贵州省榕江县第三高级中学2025-2026学年数学高一上期末学业质量监测试题含解析.doc

贵州省榕江县第三高级中学2025-2026学年数学高一上期末学业质量监测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）

A. B.
C. D.
2．下列函数中，与的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是（ ）
A. B.
C. D.
3．下列函数中，既是奇函数又存在零点的函数是（　）
A. B.
C. D.
4．函数的值域为（ ）
A.（0，＋∞） B.（－∞，1）
C.（1，＋∞） D.（0，1）
5．函数与的图象在上的交点有（）
A.个 B.个
C.个 D.个
6．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（　　）
A.7 B.6

C.5 D.3
7．已知函数，则（ ）
A.0 B.1
C.2 D.10
8．设a>0，b>0，化简的结果是（ ）
A. B.
C. D.-3a
9．函数的零点所在的区间为（ ）
A.(，1) B.(1，2)
C. D.
10．是第四象限角，，则等于
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．无论实数k取何值，直线kx-y+2+2k＝0恒过定点__
12．已知幂函数的定义域为，且单调递减，则________.
13．在正三角形中，是上的点，，则________
14．已知，g(x)=x+t，设，若当x为正整数时，恒有h(5)≤h(x)，则实数t的取值范围是_____________.
15．已知函数，，那么函数图象与函数的图象的交点共有__________个
16．计算___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，分别为线段，的中点.

(1)求证：||平面；
(2)四棱柱的外接球的表面积为，求异面直线与所成的角的大小.
18．如图所示，在中，已知，,.
（1）求的模；
（2）若，，求的值.

19．已知函数.
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）用函数单调性的定义证明在区间上单调递增；
（3）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
20．甲、乙、丙三人打靶，他们的命中率分别为，若三人同时射击一个目标，甲、丙击中目标而乙没有击中目标的概率为，乙击中目标而丙没有击中目标的概率为.设事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”，事件C表示“丙击中目标”.已知A，B，C是相互独立事件.
（1）求；
（2）写出事件包含的所有互斥事件，并求事件发生的概率.
21．已知定义在上的奇函数，当时，.

（1）求函数在上的解析式；
（2）在给出的直角坐标系中作出的图像，并写出函数的单调区间.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据异面直线所成角的定义，找到与直线平行并且和相交的直线，即可找到异面直线所成的角，解三角形可求得结果.
【详解】连接如下图所示，

分别是棱和棱的中点，
，
正方体中可知，
是异面直线所成的角，
为等边三角形，
.
故选：C.
【点睛】此题是个基础题，考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想.
2、C
【解析】先求得函数的奇偶性和单调性，结合选项，利用函数的性质和单调性的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，函数满足，所以函数为偶函数，
当时，可得，
结合指数函数的性质，可得函数为单调递增函数，
对于A中，函数为奇函数，不符合题意；
对于B中，函数为非奇非偶函数函数，不符合题意；
对于C中，函数的定义域为，
且满足，所以函数为偶函数，
设，且时，
则
，
因为且，所以，
所以，即，
所以在为增函数，符合题意；
对于D中，函数为非奇非偶函数函数，不符合题意.
故选：C.
3、A
【解析】判断函数的奇偶性，可排除选项得出正确答案
【详解】因为是偶函数，故B错误；是非奇非偶函数，故C错误；是非奇非偶函数，故D错误；
故选：A.
4、D
【解析】将函数解析式变形为，再根据指数函数的值域可得结果.
【详解】，
因为，所以，所以，
所以函数的值域为.
故选：D
5、B
【解析】在上解出方程，得出方程解的个数即可.
详解】当时，解方程，得，整理得，
得或.
解方程，解得、、、或.
解方程，解得、、.
因此，方程在上的解有个.
故选B.
【点睛】本题考查正切函数与正弦函数图象的交点个数，可以利用图形法解决，也转化为方程根的个数来处理，考查计算能力，属于中等题.
6、A
【解析】设圆台上底面半径为，由圆台侧面积公式列出方程，求解即可得解.
【详解】设圆台上底面半径为，由题意下底面半径为，母线长，
所以，解得.
故选：A.
【点睛】本题考查了圆台侧面积公式的应用，属于基础题.
7、B
【解析】根据分段函数的解析式直接计算即可.
【详解】.
故选：B.
8、D
【解析】由分数指数幂的运算性质可得结果.
【详解】因为，，所以.
故选：D.
9、D
【解析】为定义域内的单调递增函数，计算选项中各个变量的函数值，判断在正负，即可求出零点所在区间.
【详解】解：在上为单调递增函数，
又，

所以的零点所在的区间为.
故选：D.
10、B
【解析】由的值及α为第四象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出的值
【详解】由题是第四象限角，
则
故选B
【点睛】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由kx-y+2+2k＝0，得(x+2)k+(2-y)＝0，由此能求出无论实数k取何值，直线kx-y+2+2k＝0恒过定点
【详解】∵kx-y+2+2k＝0，∴(x+2)k+(2-y)＝0，
解方程组，得
∴无论实数k取何值，直线kx-y+2+2k＝0恒过定点
故答案为：
12、
【解析】根据幂函数的单调性，得到的范围，再由其定义域，根据，即可确定的值.
【详解】因为幂函数的定义域为，且单调递减，
所以，则，
又，所以的所有可能取值为
当时，，其定义域为，不满足题意；
当时，，其定义域为，满足题意；
当时，，其定义域为，不满足题意；
所以.
故答案为：
13、
【解析】根据正三角形的性质以及向量的数量积的定义式，结合向量的特点，可以确定，故答案为
考点：平面向量基本定理，向量的数量积，正三角形的性质
14、 [-5，-3]
【解析】作出的图象，如图，

设与的交点横坐标为，
则在时，总有，
所以当时，有，，
由，得；
当当时，有，，
由，得，
综上，，
故答案为：.
15、8
【解析】在同一坐标系中，分别画出函数，及函数的图像，如图所示：

由图可知，两个函数的图象共有8个交点
故答案为8
点睛：解决函数与方程问题的基本思想就是数形结合思想和等价转化思想，运用函数图象来研究函数零点或方程解的个数，在画函数图象时，切忌随手一画，可利用零点存在定理，结合函数图象的性质，如单调性，奇偶性，将问题简化．
16、2
【解析】利用指数、对数运算法则即可计算作答.
【详解】.
故答案：2

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）
【解析】（1）连接BD1，由中位线定理证明EF∥D1B，由线面平行的判定定理证明EF∥平面ABC1D1；
（2）由（1）和异面直线所成角的定义，得异面直线EF与BC所成的角是∠D1BC，由题意和球的表面积公式求出外接球的半径，由勾股定理求出侧棱AA1的长，由直四棱柱的结构特征和线面垂直的定义，判断出BC⊥CD1，在RT△CC1D1中求出tan∠D1BC，求出∠D1BC可得答案．
试题解析：

（1）连接，在中，分别为线段的中点，∴为中位线，
∴ ，而面，面，∴平面.
（2）由（1）知，故即为异面直线与所成的角.
∵四棱柱的外接球的表面积为，
∴四棱柱的外接球的半径，
设，则，解得，
在直四棱柱中，∵平面，平面，
∴，在中，，
∴，
∴异面直线与所成的角为.
18、 (1) (2)
【解析】（1）根据向量数量积定义可得，再根据向量加法几何意义以及模性质可得结果（2）先根据向量加减法则将化为，再根据向量数量积定义求值
试题解析：（1）
=
=；
（2）因为，，
所以

.
19、（1）为奇函数，证明见解析
（2）证明见解析（3）
【解析】（1）求出函数的定义域，然后验证、之间的关系，即可证得函数为奇函数；
（2）任取、，且，作差，因式分解后判断差值的符号，即可证得结论成立；
（3）由参变量分离法可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
证明：函数为奇函数，理由如下：
函数的定义域为，，
所以为奇函数.
【小问2详解】
证明：任取、，且，则，，

，
所以，，所以在区间上单调递增.
【小问3详解】
解：不等式在上恒成立
等价于在上恒成立，
令，因为，所以，
则有在恒成立，
令，，则，
所以，所以实数的取值范围为.
20、（1）
（2）互斥事件有：，
【解析】（1）根据相互 独立事件的乘法公式列方程即可求得.
（2）直接写出事件包含的互斥事件，并利用对立事件的概率公式求事件发生的概率即可.
【小问1详解】
由题意知，
A，B，C为相互独立事件，
所以甲、丙击中目标而乙没有击中目标的概率

乙击中目标而丙没有击中目标的概率，
解得，.
【小问2详解】
事件包含的互斥事件有：
，
.
21、（1）
（2）图像答案见解析，单调递增区间为，单调递减区间为
【解析】（1）由函数的奇偶性的定义和已知解析式，计算时的解析式，可得所求的解析式；
（2）由分段函数的图像画法，可得所求图像，结合的图像，可得的单调区间
【小问1详解】
设，则，所以，
又为奇函数，所以，
又为定义在上的奇函数，所以，
所以
【小问2详解】
作出函数的图像，如图所示：

函数的单调递增区间为，单调递减区间为.