河北省两校2026届数学高一上期末监测模拟试题含解析.doc

河北省两校2026届数学高一上期末监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知向量，，那么（）
A.5 B.
C.8 D.
2．已知函数的值域为，则实数m的值为（）
A.2 B.3
C.9 D.27
3．设函数，则的值为（）
A. B.
C. D.18
4．函数中，自变量x的取值范围是（）
A. B.
C.且 D.
5．已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为

A. B.
C. D.
6．已知函数是定义在R上的周期为2的偶函数，当时，，则
A. B.
C. D.
7．已知，则等于（）
A. B.
C. D.
8．下列各组函数中，表示为同一个函数的是　　
A.与 B.与
C.与 D.与且
9．香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式来表示，其中是信道支持的最大速度或者叫信道容量，是信道的带宽（），S是平均信号功率（），是平均噪声功率．已知平均信号功率为，平均噪声功率为，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为（）
A. B.
C. D.
10． “”是“的最小正周期为”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数定义域是________（结果用集合表示）
12．函数的定义域为D，给出下列两个条件：①；②任取且，都有恒成立.请写出一个同时满足条件①②的函数，则___________.
13．已知，则____________
14．函数最小值为
15．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”．若函数为 “倍缩函数”，则实数的取值范围是_______
16．已知函数则________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18．2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松.某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：

1
2
3
4
5
6

（万个）

10

50

250

若该变异毒株的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择.
（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（2）求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个.（参考数据：）
19．如图，有一块半径为4的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上，连接OC两点，OC与OB所形成的夹角为.

（1）写出这个梯形周长y和的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）求周长y的最大值以及此时梯形的面积.
20．已知函数.
（1）求的最小正周期以及对称轴方程；
（2）设函数，求在上的值域.
21．已知函数
（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明其结论；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果.
【详解】因为向量，，所以
.

故选：B.
2、C
【解析】根据对数型复合函数的性质计算可得；
【详解】解：因为函数的值域为，所以的最小值为，所以；
故选：C
3、B
【解析】根据分段函数的不同定义域对应的函数解析式，进行代入计算即可.
【详解】，
故选：B
4、B
【解析】根据二次根式的意义和分式的意义可得，解之即可.
【详解】由题意知，
，解得，
即函数的定义域为.
故选：B
5、D
【解析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，求出，计算得到答案
【详解】阴影部分表示的集合为，

故选
【点睛】本题主要考查的是韦恩图表达集合的关系和运算，属于基础题
6、A
【解析】依题意有.
7、A
【解析】利用换元法设，则，然后利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可
【详解】设，则，则，
则，
故选：
8、D
【解析】A，B两选项定义域不同，C选项对应法则不同，D选项定义域和对应法则均相同，即可得选项.
【详解】A.，，两个函数的定义域不同，不是同一函数，
B.，，两个函数的定义域不同，不是同一函数，
C.，两个的对应法则不相同，不是同一函数
D.，，两个函数的定义域和对应法则相同是相同函数，
故选D
【点睛】此题是个基础题．本题考查函数的三要素：定义域、值域、对应关系，相同的函数必然具有相同的定义域、值域、对应关系．要使数与的同一函数，必须满足定义域和对应法则完全相同即可，注意分析各个选项中的个函数的定义域和对应法则是否相同，通常的先后顺序为先比较定义域是否相同，其次看对应关系或值域..
9、A
【解析】利用题设条件，计算出原信道容量的表达式，再列出在B不变时用所求平均噪声功率表示的信道容量的表达式，最后列式求解即得.
【详解】由题意可得，，则在信道容量未增大时，信道容量为，信道容量增大到原来2倍时，，则，即，解得，
故选：A
10、A
【解析】根据函数的最小正周期求得，再根据充分条件和必要条件的定义即可的解.
【详解】解：由的最小正周期为，可得，所以，
所以“”是“的最小正周期为”的充分不必要条件.
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据对数函数的真数大于0求解即可.
【详解】函数有意义，
则，解得，
所以函数的定义域为，
故答案为：
12、（答案为不唯一）
【解析】由题意可知函数在定义域内为增函数，且，从而可得其解析式
【详解】因为函数的定义域为D，且任取且，都有恒成立，
所以的定义域内为增函数，
因为，
所以（答案为唯一）
故答案为：（答案为不唯一）
13、##0.8
【解析】利用同角三角函数的基本关系，将弦化切再代入求值
【详解】解：，
则，
故答案为：
14、
【解析】根据，并结合基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】解：因为，
所以
，当且仅当时，等号成立
故函数的最小值为.
故答案为：
15、
【解析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围.
【详解】因为函数为“倍缩函数”，即满足存在，使在上的值域是，
由复合函数单调性可知函数在上是增函数
所以，则，即
所以方程有两个不等实根，且两根都大于0.
令，则，所以方程变为：.
则，解得
所以实数的取值范围是.
故答案为：
16、##
【解析】利用分段函数的解析式，代入求解.
【详解】因为函数
所以
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）m=﹣2时求出集合B，然后进行交集、并集的运算即可；
（2）由B⊆A便可得到，解该不等式组即可得到实数m的取值范围
试题解析：
（1）；（2）
解：当时，，
由中不等式变形得，解得，即.
（1）.
（2），解得，
的取值范围为.
18、（1）选择函数更合适，解析式为
（2）11个单位
【解析】（1）将，和，分别代入两种模型求解解析式，再根据时的值估计即可；
（2）根据题意，进而结合对数运算求解即可.
【小问1详解】
若选，将，和，代入得
，解得
得
将代入，，不符合题意
若选将，和，代入得
，解得
得
将代入得，符合题意
综上：所以选择函数更合适，解析式为
【小问2详解】
解：设至少需要个单位时间，
则，即
两边取对数：

因为，所以的最小值为11
至少经过11个单位时间不少于1亿个
19、（1），
（2）20，
【解析】（1）过点C作，表示出，，即可写出梯形周长y和的函数解析式；
（2）令，结合二次函数求出y的最大值，求出此时的，再计算梯形面积即可.
【小问1详解】
由题意得.半圆形钢板半径为4，则，

过点C作.在和中，
有，，.
在中，因为，为等腰三角形，故，
所以，.
，.
【小问2详解】
由.令，则，

则.
则当时，周长y有最大值，最大值20，此时，.
故梯形的高，，.
20、（1）最小正同期为，对称轴方程为
（2）
【解析】（1）利用三角函数的恒等变换公式将化为只含有一个三角函数形式，即可求得结果；
（2）将展开化简，然后采用整体处理的方法，求得答案.
【小问1详解】

，
所以的最小正同期为.
令，得对称轴方程为.
【小问2详解】
由题意可知，
因为，所以，
故，所以，
故在上的值域为.
21、（1）证明见解析；（2）最大值为；小值为
【解析】（1）利用单调性的定义，任取，且，比较和0即可得单调性；
（2）由函数的单调性即可得函数最值.
试题解析：
（1）解：在区间上是增函数.
证明如下：
任取，且，
.
∵，
∴，即.
∴函数在区间上是增函数.
（2）由（1）知函数在区间上是增函数，
故函数在区间上的最大值为，
最小值为.
点睛：本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式,判断并证明函数的单调性,属于中档题目.证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：和0比较；
（4）下结论