2025-2026学年河南省漯河市高级中学高一数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025-2026学年河南省漯河市高级中学高一数学第一学期期末质量跟踪监视试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．给出下列四个命题：
①底面是正多边形的棱柱是正棱柱；
②四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体；
③所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱；
④直角三角形绕其一条边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥
其中正确的命题个数是（）
A.0 B.1
C.2 D.3
2．函数的图象大致是　　
A. B.
C. D.
3．与终边相同的角的集合是
A. B.
C. D.
4．已知集合P=，，则PQ=（ ）
A. B.
C. D.
5．函数的定义域是（）
A.（-1，1） B.
C.（0，1） D.
6．已知集合，，则集合
A. B.
C. D.
7．我国著名数学家华罗庚曾说：数缺形时少直观，形少数时难人微，数形结合百般好，割裂分家万事休.在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的解析式琢磨函数图像的特征.如函数，的图像大致为（）
A. B.
C. D.
8．若函数的定义域和值域都为R，则关于实数a的下列说法中正确的是
A.或3 B.
C.或 D.
9．历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特优势.已知，，则的估算值为（）
A. B.
C. D.
10．函数的部分图象如图所示，则

A.
B.
C.
D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设函数f（x）=，则f（-1）+f（1）=__
12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为___________平方步.
13．在中，已知，则______.
14．已知，是方程的两根，则__________
15．如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为6的等边三角形．若AB=4，则四面体ABCD外接球的表面积为________

16．已知奇函数f（x），当，，那么___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，函数.
（1）填空：函数的增区间为___________
（2）若命题“”为真命题，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使函数在上的最大值为？如果存在，求出实数所有的值.如果不存在，说明理由.
18．已知函数．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）用函数单调性的定义证明函数在上是减函数
19．已知，计算：
（1）；
（2）.
20．设，关于的二次不等式的解集为，集合，满足，求实数的取值范围.
21．已知函数的图象关于原点对称，其中为常数
（1）求的值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】利用几何体的结构特征，几何体的定义，逐项判断选项的正误即可
【详解】解：①底面是正多边形，侧棱与底面垂直的棱柱是正棱柱；所以①不正确；
②四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体；满足多面体的定义，所以②正确；
③所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱；不满足直棱柱的定义，所以③不正确；
④直角三角形绕直角边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥．所以④不正确；
故选：B
2、A
【解析】利用函数的奇偶性排除选项B、C项，然后利用特殊值判断，即可得到答案
【详解】由题意，函数满足，
所以函数为偶函数，排除B、C，
又因为时，，此时，所以排除D，
故选A
【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中解答中熟练应用函数的奇偶性进行排除，以及利用特殊值进行合理判断是解答的关键，着重考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题.
3、D
【解析】根据终边相同的角定义的写法，直接写出与角α终边相同的角，得到结果
【详解】根据角的终边相同的定义的写法，若α＝，则与角α终边相同的角可以表示为k•360°（k∈Z），即（k∈Z）
故选D
【点睛】本题考查与角α的终边相同的角的集合的表示方法，属于基础题.
4、B
【解析】根据集合交集定义求解.
【详解】
故选：B
【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
5、B
【解析】根据函数的特征，建立不等式求解即可.
【详解】要使有意义，则，所以函数的定义域是.
故选：B
6、B
【解析】利用一元二次方程的解法化简集合化简集合，利用并集的定义求解即可.
【详解】由一元二次方程的解法化简集合，
或，
，
或，故选B.
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.
7、B
【解析】根据题意求出函数的定义域并判断出函数的奇偶性，再代入特殊值点即可判断答案.
【详解】由题意，函数定义域为，，于是排除AD，又，所以C错误，B正确.
故选：B.
8、B
【解析】若函数的定义域和值域都为R，则.
解得或3.
当时，，满足题意；
当时，，值域为{1}，不满足题意.
故选B.
9、C
【解析】令，化为指数式即可得出.
【详解】令，则
，
∴，即的估算值为.
故选：C.
10、A
【解析】由题图知，，最小正周期，所以，所以.因为图象过点，所以，所以，所以，令，得，所以，故选A.
【考点】三角函数的图象与性质
【名师点睛】根据图象求解析式问题的一般方法是：先根据函数图象的最高点、最低点确定A，h的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、3
【解析】直接利用函数的解析式，求函数值即可
【详解】函数f（x）=，
则==3
故答案为3
【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力
12、120
【解析】利用扇形的面积公式求解.
【详解】由题意得：扇形弧长为30，半径为8，
所以扇形的面积为：，
故答案为：120
13、11
【解析】由
.
14、##
【解析】将所求式利用两角和的正弦与两角差的余弦公式展开，然后根据商数关系弦化切，最后结合韦达定理即可求解.
【详解】解：因为，是方程的两根，
所以，
所以，
故答案为：.
15、
【解析】由题设知，四面体ABCD的外接球也是与其同底等高的三棱柱的外接球，球心为上下底面中心连线EF的中点 ,所以，
所以球的半径
所以，外接球的表面积 ，所以答案应填：

考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的表面积
16、
【解析】根据函数奇偶性把求的值，转化成求的值.
【详解】由f（x）为奇函数，可知，则
又当，，则
故
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（写出开区间亦可）；（2）；（3）.
【解析】（1）根据单调性的定义结合奇偶性可得解；
（2）令，问题转化为“”为真命题，根据基本不等式找函数的最小值即可；
（3）当时，，记，若函数在上的最大值为，分和，结合对数函数的单调性列式求解即可.
【详解】（1）函数的增区间为（写出开区间亦可）；
理由：，为偶函数，
任取，，
所以的增区间为.
（2），
令，当且仅当时取“”，
“”为真命题可转化为“”为真命题，
因为，当且仅当时取“”，
所以，
所以；
（3）由（1）可知，当时，，记，
若函数在上的最大值为，则
1）当，即时，在上最小值为1，
因为图象的对称轴为，所以，
解得，符合题意；
2）当，即时，在上最大值为1，且恒成立，
因为图象是开口向上的抛物线，在的最大值可能是或，
若，则，不符合题意，
若，则，
此时对称轴，由，不合题意0.
综上所述，只有符合条件.
【点睛】本题主要考查了对数型、指数型的复合函数的单调性及最值问题。解题的关键是换元，将复杂的函数化为简单的函数，解决对数型的复合函数时要注意真数大于0这个隐含条件，属于难题.
18、（1）偶函数，证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，
（2）利用函数单调性的定义证明，先取值，再作差变形，判断符号，然后得出结论
【详解】解：（1）根据题意，函数为偶函数，
证明：，其定义域为，
有，则是偶函数；
（2）证明：设，
则，
又由，则，
必有，
故在上是减函数
19、（1）（2）
【解析】（1）由同角三角函数关系得,再代入化简得结果（2）利用分母，将式子弦化切，再代入化简得结果
试题解析：解：（Ⅰ）∵tanα=3，
（Ⅱ）∵tanα=3，
∴sinα•cosα=
20、
【解析】由题意，求出方程的两根，讨论的正负，确定二次不等式的解集A的形式，然后结合数轴列出不等式求解即可得答案.
【详解】解：由题意，令，解得两根为，由此可知，
当时，解集，因为，所以的充要条件是，即，解得；
当时，解集，因为，所以的充要条件是，即，解得；
综上，实数的取值范围为.
21、（1）
（2）
【解析】（1）函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，有，代入即可得出的值；
（2）时，恒成立转化为即，令，求在的最大值即可.
【小问1详解】
函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数，有，
即，解得，当时，不满足题意，所以；
【小问2详解】
由，得，即，
令，易知在上单调递减，
则的最大值为.又因为当时，恒成立，
即在恒成立，所以.