2025-2026学年四川省天府教育大联考数学高一上期末考试模拟试题含解析.doc

2025-2026学年四川省天府教育大联考数学高一上期末考试模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是（℃），空气的温度是（℃），经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却2.5236分钟后，物体的温度是50℃，若根据对数尺可以查询出，则空气温度是（　　）
A.5℃ B.10℃
C.15℃ D.20℃
2．已知是定义在区间上的奇函数，当时，.则关于的不等式的解集为
A. B.
C. D.
3．函数的零点的个数为
A. B.
C. D.
4．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）
A. B.
C. D.
5．已知过点和的直线与斜率为一2的直线平行，则m的值是
A.-8 B.0
C.2 D.10
6．经过点的直线到，两点的距离相等，则直线的方程为
A. B.
C.或 D.都不对
7．若方程x2+ax+a=0的一根小于﹣2，另一根大于﹣2，则实数a的取值范围是（　　）
A.（4，+∞） B.（0，4）
C.（﹣∞，0） D.（﹣∞，0）∪（4，+∞）
8．设集合，集合 ，则 等于（ ）
A (1,2) B.(1,2]
C.[1,2) D.[1,2]
9．如图，在菱形ABCD中，下列式子成立的是

A. B.
C. D.
10．已知是以为圆心的圆上的动点，且，则
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若存在常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立（或和恒成立），则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数，，若函数和之间存在隔离直线，则实数b的取值范围是______
12．在中，，，，若将绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是__________

13．定义A-B={x|x∈A且xB}，已知A={2，3}，B={1，3，4}，则A-B=______
14．已知集合，若，则________.
15．的值等于______
16．下列四个命题：
①函数与的图象相同；
②函数的最小正周期是；
③函数的图象关于直线对称；
④函数在区间上是减函数
其中正确的命题是__________（填写所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，是正方形，直线底面，，是的中点.

（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值.
18．已知函数（常数）.
（1）当时，用定义证明在区间上是严格增函数；
（2）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）令，设在区间上的最小值为，求的表达式.
19．等腰直角三角形中，，为的中点，正方形与三角形所在的平面互相垂直

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，求点到平面的距离
20．已知直线
（1）求与垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为 4 直线方程：
（2）已知圆心为，且与直线相切求圆的方程；
21．在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面；
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】依题意可得，即，即可得到方程，解得即可；
【详解】：依题意，即，又，所以，即，解得；
故选：B
2、A
【解析】分析：根据函数奇偶性的性质将不等式进行转化为一般的不等式求解即可
详解：∵，函数f(x)为奇函数，
∴，
又f(x)是定义在[−1,1]上的减函数，
∴ ，即，解得
∴不等式的解集为
故选A
点睛：解题的关键是根据函数的奇偶性将不等式化为或的形式，然后再根据单调性将函数不等式化为一般的不等式求解，解题时不要忘了函数定义域的限制
3、B
【解析】略
【详解】因为函数单调递增，且x=3,y>0,x=1,y<0，所以零点个数为1
4、B
【解析】根据分数指数幂的运算性质对各选项逐一计算即可求解.
【详解】解：对A：，故选项A错误；
对B：，故选项B正确；
对C：，不能化简为，故选项C错误；
对D：因为，所以，故选项D错误.
故选：B.
5、A
【解析】由题意可知kAB＝ ＝－2，所以m＝－8.
故选A
6、C
【解析】当直线的斜率不存在时，直线显然满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为
则直线为，即
由到直线的距离等于到直线的距离得：
，
化简得：或（无解），解得
直线的方程为
综上，直线的方程为或
故选
7、A
【解析】令，利用函数与方程的关系，结合二次函数的性质，列出不等式求解即可.
【详解】令，
∵方程的一根小于，另一根大于，
∴，即，解得，
即实数的取值范围是，故选A.
【点睛】本题考查一元二次函数的零点与方程根的关系，数形结合思想在一元二次函数中的应用，是基本知识的考查
8、B
【解析】由指数函数、对数函数的性质可得、，再由交集的运算即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数不等式的求解及对数函数性质的应用，考查了集合交集的运算，属于基础题.
9、D
【解析】解：利用菱形的性质可知，第一问中方向不同，错误；选项B中显然不共线，因此错误．,因此C不对；只有D正确
10、A
【解析】根据向量投影的几何意义得到结果即可.
【详解】由A，B是以O为圆心的圆上的动点，且，
根据向量的点积运算得到＝||•||•cos，
由向量的投影以及圆中垂径定理得到：||•cos即OB在AB方向上的投影，等于AB的一半，故得到＝||•||•cos.
故选A
【点睛】本题考查向量的数量积公式的应用，以及向量投影的应用．平面向量数量积公式的应用主要有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由已知可得、恒成立，利用一元二次不等式的解法和基本不等式即可求得实数的取值范围.
【详解】因为函数和之间存在隔离直线，
所以当时，可得对任意的恒成立，
则，即，所以；
当时，对恒成立，即恒成立，
又当时，，当且仅当即时等号成立，
所以，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
12、
【解析】依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，

所以OA=，OB=1
所以旋转体的体积:
故答案为．
13、{2}
【解析】∵A={2，3}，B={1，3，4}，
又∵A-B={x|x∈A且xB}，
∴A-B={2}
故答案为{2}.
14、0
【解析】若两个集合相等,则两个集合中的元素完全相同.
,
又,

故答案为0.
点睛：利用元素的性质求参数的方法
（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；
（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验.
15、2
【解析】利用诱导公式、降次公式进行化简求值.
【详解】.
故答案为：
16、①②④
【解析】首先需要对命题逐个分析，利用三角函数的相关性质求得结果.
【详解】对于①，，所以两个函数的图象相同，所以①对；
对于②，
，所以最小正周期是，所以②对；
对于③，因为，所以，，，
因为，所以函数的图象不关于直线对称，所以③错，
对于④，，
当时，，
所以函数在区间上是减函数，所以④对，
故答案为①②④
【点睛】该题考查的是有关三角函数的性质，涉及到的知识点有利用诱导公式化简函数解析式，余弦函数的周期，正弦型函数的单调性，属于简单题目.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）；
【解析】（1）连接，由三角形中位线可证得，根据线面平行判定定理可证得结论；
（2）根据线面角定义可知所求角为，且，由长度关系可求得结果.
【详解】（1）连接，交于，连接

四边形为正方形 为中点，又为中点
平面，平面 平面
（2）平面 直线与平面所成角即为

设，则
【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、直线与平面所成角的求解；证明线面平行关系常采用两种方法：（1）在平面中找到所证直线的平行线；（2）利用面面平行的性质证得线面平行.
18、（1）证明见解析
（2）当时，奇函数；当时，非奇非偶函数，理由见解析.
（3）
【解析】（1）当时，得到函数，利用函数单调性的定义，即可作出证明；
（2）分和两种情况，结合函数的奇偶性的定义，即可得出结论.
（3）根据正负性,结合具体类型的函数的单调性,进行分类讨论可以求出的表达式；
【小问1详解】
当时，函数，
设且，
则
，
因为，可得
又由，可得，所以
所以，即，
所以函数是上是严格增函数.
【小问2详解】
由函数的定义域为关于原点对称，
当时，函数，可得，此时函数为奇函数；
当时，，此时且，
所以时，函数为非奇非偶函数.
【小问3详解】
，
当时, ,函数在区间的最小值为；
当时,函数的对称轴为：.
若,在区间的最小值为；
若,在区间的最小值为
;
若,在区间的最小值为；
当时, ,在区间的最小值为.
综上所述：；
19、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）连, 交于,连,由中位线定理即可证明平面.
（Ⅱ）根据,由等体积法即可求得点到平面的距离.
【详解】（Ⅰ）连,设交于,连,如下图所示:

因为为的中点,为的中点,
则
面,不在面内，
所以平面
（Ⅱ）因为等腰直角三角形中,
则,又因为
所以平面
则
设点到平面的距离为.
注意到，
由,代入可得：
，
解得.
即点到平面的距离为.
【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定,等体积法求点到平面距离的方法,属于中等题.
20、（1）或；（2）
【解析】分析：（1）由题意，设所求的直线方程为，分离令和，求得在坐标轴上的截距，利用三角形的面积公式，求得的值，即可求解；
（2）设圆的半径为，因为圆与直线相切，列出方程，求得半径，即可得到圆的标准方程.
详解：（1）∵所求的直线与直线垂直，
∴设所求的直线方程为 ，
∵令，得；令，得.
∵所求的直线与两坐标轴围成的三角形面积为 4
∴，∴
∴所求的直线方程为或
（2）设圆的半径为，∵圆与直线相切
∴∴所求的圆的方程为
点睛：本题主要考查了直线方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
21、（1）见解析；（2）见解析
【解析】（Ⅰ）由已知得，，从而平面，由此能证明；（Ⅱ）连接与相交于，连接，由已知得，由此能证明平面
试题解析：（Ⅰ）由平面可得AC，
又， 故AC平面PAB，所以.
（Ⅱ）连BD交AC于点O，连EO，
则EO是△PDB的中位线，所以EOPB
又因为面，面，
所以PB平面