新疆阿克苏市第一师高级中学2025年高一数学第一学期期末经典模拟试题含解析.doc

新疆阿克苏市第一师高级中学2025年高一数学第一学期期末经典模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知集合，，则（　　）
A. B.
C. D.
2．已知角的终边经过点，则的值为
A. B.
C. D.
3．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)

A.x1 B.x2
C.x3 D.x4
4．函数的单调递减区间为　　
A. B.
C. D.
5．已知第二象限角的终边上有异于原点的两点，，且，若，则的最小值为（）
A. B.3
C. D.4
6．在中，，．若点满足，则（）
A. B.
C. D.
7．已知，则的大小关系为
A. B.
C. D.
8．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心为（）
A. B.
C. D.
9．定义在R上的偶函数f(x)满足，当x∈[0，1]时，则函数在区间上的所有零点的和为（）
A.10 B.9
C.8 D.6
10．已知函数在[2，3]上单调递减，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．以A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的△ABC，其边AB上的高所在的直线方程是________.
12． 的值__________.
13．古希腊数学家欧几里得所著《几何原本》中的“几何代数法”，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图，O为线段中点，C为上异于O的一点，以为直径作半圆，过点C作的垂线，交半圆于D，连结，过点C作的垂线，垂足为E.设，则图中线段，线段，线段_______；由该图形可以得出的大小关系为___________.

14．已知函数，若，不等式恒成立，则的取值范围是___________.
15．将函数的图象先向下平移1个单位长度，在作关于直线对称的图象，得到函数，则_______
16．用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知两条直线l1：ax＋2y－1＝0，l2：3x＋(a＋1)y＋1＝0.
(1)若l1∥l2，求实数a的值；
(2)若l1⊥l2，求实数a的值
18．已知函数（，且）.
（1）求函数的定义域；
（2）是否存在实数a，使函数在区间上单调递减，并且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
19．对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}
（1）求集合P7中元素的个数；
（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并
20．若关于的不等式的解集为
（1）求的值；
（2）求不等式的解集.
21．在①；②函数为偶函数：③0是函数的零点这三个条件中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题
问题：已知函数，，且______
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】直接利用交集运算法则得到答案.
【详解】，，则
故选：
【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.
2、C
【解析】因为点在单位圆上，又在角的终边上，所以；
则；故选C.
3、C
【解析】观察图象可知：点x3的附近两旁的函数值都为负值，∴点x3不能用二分法求，故选C.
4、A
【解析】根据所给的二次函数的二次项系数大于零，得到二次函数的图象是一个开口向上的抛物线，根据对称轴，考查二次函数的变化区间，得到结果
【详解】解：函数的二次项的系数大于零，
抛物线的开口向上，
二次函数的对称轴是，
函数的单调递减区间是
故选A
【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础题
5、B
【解析】根据，得到，从而得到，进而得到，再利用“1”的代换以及基本不等式求解.
【详解】解：因为，
所以，
又第二象限角的终边上有异于原点的两点，，
所以，则，
因为，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：B
6、A
【解析】，故选A
7、B
【解析】先对三个数化简，然后利用指数函数的单调性判断即可
【详解】，，，
因为在上为增函数，且，
所以，
所以，
故选：B
8、A
【解析】根据题意并结合奇函数的性质即可求解.
【详解】由题意得，设函数图象的对称中心为，
则函数为奇函数，
即
，
则，解得，
故函数图象的对称中心为.
故选：.
9、A
【解析】根据条件可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称；根据函数的解析式及奇偶性，对称性可得出函数f(x)在的图象；令，画出其图象，进而得出函数的图象．根据函数图象及其对称性，中点坐标公式即可得出结论
【详解】因为定义在R上的偶函数f(x)满足，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
当x∈[0，1]时，，可以得出函数f(x)在上的图象，进而得出函数f(x)
在的图象.画出函数，的图象；
令，可得周期T1，画出其图象，进而得出函数的图象
由图象可得：函数在区间上共有10个零点，即5对零点，每对零点的中点都为1，所以所有零点的和为

故选：A
10、C
【解析】根据复合函数的单调性法则“同增异减”求解即可.
【详解】由于函数在上单调递减，在定义域内是增函数，
所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得：
在上单调递减，且，
所以且，解得：.
故的取值范围是
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、2x＋y－14＝0
【解析】求出直线AB的斜率，即可得出高的斜率，由点斜式即可求出.
【详解】由A，B两点得，则边AB上的高所在直线的斜率为－2，
故所求直线方程是y－4＝－2(x－5)，即2x＋y－14＝0.
故答案为：2x＋y－14＝0.
12、1
【解析】由，结合辅助角公式可知原式为，结合诱导公式以及二倍角公式可求值.
【详解】解：

.
故答案为:1.
【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.
13、 ①. ②.
【解析】利用射影定理求得，结合图象判断出的大小关系.
【详解】在中，由射影定理得，即.
在中，由射影定理得，
即
根据图象可知，即.
故答案为：；
14、
【解析】原问题等价于时，恒成立和时，恒成立，从而即可求解.
【详解】解：由题意，因为，不等式恒成立，
所以时，恒成立，即，所以
时，恒成立，即，
令，则，
由对勾函数的单调性知在上单调递增，在上单调递减，
所以时，，
所以；
综上，.
所以的取值范围是.
故答案为：
15、5
【解析】利用平移变换和反函数的定义得到的解析式，进而得解.
【详解】函数的图象先向下平移1个单位长度得到
作关于直线对称的图象，即的反函数，则
，，即，

故答案为：5
【点睛】关键点点睛：本题考查图像的平移变换和反函数的应用，利用反函数的性质求出的解析式是解题的关键，属于基础题.
16、
【解析】根据圆锥的底面周长等于半圆形纸片的弧长建立等式,再根据半圆形纸片的半径为圆锥的母线长求解即可.
【详解】由题得, 半圆形纸片弧长为,设圆锥的底面半径为,则,
故圆锥的高为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆锥展开图中的运算,重点是根据圆锥底面的周长等于展开后扇形的弧长,属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) a=2 (2)
【解析】（1）利用直线与直线平行的条件直接求解；
（2）利用直线与直线垂直的条件直接求解
【详解】(1)由题可知，直线l1：ax＋2y－1＝0，l2：3x＋(a＋1)y＋1＝0.
若l1∥l2，则
解得a=2或a=-3(舍去)
综上，则a=2；
（2）由题意，若l1⊥l2，则,
解得.
【点睛】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行与垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题
18、（1）
（2）
【解析】（1）根据对数型函数定义的求法简单计算即可.
（2）利用复合函数的单调性的判断可知，然后依据题意可得进行计算即可.
【小问1详解】
由题意可得，即，
因为，所以解得.
故的定义域为.
【小问2详解】
假设存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为1.
设函数，由，得，
所以在区间上减函数且恒成立，
因为在区间上单调递减，
所以且，即.
又因为在区间上的最大值为1，
所以，
整理得，解得.
因为，所以，
所以存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为1
19、（1）46 （2）n的最大值为14
【解析】（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=4时，Pn={|m∈In，k∈In}中有3个数（1，2，3）与
In={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得
集合P7中元素的个数为 7×7﹣3=46
（2）先证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集．否则，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=Pn⊇In
不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=42，
这与A为稀疏集相矛盾
再证P14满足要求．当k=1时，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集
事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1和B1都稀疏集，且A1∪B1=I14
当k=4时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，…，}，可以分为下列3个稀疏集的并：
A2={，，，}，B2={，，}
当k=9时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，，…，，}，
可以分为下列3个稀疏集的并：
A3={，，，，}，B3={，，，，}
最后，集合C═{|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9 }中的数的分母都是无理数，
它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，
因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14
综上可得，n的最大值为14
20、（1）；（2）.
【解析】（1）由题意可知，方程的两根为，结合根与系数的关系得出的值；
（2）根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】（1）由题意可知，方程的两根为
由根与系数的关系可知，，解得
（2）由（1）可知，
，即，解得
即该不等式的解集为
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.
21、（1）
（2）单调递增，证明见解析
【解析】（1）若选条件①，根据及指数对数恒等式求出的值，即可求出函数解析式；若选条件②，根据，即可得到，从而求出的值，即可求出函数解析式；若选条件③，直接代入即可得到方程，求出的值，即可求出函数解析式；
（2）利用定义法证明函数单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；
【小问1详解】
解：若选条件①．因为，
所以，即
解得．所以
若选条件②．函数的定义域为R．因为为偶函数，
所以，，即，
，化简得，
所以，即．所以
若选条件③．由题意知，，
即，解得．所以
【小问2详解】
解：函数在区间上单调递增
证明如下：，，且，
则
因为，，，所以，即
又因为，所以，即
所以，即
所以在区间上单调递增