北京八中2025年数学高一第一学期期末考试试题含解析.doc

北京八中2025年数学高一第一学期期末考试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知是的三个内角，设，若恒成立，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2．如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线和所成角的大小为

A. B.
C. D.
3．已知定义在上的函数满足：①的图像关于直线对称；②对任意的，，当时，不等式成立．令，，，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
4．满足的角的集合为（）
A. B.
C. D.
5．函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f（x）等于（　　）
A.﹣x+1 B.﹣x﹣1
C.x+1 D.x﹣1
6．若方程有两个不相等的实数根，则实根的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7．已知角的终边过点，则（）
A. B.
C. D.1
8．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
9．学校操场上的铅球投郑落球区是一个半径为米的扇形，并且沿着扇形的弧是长度为约米的防护栏，则扇形弧所对的圆心角的大小约为（）
A. B.
C. D.
10．在平行四边形ABCD中，E为AB中点，BD交CE于F，则=（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为________.
12．据资料统计，通过环境整治.某湖泊污染区域的面积与时间t（年）之间存在近似的指数函数关系，若近两年污染区域的面积由降至．则使污染区域的面积继续降至还需要_______年
13．若函数是定义在上的严格增函数，且对一切x，满足，则不等式的解集为___________.
14．为了实现绿色发展，避免用电浪费，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”．计费方法如表所示，若某户居民某月交纳电费227元，则该月用电量为_______度．
每户每月用电量
电价
不超过210度的部分
0.5元/度
超过210度但不超过400度的部分
0.6元/度
超过400度的部分
0.8元/度

15．在平面直角坐标系中，点在单位圆O上，设，且.若，则的值为______________.
16．若，记，，，则P、Q、R的大小关系为______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）若实数，且，求的取值范围.
18．已知函数，.
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求：
（ⅰ）的单调递减区间；
（ⅱ）的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量的值.
19．已知函数，.
（1）求的最小正周期和最大值；
（2）设，求函数的单调区间.
20．如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，且，设.

（1）当时，求证：；
（2）求的最大值.
21．（1）计算：
（2）若，，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】先化简
，因为恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以，故选D.
考点：三角函数二倍角公式、降次公式；
2、D
【解析】连DE交AF于G，根据平面几何知识可得，于是
，进而得．又在正方体中可得底面，于是可得，根据线面垂直的判定定理得到平面，于是，所以两直线所成角为
【详解】如图，连DE，交AF于G

在和中，根据正方体的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴
又在正方体中可得底面，
∵底面，
∴，
又，
∴平面，
∵平面，
∴，
∴异面直线和所成角的大小为
故选D
【点睛】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，将空间角的问题转化为平面问题处理，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角时通常放在三角形中利用解三角形的方法进行求解，有时也可通过线面间的垂直关系进行求解
3、D
【解析】根据题意，分析可得的图象关于轴对称，结合函数的单调性定义分析可得函数在，上为增函数；结合函数的奇偶性可得在区间，上为减函数，由对数的运算性质可得，据此分析可得答案
【详解】解：根据题意，函数的图象关于直线对称，
则的图象关于轴对称，即函数为偶函数，
又由对任意的，，，当时，不等式成立，
则函数在，上为增函数，
又由为偶函数，则在区间，上为减函数，
，，
，因为，
则有，
故有.
故选：D
4、D
【解析】利用正弦函数的图像性质即可求解.
【详解】.
故选：D.
5、B
【解析当x＜0时， ,选B.
点睛：已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.
6、B
【解析】方程有两个不相等的实数根，转化为有两个不等根，根据图像得到只需要
故答案为B．
7、B
【解析】根据三角函数的定义求出，再根据二倍角余弦公式计算可得；
【详解】解：∵角的终边过点，所以，
∴，故
故选：B
8、A
【解析】由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得，
可得
考点：空间线面平行垂直的判定与性质
9、A
【解析】直接由弧长半径圆心角的公式求解即可.
【详解】根据条件得：扇形半径为10，弧长为6，
所以圆心角为：.
故选：A.
10、A
【解析】利用向量加法法则把转化为，再利用数量关系把化为，从而可表示结果.
【详解】解：
如图，∵平行四边形ABCD中，E为AB中点，
∴，
∴DF，
∴

，
故选A
【点睛】此题考查了向量加减法则，平面向量基本定理，难度不大

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到，代入不等式得到，根据函数的单调性解得答案.
【详解】幂函数在上单调递减，故，解得.
，故，，.
当时 ，不关于轴对称，舍去；

当时 ，关于轴对称，满足；
当时 ，不关于轴对称，舍去；
故，，函数在和上单调递减，
故或或，解得或.
故答案为：
12、2
【解析】根据已知条件，利用近两年污染区域的面积由降至，求出指数函数关系的底数，再代入求得污染区域将至还需要的年数.
【详解】设相隔为t年的两个年份湖泊污染区域的面积为和，则可设
由题设知，，，，即，解得，
假设需要x年能将至，即，，，解得
所以使污染区域的面积继续降至还需要2年.
故答案为：2
13、
【解析】根据题意，将问题转化为，，再根据单调性解不等式即可得答案.
【详解】解：因为函数对一切x，满足，
所以，，
令，则，即，
所以等价于，
因为函数是定义在上的严格增函数，
所以，解得
所以不等式的解集为
故答案为：
14、410
【解析】由题意列出电费（元）关于用电量（度）的函数，令，代入运算即可得解.
【详解】由题意，电费（元）关于用电量（度）的函数为：
，
即，
当时，，
若，，则，解得.
故答案为：410.
15、
【解析】由题意，，，只需求出即可.
【详解】由题意，，因为，所以，
，所以
.
故答案为：
【点睛】本题考查三角恒等变换中的给值求值问题，涉及到三角函数的定义及配角的方法，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
16、
【解析】利用平方差公式和同角三角函数的平方关系可得P、R的关系，然后作差，因式分解，结合已知可判断P、Q的大小关系.
【详解】
又

因为，所以
所以，即
所以P、Q、R的大小关系为.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)；(2).
【解析】（1）要使有意义，则即，要使有意义，则 即求交集即可求函数的定义域；
（2）实数，且，所以即可得出的取值范围.
试题解析：
（1）要使有意义，则即
要使有意义，则 即
所以的定义域.
（2）由（1）可得：
即 所以，故的取值范围是
18、（1）
（2）（ⅰ）（ⅱ）的最大值为此时；的最小值为，此时
【解析】（1）先用三角恒等变换化简得到，利用最小正周期公式求出答案；（2）在第一问的基础上，整体法求解函数单调区间，根据单调区间求解最值，及相应的自变量的值.
【小问1详解】
，，的最小正周期为
【小问2详解】
（ⅰ），，
，的单调递减区间是，
且由，得，
所以函数的单调递减区间为
（ⅱ）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增.
且，，，
所以，当时，取最大值为；当时，取最小值为
19、（1）最小正周期为，最大值.
（2）单调减区间为，单调增区间为
【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式以及正弦函数的有界性可求得结果；
（2）求得，利用余弦型函数的基本性质可求得函数的增区间和减区间.
小问1详解】
解：.
所以，的最小正周期.
当时，取得最大值
【小问2详解】
解：由（1）知，
又，
由，解得，
所以，函数的单调增区间为.
由，解得.
所以，函数的单调减区间为.
20、（1）见解析（2）
【解析】（1）以为坐标原点建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，即得，得证；（2）由三角函数的定义可设，，再利用三角函数的图像和性质求解.
【详解】
以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，，，.
当时，，则，，
∴.
∴.
（2）由三角函数的定义可设，
则，，，
从而，
所以，
因为，故当时，取得最大值2.
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，考查向量垂直的坐标表示，考查平面向量的数量积运算和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）利用分数指数幂运算法则分别对每一项进行化简，然后合并求解;
（2）先利用已知条件，把m、n表示出来，代入要求解的式子中，利用对数的运算法则化简即可.
【详解】（1）原式
（2）因为，，所以，，
所以