2025年湖南长沙市第一中学高一数学第一学期期末考试试题含解析.doc

2025年湖南长沙市第一中学高一数学第一学期期末考试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数（，且）的图象恒过点P，若角的终边经过点P，则（ ）
A. B.
C. D.
2．设集合，，，则（）

A. B.
C. D.
3．的图像是端点为且分别过和两点的两条射线，如图所示，则的解集为

A.
B.
C.
D.
4．设集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么( 　)
A.M＝N B.N⊆M
C.M⊆N D.M∩N＝∅
5． “”是“”的（）
A.充要条件 B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件 D.必要不充分条件
6．如图，点，，分别是正方体的棱，的中点，则异面直线和所成的角是（ ）

A. B.
C. D.
7．函数的零点所在区间为：（）
A. B.
C. D.
8．方程的解所在的区间为（）
A. B.
C. D.
9．直线与圆相切，则的值为（）
A. B.
C. D.
10．设全集,, ,则图中阴影部分表示的集合为

A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，其中，则的值为______
12．已知幂函数在上为减函数，则实数_______
13．已知函数有两个零点，则___________
14．若函数在区间[2,3]上的最大值比最小值大,则__________ .
15．计算____________
16．函数的定义域是_____________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设函数.
（1）求的单调增区间；
（2）求在上的最大值与最小值.
18．已知是函数的零点，.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
19．某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程．第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有1位或2位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程．第2个过程，将产品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂．设每位质检员检验结果为合格的概率均为，且每位质检员的检验结果相互独立
（1）求产品需要进行第2个过程的概率；
（2）求产品不可以出厂的概率
20．已知函数,其中,且.
（1）若函数的图像过点,且函数只有一个零点,求函数的解析式;
（2）在（1）的条件下,若,函数在区间上单调递增,求实数的取值范围.
21．已知函数
（1）求当f(x)取得最大值时，x的取值集合；
（2）完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数f(x)在上的图象．
x

y

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由题可得点，再利用三角函数的定义即求.
【详解】令，则，
所以函数（，且）的图象恒过点，
又角的终边经过点，
所以，
故选：A.
2、D
【解析】根据交集、补集的定义计算可得；
【详解】解：集合，，
，
则
故选：D
3、D
【解析】作出g(x)=图象，它与f(x)的图象交点为和，由图象可得
4、C
【解析】变形表达式为相同的形式，比较可得
【详解】由题意可
即为的奇数倍构成的集合
又，即为的整数倍构成的集合，，
故选C
【点睛】本题考查集合的包含关系的判定，变形为同样的形式比较是解决问题的关键，属基础题
5、D
【解析】求得的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由，可得或，
所以“”是“或”成立的充分不必要条件，
所以“”是“” 必要不充分条件.
故选：D.
6、C
【解析】通过平移的方法作出直线和所成的角，并求得角的大小.
【详解】依题意点，，分别是正方体的棱，的中点，
连接，结合正方体的性质可知，
所以是异面直线和所成的角，
根据正方体的性质可知，是等边三角形，所以，
所以直线和所成的角为.
故选：C

【点睛】本小题主要考查线线角的求法，属于基础题.
7、C
【解析】利用函数的单调性及零点存在定理即得.
【详解】因为，
所以函数单调递减，
，
∴函数的零点所在区间为.
故选：C.
8、C
【解析】将方程转化为函数的零点问题，根据函数单调性判断零点所处区间即可.
【详解】函数在上单增，
由，知，
函数的根处在里，
故选：C
9、D
【解析】由圆心到直线的距离等于半径可得
【详解】由题意圆标准方程为，圆心坐标为，半径为1，
所以，解得
故选：D
10、B
【解析】，阴影部分表示的集合为，选B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、；
【解析】
因为，所以
点睛：三角函数求值三种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.
12、-1
【解析】利用幂函数的定义列出方程求出m的值，将m的值代入函数解析式检验函数的单调性
【详解】∵y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1是幂函数
∴m2﹣5m﹣5=1解得m=6或m=﹣1
当m=6时，y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1=x13不满足在（0，+∞）上为减函数
当m=﹣1时，y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1=x﹣1满足在（0，+∞）上为减函数
故答案为m=﹣1
【点睛】本题考查幂函数的定义：形如y=xα（其中α为常数）、考查幂函数的单调性与幂指数的正负有关
13、2
【解析】根据函数零点的定义可得，进而有，整理计算即可得出结果.
【详解】因为函数又两个零点，
所以，
即，
得，
即，
所以.
故答案为：2
14、
【解析】函数在上单调递增，
∴
解得：
故答案为
15、5
【解析】由分数指数幂的运算及对数的运算即可得解.
【详解】解：原式，
故答案为：5.
【点睛】本题考查了分数指数幂的运算及对数的运算，属基础题.
16、.
【解析】由题意，要使函数有意义，则，解得：且.即函数定义域为.
考点：函数的定义域.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）最大值为2，最小值为
【解析】（1）利用三角恒等变换化简可得，根据正弦型函数的单调性计算即可得出结果.
（2）由得，利用正弦函数的图像和性质计算即可得出结果.
【小问1详解】

令，得，
所以的单调增区间为
【小问2详解】
由得，
所以当，即时，取最大值2；
当，即时，取最小值.
18、 (Ⅰ)1；(Ⅱ)；(Ⅲ)
【解析】Ⅰ利用是函数的零点，代入解析式即可求实数的值；Ⅱ由不等式在上恒成立，利用参数分类法，转化为二次函数求最值问题，即可求实数的取值范围；Ⅲ原方程等价于，利用换元法，转化为一元二次方程根的个数进行求解即可
【详解】Ⅰ是函数的零点，
，得；
Ⅱ，，
则不等式在上恒成立，
等价为，
，
同时除以，得，
令，则，
，，
故的最小值为0，
则，即实数k的取值范围；
Ⅲ原方程等价为，
，
两边同乘以得，
此方程有三个不同的实数解，
令，则，
则，
得或，
当时，得，
当，要使方程有三个不同的实数解，
则必须有有两个解，
则，得
【点睛】本题主要考查函数与方程根的问题，利用换元法结合一元二次方程根的个数，以及不等式恒成立问题，属于难题.不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
19、（1）
（2）
【解析】（1）分在第1个过程中，1或2位质检员检验结果为合格两种情况讨论，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；
（2）首先求出在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格的概率，再求出产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率，最后根据互斥事件的概率公式计算可得；
【小问1详解】
解：记事件A为“产品需要进行第2个过程”
在第1个过程中，1位质检员检验结果为合格的概率，
在第1个过程中，2位质检员检验结果为合格的概率，
故
【小问2详解】
解：记事件B为“产品不可以出厂”
在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格概率，
产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率，
故
20、（1）或（2）
【解析】（1）因为,根据函数的图像过点,且函数只有一个零点,联立方程即可求得答案;
（2）因为,由（1）可知:,可得,根据函数在区间上单调递增,即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）
根据函数的图像过点,且函数只有一个零点
可得,整理可得,消去
得,
解得或
当时,,
当时,,
综上所述,函数的解析式为:或
（2） 当,由（1）可知:

要使函数在区间上单调递增
则须满足
解得,
实数的取值范围为.
【点睛】本题考查了求解二次函数解析式和已知复合函数单调区间求参数范围.掌握复合函数单调性同增异减是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.
21、（1）；
（2）图象见解析.
【解析】（1）利用整体法求解三角函数最大值时x的取值集合；（2）填写表格，并作图.
【小问1详解】

由，得
故当f(x)取得最大值时，x的取值集合为
【小问2详解】
函数f(x)在上的图象如下：
x
0

y

0

2