2025年名校联盟数学高一第一学期期末达标测试试题含解析.doc

2025年名校联盟数学高一第一学期期末达标测试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，小数记录法的数据V和五分记录法的数据L满足，已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）（注：）
A.0.6 B.0.8
C.1.2 D.1.5
2．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）
A. B.
C. D.都不对
3．如果函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.以上选项均不对
4．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是
A. B.
C. D.
5．下列函数中，在区间上是增函数是
A. B.
C. D.
6．已知函数的定义域为[1，10]，则的定义域为（）
A. B.
C. D.
7．=（）
A. B.
C. D.
8．已知点M在曲线上，点N在曲线：上，则|MN|的最小值为（）
A.1 B.2
C.3 D.4
9．函数f(x)＝，的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
10．定义在上的函数，，若在区间上为增函数，则一定为正数的是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数集合，若集合中有3个元素，则实数的取值范围为________
12．已知在平面直角坐标系中，角顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则___________.
13．函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为______

14．函数的定义域为__________.
15．已知两点,,以线段为直径的圆经过原点,则该圆的标准方程为____________.
16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆有且仅有三个点到直线l：的距离为1，则实数c的取值集合是______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，求实数x的取值范围.
18．设函数的定义域为，值域为，如果存在函数，使得函数的值域仍是，那么称是函数的一个等值域变换.
（1）判断下列函数是不是函数的一个等值域变换？说明你的理由；
①；
②.
（2）设的定义域为，已知是的一个等值域变换，且函数的定义域为，求实数的值.
19．如图，在平行四边形中，设，.

（1）用向量，表示向量，；
（2）若，求证：.
20．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E分别为AB、BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.

求证：(1)直线A1C1∥平面B1DE；
(2)平面A1B1BA⊥平面A1C1F.
21．已知幂函数的图象经过点
（1）求的解析式；
（2）设，
（i）利用定义证明函数在区间上单调递增
（ii）若在上恒成立，求t的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】当时，即可得到答案.
【详解】由题意可得当时
故选：B
2、B
【解析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积
【详解】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，
所以球的半径为：；则这个球的表面积是：
故选：
3、A
【解析】先求出二次函数的对称轴，由区间，在对称轴的左侧，列出不等式解出的取值范围

【详解】解：函数的对称轴方程为：，
函数在区间，上递减，
区间，在对称轴的左侧，
，

故选：A
【点睛】本题考查二次函数图象特征和单调性，以及不等式的解法，属于基础题
4、C
【解析】先由三角函数的最值得或，再由得，进而可得单调增区间.
【详解】因为对任意恒成立，所以，
则或，
当时，，则（舍去），
当时，，则，符合题意，
即，
令，解得，即的单调递增区间是；故选C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，利用三角函数的性质确定解析式，属于中档题.
5、A
【解析】由题意得函数在上为增函数，函数在上都为减函数．选A
6、B
【解析】根据函数的定义域，结合要求的函数形式，列出满足条件的定义域关系，求解即可.
【详解】由题意可知，函数的定义域为[1，10]，则函数成立需要满足
，解得.
故选：B.
7、B
【解析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值直接计算作答.
【详解】.
故选：B
8、B
【解析】根据圆的一般方程得出圆的标准方程，并且得圆的圆心和半径，计算两圆圆心的距离后就可以求解.
【详解】由题意知：圆 :, 的坐标是,半径是，圆:，的坐标是 ,半径是.
所以,
因此两圆相离,所以最小值为.
故选：B
9、A
【解析】判断函数的奇偶性，以及函数在上的符号，利用排除法进行判断即可
【详解】∵f(x)＝，

∴，，
∴函数是奇函数，排除D，
当时，，则，排除B，C.
故选：A
10、A
【解析】

在区间上为增函数，

即
故选
点睛：本题运用函数的单调性即计算出结果的符号问题，看似本题有点复杂，在解析式的给出时含有复合部分，只要运用函数的解析式求值，然后利用函数的单调性，做出减法运算即可判定出结果

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、或
【解析】令，记的两根为，由题知的图象与直线共有三个交点，从而转化为一元二次方程根的分布问题，然后可解.
【详解】令，记的零点为，
因为集合中有3个元素，所以的图象与直线共有三个交点，
则，或或
当时，得，，满足题意；
当时，得，，满足题意；
当时，，解得.
综上，t的取值范围为或.
故答案为：或

12、
【解析】根据角的终边经过点，利用三角函数的定义求得，然后利用二倍角公式求解.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，
所以，
所以，
故答案为：
13、
【解析】根据所给的图象，可得到，周期的值，进而得到，根据函数的图象过点可求出的值，得到三角函数的解析式
【详解】由图象可知，，
，
，
三角函数的解析式是
函数的图象过,，
把点的坐标代入三角函数的解析式，

，又，
，
三角函数的解析式是.
故答案为：.
14、
【解析】解不等式即可得出函数的定义域.
【详解】对于函数，有，解得.
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
15、
【解析】由以线段为直径的圆经过原点,则可得,
求得参数的值，然后由中点坐标公式求所求圆的圆心，用两点距离公式求所求圆的直径，
再运算即可.
【详解】解：由题意有,，
又以线段为直径的圆经过原点,
则,
则，解得，
即，
则的中点坐标为，即为，
又，
即该圆的标准方程为，
故答案为.
【点睛】本题考查了圆的性质及以两定点为直径的圆的方程的求法，重点考查了运算能力，属基础题.
16、
【解析】因为圆心到直线的距离为，所以由题意得
考点：点到直线距离

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、或
【解析】利用函数单调性解决抽象不等式.
试题解析：
因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域上单调递增，
且f(1)＝ln 1＋2＝2，
所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)和t值域建立不等式，利用存在t1，t2∈R使两个等号分别成立，求得m和n
试题解析：
（1）①，x>0，值域为R，
,t>0,由g(t)⩾2可得y=f[g(t)]的值域为[1,+∞).
则x=g(t)不是函数y=f(x)的一个等值域变换；
② ，即的值域为，
当时，，即的值域仍为，所以是的一个等值域变换，故①不是等值域变换，②是等值域变换；
（2）定义域为，因为是的一个等值域变换，且函数的定义域为，的值域为，
，
恒有，解得
19、（1），.
（2）证明见解析
【解析】（1）根据向量的运算法则，即可求得向量，；
（2）由，根据向量的运算法则，求得，即可求解.
【小问1详解】
解：在平行四边形中，由，，
根据向量的运算法则，可得，.
【小问2详解】
解：因为，可得，
所以.
20、证明过程详见解析
【解析】（1）先证明DE∥A1C1，即证直线A1C1∥平面B1DE.(2)先证明DE⊥平面AA1B1B，再证明A1F⊥平面B1DE，即证平面AA1B1B⊥平面A1C1F.
【详解】证明：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，∵ABC-A1B1C1为棱柱，
∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，
∵DE⊂平面B1DE，且A1C1⊄平面B1DE，∴A1C1∥平面B1DE；
（2）在ABC-A1B1C1的直棱柱中，
∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，
又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B，
∴A1C1⊥平面AA1B1B，∵DE∥A1C1，
∴DE⊥平面AA1B1B，又∵A1F⊂平面AA1B1B，
∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D⊂平面B1DE，
∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F⊂平面A1C1F，
∴平面AA1B1B⊥平面A1C1F
【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.
21、（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】（1）设，然后代点求解即可；
（2）利用定义证明函数在区间上单调递增即可，然后可得在上，，然后可求出t的取值范围
【小问1详解】
设，
则，得，
所以
【小问2详解】
（i）由（1）得
任取，，且，
则

因为，所以，，所以，即
所以函数在上单调递增
（ii）由（i）知在单调递增，
所以在上，
因为在上恒成立，所以，
解得