2026届内蒙古呼和浩特市土默特左旗第一中学数学高一上期末经典试题含解析.doc

2026届内蒙古呼和浩特市土默特左旗第一中学数学高一上期末经典试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，，则的值为（）
A. B.
C. D.
2．设函数，则下列结论不正确的是（）
A.函数的值域是；
B.点是函数的图像的一个对称中心；
C.直线是函数的图像的一条对称轴；
D.将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数
3．对，不等式恒成立，则a的取值范围是（）
A. B.
C.或 D.或
4．下列命题中正确的是（）
A.第一象限角小于第二象限角 B.锐角一定是第一象限角
C.第二象限角是钝角 D.平角大于第二象限角
5．若函数则下列说法错误的是（　　）
A.是奇函数
B.若在定义域上单调递减，则或
C.当时，若，则
D.若函数有2个零点，则
6．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A. B.
C. D.
7．在中，若，则的形状为（）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
8．设θ为锐角，，则cosθ=（　　）
A. B.
C. D.
9．已知定义域为的单调递增函数满足：，有，则方程的解的个数为（）
A.3 B.2
C.1 D.0
10．已知函数和，则下列结论正确的是
A.两个函数的图象关于点成中心对称图形
B.两个函数的图象关于直线成轴对称图形
C.两个函数的最小正周期相同
D.两个函数在区间上都是单调增函数
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，则______________
12．若函数是定义在上的严格增函数，且对一切x，满足，则不等式的解集为___________.
13．若则函数的最小值为________
14．两平行线与的距离是__________
15．已知弧长为cm2的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为_____cm2
16．若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是_______.
三、解答题本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，.
（1）求函数图象的对称轴的方程；
（2）当时，求函数的值域；
（3）设，存在集合，当且仅当实数，且在时，不等式恒成立．若在（2）的条件下，恒有（其中），求实数的取值范围.
18．若函数是奇函数()，且，.
(1)求实数,,的值；
(2)判断函数在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明.
19．已知函数
（1）判断的奇偶性，并加以证明；
（2）求函数的值域
20．已知点及圆.
(1)若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；
(2)设过点的直线与圆交于两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；
(3)设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由
21．已知二次函数的图象经过，且不等式对一切实数都成立
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】分析可知，由可求得的值.
【详解】因为，则，
因为，所以，，
因此，.
故选：C.
2、B
【解析】根据余弦函数的性质一一判断即可；
【详解】解：因为，，
所以，即函数的值域是，故A正确；
因为，所以函数关于对称，故B错误；
因为，所以函数关于直线对称，故C正确；
将函数的图像向右平移个单位长度得到为偶函数，故D正确；
故选：B
3、A
【解析】对讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到的取值范围.
【详解】不等式对一切恒成立，
当，即时，恒成立，满足题意；
当时，要使不等式恒成立，
需，即有，
解得.
综上可得，的取值范围为.
故选：A.
4、B
【解析】根据象限角的定义及锐角、钝角及平角的大小逐一分析判断即可得解.
【详解】解：为第一象限角，为第二象限角，故A错误；
因为锐角，所以锐角一定是第一象限角，故B正确；
因为钝角平角，
为第二象限角，故CD错误.
故选：B.
5、D
【解析】A利用奇偶性定义判断；B根据函数的单调性，列出分段函数在分段区间的界点上函数值的不等关系求参数范围即可；C利用函数单调性求解集；D将问题转化为与直线的交点个数求参数a的范围.
【详解】由题设，当时有，则；当时有，则，故是奇函数，A正确
因为在定义域上单调递减，所以，得a≤－4或a≥－1，B正确
当a≥－1时，在定义域上单调递减，由，得：x＞－1且x≠0，C正确
的零点个数即为与直线的交点个数，由题意得，解得－3＜a＜，D错误
故选：D
6、C
【解析】根据已知定义，将问题转化为方程有解，然后逐项进行求解并判断即可.
【详解】根据定义可知：若有不动点，则有解.
A．令，所以，此时无解，故不是“不动点”函数；
B．令，此时无解，，所以不是“不动点”函数；
C．当时，令，所以或，所以“不动点”函数；
D．令即，此时无解，所以不是“不动点”函数.
故选：C.
7、D
【解析】利用诱导公式和两角和差的正弦公式、正弦的二倍角公式化简已知条件，再结合角的范围即可求解.
【详解】因为，
由可得：，
即，
所以，
所以，
所以或，
因为，，
所以或，
所以的形状为等腰三角形或直角三角形，
故选：D.
8、D
【解析】为锐角，

故选
9、A
【解析】根据给定条件求出函数的解析式，再将问题转化成求两个函数图象公共点个数作答.
【详解】因定义域为的单调递增函数满足：，有，
则存在唯一正实数使得，且，即，于是得，
而函数在上单调递增，且当时，，因此，，
方程，
于是得方程的解的个数是函数与的图象公共点个数，
在同一坐标系内作出函数与的图象如图，

观察图象知，函数与的图象有3个公共点，
所以方程解的个数为3.
故选：A
【点睛】思路点睛：图象法判断方程的根的个数，常常将方程变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
10、D
【解析】由题意得
选项A中，由于的图象关于点成中心对称，的图象不关于点成中心对称故A不正确
选项B中，由于函数的图象关于点成中心对称，的图象关于直线成轴对称图形，故B不正确
选项C中，由于的周期为2π，的周期为π，故C不正确
选项D中，两个函数在区间上都是单调递增函数，故D正确
选D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、100
【解析】分析得出得解.
【详解】
∴

故答案为：100
【点睛】由函数解析式得到是定值是解题关键.
12、
【解析】根据题意，将问题转化为，，再根据单调性解不等式即可得答案.
【详解】解：因为函数对一切x，满足，
所以，，
令，则，即，
所以等价于，
因为函数是定义在上的严格增函数，
所以，解得
所以不等式的解集为
故答案为：
13、1
【解析】结合图象可得答案.
【详解】
如图，函数在同一坐标系中，
且，所以在时有最小值，即.
故答案为：1.
14、
【解析】直接根据两平行线间的距离公式得到平行线与的距离为：

故答案为.
15、
【解析】先求出半径，再用扇形面积公式求解即可.
【详解】由已知半径为，
则这条弧所在的扇形面积为.
故答案为：.
16、
【解析】先求出抛物线的对称轴方程，然后由题意可得，解不等式可求出的取值范围
【详解】解：函数的对称轴方程为，
因为函数在区间上是单调递增函数，
所以，解得，
故答案为

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）利用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的对称性得解；
（2）令，换元，化函数为的二次函数，求出，由此可值域；
（3）由题意利用分离参数法、换元法、基本不等式先求出集合，根据（2）中范围得出的范围，再由可得的范围
【详解】解：（1）

令，得
所以函数图象的对称轴方程为：
（2）由（1）知，，
当时，，
∴，，即
令，
则，，
由
得，
∴当时，有最小值，
当时，有最大值1，
所以当时，函数的值域为
（3）当，不等式恒成立，
因为时，，，所以，
令，则，
所以
又，
当且仅当即时取等号
而，所以，即，所以
又由（2）知，，
当时，，
所以，要使恒成立，只须使，
故的取值范围是
【点睛】关键点点睛：本题考查两角和的正弦公式，三角函数的对称性，换元法求三角函数的值域，考查不等式恒成立问题，在同时出现和的函数中常常设换元转化为二次函数，再结合二次函数性质求解．不等式恒成立问题仍然采用分离参数转化为求函数的最值
18、 (1),,；(2)在上为增函数,证明见解析.
【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，进而可得，解可得、、的值，即可得答案；
（2）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可
【详解】解：(1)根据题意，函数是奇函数（），且，
则，又由，
则有，且，解得，，.
(2)由(1)可得：，函数在上为增函数
证明：设任意的，
，
又由，则且，，
则有，
故函数在上为增函数
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出、、的值，属于基础题
19、（1）是奇函数；证明见解析
（2）
【解析】（1）首先确定定义域，根据奇偶性定义可得结论；
（2）令，可求得的范围，进而可得的值域.
【小问1详解】
由得：，定义域为，关于原点对称；
，
，为奇函数；
小问2详解】
令，
且，，或，
或，的值域为.
20、（1）或；（2）；（3）不存在.
【解析】（1）设出直线方程，结合点到直线距离公式，计算参数，即可．（2）证明得到点P为MN的中点，建立圆方程，即可．（3）将直线方程代入圆方程，结合交点个数，计算a的范围，计算直线的斜率，计算a的值，即可
【详解】(1)直线斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为，即.又圆的圆心为，半径，由，解得.
所以直线方程为，即.
当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件
即直线的方程为或.
(2)由于，而弦心距，
所以.
所以恰为的中点
故以为直径的圆的方程为.
(3)把直线代入圆的方程，消去，整理得.
由于直线交圆于两点，
故，
即，解得.
则实数的取值范围是
设符合条件的实数存在，
由于垂直平分弦，故圆心必在上．所以的斜率，
而，
所以.由于，
故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.
【点睛】考查了点到直线距离公式，考查了圆方程计算方法，考查了直线斜率计算方法，难度偏难
21、（1）；（2）.
【解析】（1）观察不等式，令，得到成立，即，以及，
再根据不等式对一切实数都成立，列式求函数的解析式；（2）法一，不等式转化为对恒成立，利用函数与不等式的关系，得到的取值范围，法二，代入后利用平方关系得到，恒成立，再根据参变分离，转化为最值问题求参数的取值范围.
【详解】（1）由题意得：①，
因为不等式对一切实数都成立，
令，得：，所以，即②
由①②解得：，且，
所以，
由题意得：且对恒成立，
即对恒成立，
对③而言，由且，
得到，所以，经检验满足，
故函数的解析式为
（Ⅱ）法一：二次函数法，由题意，对恒成立，
可转化为，对恒成立，
整理为对恒成立，
令，
则有，即，
解得，
所以的取值范围为
法二，利用乘积的符号法则和恒成立命题求解，
由①得到，，对恒成立，
可转化为对恒成立，
得到对恒成立，平方差公式展开整理，
即
即或对恒成立，
即或
即，或，
即或，所以的取值范围为
【点睛】本题考查求二次函数的解析式，不等式恒成立求参数的取值范围，重点考查函数，不等式与方程的关系，转化与变形，计算能力，属于中档题型.