福建省长汀一中2025-2026学年数学高一上期末综合测试试题含解析.doc

福建省长汀一中2025-2026学年数学高一上期末综合测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列说法中正确的是（ ）
A.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行

B.平面内的三个顶点到平面的距离相等，则与平行
C.，，则
D.，，，则
2．
A. B.
C.2 D.4
3．若函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
4．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸单位：，可得这个几何体得体积是　　

A. B.
C.2 D.4
5．以下四组数中大小比较正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围（ ）
A. B.
C.（0，1） D.
7．若函数的值域为，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)

A.x1 B.x2
C.x3 D.x4
9．已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则a的值是（）
A. B.
C. D.
10．计算器是如何计算，，，，等函数值的？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如，，，其中.英国数学家泰勒(B.Taylor，1685-1731)发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的和的值也就越精确.运用上述思想，可得到的近似值为（ ）
A.0.50 B.0.52
C.0.54 D.0.56
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润（单位：万元）分别为，，其中x为销售量（单位：吨），若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为______万元.
12．若，则________.
13．函数的单调递减区间为_______________.
14．若函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是___
15．如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为________.

16．求值: ___
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知二次函数y＝ax2+bx﹣a+2
（1）若关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求实数a，b的值；
（2）若b＝2，a＞0，解关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0
18．已知函数，
（1）当时，求的最值；
（2）若在区间上是单调函数，求实数a取值范围
19．（1）求的值；
（2）求的值
20．已知函数.
（1）判断在上的单调性，并证明你的结论；
（2）是否存在，使得是奇函数？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.
21．为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：

（1）求出图中a的值；
（2）求该班学生这个周末的学习时间不少于20小时的人数；
（3）如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据线面关系，逐一判断每个选项即可.
【详解】解：对于A选项，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内无数条直线平行，而不是任意的直线平行，故错误；
对于B选项，如图，，，，分别为正方体中所在棱的中点，平面设为平面，易知正方体的三个顶点，，到平面的距离相等，但所在平面与相交，故错误；
对于选项C，可能在平面内，故错误；
对于选项D，正确.

故选：D.
2、D
【解析】因，选D
3、C
【解析】根据偶次根号下非负，分母不等于零求解即可.
【详解】解：要使函数有意义，则需满足不等式， 解得：且，
故选：C
4、B
【解析】先根据三视图得到几何体的形状，然后再根据条件中的数据求得几何体的体积
【详解】由三视图可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，如下图中的四棱锥

由题意得其底面面积，高，
故几何体的体积
故选B
【点睛】由三视图还原几何体的方法
（1）还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体
（2）注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线
（3）想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体
5、C
【解析】结合指数函数、对数函数、幂函数性质即可求解
详解】对A，，故，错误；
对B，在第一象限为增函数，故，错误；
对C，为增函数，故，正确；
对D，，，故，错误；
故选：C
【点睛】本题考查根据指数函数，对数函数，幂函数性质比较大小，属于基础题
6、C
【解析】函数有3个零点，所以有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点，作出图象，即可求出实数的取值范围
【详解】因为函数有3个零点，所以有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点
作出函数图象，由图可知，实数的取值范围是
故选：C．

7、C
【解析】因为函数的值域为，所以可以取到所有非负数，即的最小值非正.
【详解】因为，
且的值域为，
所以，解得.
故选：C.
8、C
【解析】观察图象可知：点x3的附近两旁的函数值都为负值，∴点x3不能用二分法求，故选C.
9、D
【解析】根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.
【详解】由题意可得，再将的图象向右平移个单位长度，得到函数，
又因为，所以，，整理可得，
因为且，解得.
故选：D.
10、C
【解析】根据新定义，直接计算取近似值即可.
【详解】由题意，

故选：C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、34
【解析】设公司在甲地销售农产品吨，则在乙地销售农产品吨，根据利润函数表示出利润之和，利用配方法求出函数的最值即可
【详解】设公司在甲地销售农产品（）吨，则在乙地销售农产品吨，，
利润为，
又且
故当时，能获得的最大利润为34万元
故答案为：34.
12、
【解析】利用三角函数的诱导公式，化简得到原式，代入即可求解.
【详解】因为，
由

故答案为：
13、
【解析】由题得，利用正切函数的单调区间列出不等式，解之即得.
【详解】由题意可知，则要求函数的单调递减区间只需求的单调递增区间，
由得，
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：.
14、
【解析】按照指数函数的单调性及端点处函数值的大小关系得到不等式组，解不等式组即可.
【详解】由题知
故答案为：.
15、30°
【解析】∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC(或其补角).
∵OC⊂平面BB′C′C，AB⊥平面BB′C′C，
∴OC⊥AB.又OC⊥OB，AB∩BO＝B，
∴OC⊥平面ABO.又AO⊂平面ABO，
∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，，∴∠OAC＝30°.
即AO与A′C′所成角度数为30°.
点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角
16、
【解析】根据诱导公式以及正弦的两角和公式即可得解
【详解】解：因为，

故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）a＝﹣1，b＝2
（2）见解析
【解析】（1）根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可；
（2）根据一元二次不等式的解法进行求解即可.
【小问1详解】
由题意知，﹣1和3是方程ax2+bx﹣a+2＝0两根，
所以，解得a＝﹣1，b＝2；
【小问2详解】
当b＝2时，不等式ax2+bx﹣a+2＞0为ax2+2x﹣a+2＞0，
即（ax﹣a+2）（x+1）＞0，所以，
当即时，解集为；
当即时，解集为或；
当即时，解集为或.
18、（1），.
（2）
【解析】（1）利用二次函数的性质求的最值即可.
（2）由区间单调性，结合二次函数的性质：只需保证已知区间在对称轴的一侧，即可求a的取值范围
【小问1详解】
当时，，
∴在上单凋递减，在上单调递增，
∴，.
【小问2详解】
，
∴要使在上为单调函数，只需或，解得或
∴实数a的取值范围为
19、（1）；（2）
【解析】（1）根据指数幂的运算性质，化简计算，即可得答案.
（2）根据对数的运算性质，化简计算，即可得答案.
【详解】（1）原式；
（2）原式
20、（1）减函数，证明见解析；（2），理由见解析
【解析】（1）由单调性定义判断；
（2）根据奇函数的性质由求得，然后再由奇函数定义验证
【详解】（1）是上的减函数
设，则，所以，
，即，，所以，
所以是上的减函数
（2）若是奇函数，则，，
时，，
所以，所以为奇函数
所以时，函数为奇函数
21、（1）
（2）9（3）不合理，理由见解析
【解析】（1）根据频率分布直方图中，小矩形面积和为求解即可；
（2）首先求学习时间不少于20小时的频率，再根据样本容量乘以频率=人数，计算结果；
（3）结合样本来自同一个班级，故不具有代表性.
【小问1详解】
解：因为频率分布直方图中，小矩形面积和为，
所以，解得.
【小问2详解】
解：由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为
则40名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为
【小问3详解】
解：不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性