由此能证明CM⊥平面DFN．（2）以M为原点，MN为x轴，MA为y轴，ME为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到平面FDM的距离
【详解】证明：（1）∵长方形ABCD，AD=2CD=4，M、N分别为AD、BC的中点，
将长方形ABCD沿MN折到MNFE位置，且使平面MNFE⊥平面ABCD
因为长方形ABCD，DC=CN=2,所以四边形DCNM是正方形，
∴DN⊥CM，
因为平面MNFE⊥平面ABCD，FN⊥MN, MNFE∩平面ABCD=MN,
所以FN⊥平面DCNM，因为CM平面DCNM，
所以CM⊥FN，
又DN∩FN=N，∴CM⊥平面DFN

（2）以M为原点，MN为x轴，MA为y轴，ME为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（2，-2，0），D（0，-2，0），F（2，0，2），M（0，0，0），
=（2，-2，0），=（0，-2，0），=（2，0，2），
设平面FDM的法向量=（x，y，z），
则，取x=1，得=（1，0，-1），
∴点C到平面FDM的距离d===
【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题
20、（1）3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.（2）a＝2或a＝－2
【解析】（1）直线在两坐标轴上的截距相等，有两种情况：截距为0和截距不为0，分别求出两种情况下的a的值，即得直线l的方程；（2）直线在两坐标轴上的截距互为相反数，由（1）可知有，解方程可得a。
【详解】（1）当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上截距为零，∴a＝2，方程即为，
当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.∴，即a＋1＝1.
∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
综上，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
（2）由，得a－2＝0或a＋1＝－1，∴a＝2或a＝－2.
【点睛】第一个问中，直线在两坐标轴上的截距相等，注意不要忽略截距为0的情况。
21、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）由三角函数的定义得到，再根据且点在第一象限，即可求出；
（2）依题意可得，再由（1），即可得解；
（3）首先求出的坐标，连接交轴于点，即可得到，再利用二倍角公式计算可得；
【小问1详解】
解：因为角终边与单位圆交于点，且，
由三角函数定义，得.
因为，所以.
因为点在第一象限，
所以.
【小问2详解】
解：因为射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，
所以.
因为，
所以.
【小问3详解】
解：因为点与关于轴对称，
所以点的坐标是.
连接交轴于点，所以.
所以
.
所以的值是.