湖北省宜昌市葛洲坝中学2025年数学高一上期末综合测试模拟试题含解析.doc

湖北省宜昌市葛洲坝中学2025年数学高一上期末综合测试模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的部分图像如图所示，则该函数的解析式为（ ）

A. B.
C. D.
2．设奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（）
A B.或
C. D.或
3．已知三棱锥的三条棱,,长分别是3、4、5，三条棱,,两两垂直，且该棱锥4个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是
A B.
C. D.都不对
4．设是定义在实数集上的函数，且，若当时，，则有（ ）
A. B.
C. D.
5．设集合，函数，若，且，则的取值范围是（）
A. B.（，）
C. D.（，1]
6．已知扇形周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角为（）
A. B.
C.3 D.2
7．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A. B.
C.或 D.或
8．若函数则下列说法错误的是（　　）
A.是奇函数
B若在定义域上单调递减，则或
C.当时，若，则
D.若函数有2个零点，则
9．素数也叫质数,部分素数可写成“”的形式（是素数）,法国数学家马丁•梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“”形式（是素数）的素数称为梅森素数.2018年底发现的第个梅森素数是,它是目前最大的梅森素数.已知第个梅森素数为,第个梅森素数为,则约等于（参考数据：）（）
A. B.
C. D.
10．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A.沿轴向左平移个单位 B.沿轴向右平移个单位
C.沿轴向左平移个单位 D.沿轴向右平移个单位
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．1881年英国数学家约翰·维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系．全集，集合，的关系如图所示，其中区域Ⅰ，Ⅱ构成M，区域Ⅱ，Ⅲ构成N．若区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则实数a的取值范围是______

12．在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，，，，若动点，则的最大值为______.
13．某网店根据以往某品牌衣服的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示，由此估计日销售量不低于50件的概率为________

14．已知函数的最大值为，且图像的两条相邻对称轴之间的距离为，求：
（1）函数的解析式；
（2）当，求函数的单调递减区间
15．已知圆心为（1,1），经过点（4,5），则圆的标准方程为_____________________.
16．幂函数为偶函数且在区间上单调递减，则________，________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设函数的定义域为集合的定义域为集合
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围
18．用水清洗一堆蔬菜上的农药，设用个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为，且已知用个单位量的水清洗一次，可洗掉本次清洗前残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上
（1）根据题意，直接写出函数应该满足的条件和具有的性质；
（2）设，现用（）个单位量的水可以清洗一次，也可以把水平均分成份后清洗两次，问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少，说明理由；
（3）若满足题意，直接写出一组参数的值
19．求解下列问题
（1）化简（其中各字母均为正数）：；
（2）化简并求值：
20．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）若实数，且，求的取值范围.
21．如图，已知是半径为圆心角为的扇形，是该扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，记为.

（1）若的周长为，求的值；
（2）求的最大值，并求此时的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由图象确定以及周期，进而得出，再由得出的值.
【详解】显然
因为，所以，所以
由得
所以，即，
因为，所以
所以.
故选：A
【点睛】本题主要考查了由函数图象确定正弦型函数的解析式，属于中档题.
2、D
【解析】由奇偶性可将所求不等式化为；利用奇偶性可判断出单调性和，分别在和的情况下，利用单调性解得结果.
【详解】为奇函数，；
又在上单调递增，，在上单调递增，；
，即；
当时，，；当时，，；
的解集为或.
故选：D.
【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：
（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；
（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.
3、B
【解析】长方体的一个顶点上的三条棱分别为，且它的八个顶点都在同一个球面上，则长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为
球的半径为
则这个球的表面积为
故选
点睛：本题考查的是球的体积和表面积以及球内接多面体的知识点．由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积即可
4、B
【解析】由f2－x)＝f(x)可知函数f(x)的图象关于x＝1对称，所以，
，又当x≥1时，f(x)＝lnx单调递增，所以，
故选B
5、B
【解析】按照分段函数先求出，由和解出的取值范围即可.
【详解】，则，
∵，解得，又
故选：B.
6、D
【解析】设出扇形半径并表示出弧长后，由扇形面积公式求出取到面积最大时半径的长度，代入圆心角弧度公式即可得解.
【详解】设扇形半径,易得,则由已知该扇形弧长为.
记扇形面积为,则,
当且仅当，即时取到最大值，此时记扇形圆心角为，则
故选：D
7、D
【解析】分截距为零和不为零两种情况讨论即可﹒
【详解】当直线过原点时，满足题意，方程为，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，设方程为，
∵直线过(1，2)，∴，∴，∴方程，
故选：D﹒
8、D
【解析】A利用奇偶性定义判断；B根据函数的单调性，列出分段函数在分段区间的界点上函数值的不等关系求参数范围即可；C利用函数单调性求解集；D将问题转化为与直线的交点个数求参数a的范围.
【详解】由题设，当时有，则；当时有，则，故是奇函数，A正确
因为在定义域上单调递减，所以，得a≤－4或a≥－1，B正确
当a≥－1时，在定义域上单调递减，由，得：x＞－1且x≠0，C正确
的零点个数即为与直线的交点个数，由题意得，解得－3＜a＜，D错误
故选：D
9、C
【解析】根据两数远远大于1, 的值约等于,设,运用指数运算法则,把指数式转化对数式,最后求出的值.
【详解】因为两数远远大于1,所以的值约等于,设,
因此有.
故选C
【点睛】本题考查了数学估算能力,考查了指数运算性质、指数式转化为对数式,属于基础题.
10、C
【解析】利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论
【详解】，
将函数的图象沿轴向左平移个单位，
即可得到函数的图象，
故选：C
【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由，又区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则或解不等式组即可
【详解】由，又区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，
则或解得
故答案为：
12、
【解析】设动点，由题意得动点轨迹方程为
则
由其几何意义得表示圆上的点到的距离，

故
点睛：本题主要考查了平面向量的线性运算及其运用，综合了圆上点与定点之间的距离最大值，先给出动点的轨迹方程，再表示出向量的坐标结果，依据其几何意义计算求得结果，本题方法不唯一，还可以直接计算含有三角函数的最值
13、55
【解析】用减去销量为的概率，求得日销售量不低于50件的概率.
【详解】用频率估计概率知日销售量不低于50件的概率为1－（0.015＋0.03）×10＝0.55.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算事件概率，属于基础题.
14、（1）；
（2）和
【解析】（1）根据降幂公式与辅助角公式化简函数解析式，然后由题意求解，从而求解出解析式；（2）根据（1）中的解析式，利用整体法代入化简计算函数的单调减区间，再由，给赋值，求出单调减区间.
【小问1详解】
化简函数解析式得，因为图像的两条相邻对称轴之间的距离为，即，且函数最大值为，所以且，得，所以函数解析式为.
【小问2详解】
由（1）得，，得，因为，所以函数的单调减区间为和
15、
【解析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程
【详解】设圆的标准方程为（x-1）2+（y-1）2=R2，
由圆经过点（4,5）得R2=25，从而所求方程为（x-1）2+（y-1）2=25，
故答案为（x-1）2+（y-1）2=25
【点睛】本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径
16、 (1).或3 (2).4
【解析】根据题意可得：
【详解】区间上单调递减，，
或3，
当或3时，都有，
，
.
故答案为：或3; 4.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）求出集合A，B，根据集合的补集、交集运算求解即可；
（2）由必要条件转化为集合间的包含关系，建立不等式求解即可.
【小问1详解】
由，解得或，
所以

当时，由，即，解得，
所以．所以
小问2详解】
由（1）知，
由，即，解得，
所以
因为“”是“”的必要条件，
所以．所以，解得
所以实数的取值范围是
18、（1）答案见解析
（2）答案不唯一，具体见解析
（3）的值依次为（答案不唯一）
【解析】（1）根据题意直接写出定义域，值域，，单调性；
（2） 分别计算2种方案完成后蔬菜农药残留，做差后分类讨论比较大小即可得出答案；
（3）根据（1）中函数的性质，直接写出一组即可.
小问1详解】
满足的条件和性质如下：；
定义域为；；；
在区间上单调递减
【小问2详解】
设清洗前残留的农药量为，
若清洗一次，设清洗后蔬菜上残留的农药量为，
则，则
若把水平均分成份后清洗两次，
设第一次清洗后蔬菜上残留的农药量为，
则
设第二次清洗后蔬菜上残留的农药量为，
，
比较与的大小：

①当，即时，，
即，由不等式的性质可得，
所以把水平均分成份后清洗两次蔬菜上残留的农药量比较少；
②当，即时，，
两种方案清洗后蔬菜上残留的农药量一样多；
③当，即时，
由不等式的性质可得，
所以清洗一次后蔬菜上残留的农药量比较少
【小问3详解】
参数的值依次为．（答案不唯一）
19、（1）
（2）
【解析】（1）结合指数运算求得正确答案.
（2）结合对数运算求得正确答案.
【小问1详解】
原式

【小问2详解】
原式

20、 (1)；(2).
【解析】（1）要使有意义，则即，要使有意义，则 即求交集即可求函数的定义域；
（2）实数，且，所以即可得出的取值范围.
试题解析：
（1）要使有意义，则即
要使有意义，则 即
所以的定义域.
（2）由（1）可得：
即 所以，故的取值范围是
21、（1）；（2），.
【解析】（1）根据周长即可求得，以及；将目标式进行转化即可求得；
（2）用表示出，将其转化为关于的三角函数，求该三角函数的最大值即可求得结果.
【详解】（1），，
则若的周长为，
则，
，
平方得，
即，
解得（舍）或.
则
.
（2）中，，
，
在中，
，
，
则

因为，
，
当，
即时，有最大值.
【点睛】本题考查已知正切值求齐次式的值，以及几何图形中构造三角函数，并求三角函数最值的问题，涉及倍角公式和辅助角公式的利用，属综合中档题.