2025年黑龙江省哈尔滨市香坊区第六中学校数学高一第一学期期末经典模拟试题含解析.doc

2025年黑龙江省哈尔滨市香坊区第六中学校数学高一第一学期期末经典模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若||=1，||=2，||=，则与的夹角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
2．下列说法错误的是（）
A.球体是旋转体 B.圆柱的母线垂直于其底面
C.斜棱柱的侧面中没有矩形 D.用正棱锥截得的棱台叫做正棱台
3．若，，三点共线，则（ ）
A. B.
C. D.
4．已知，则等于（）
A. B.2
C. D.3
5．已知直线，且，则的值为（ ）
A.或 B.
C. D.或
6．已知函数，则
A.是奇函数，且在R上是增函数 B.是偶函数，且在R上是增函数
C.是奇函数，且在R上是减函数 D.是偶函数，且在R上是减函数
7．函数的图象大致是()
A. B.
C. D.
8． “”是的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9．已知，且，则
A. B.
C. D.
10．表面积为24的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．计算：_______
12．设，，则的取值范围是______.
13．设函数在区间上的最大值和最小值分别为M、m，则___________.
14．已知且，则=______________
15．对于定义在上的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调递增的；②当时，函数的值域也是，则称是函数的一个“递增黄金区间”.下列函数中存在“递增黄金区间”的是：___________.（填写正确函数的序号）
①；②；③；④.
16．若命题“是假命题”，则实数的取值范围是___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，
（1）求和的值

（2）求以及的值
18．如图，在直三棱柱中，点为的中点，，，.

（1）证明：平面.
（2）求三棱锥的体积.
19．已知圆O：，点，点，直线l过点P
（1）若直线l与圆O相切，求l的方程；
（2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，且M的纵坐标为－，求△NAB的面积
20．已知函数，
（Ⅰ）求的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值
21．已知二次函数的图象关于直线对称，且关于x的方程有两个相等的实数根
（1）求函数的值域；
（2）若函数（且）在上有最小值﹣2，最大值7，求a的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】由题意把||两边平方，结合数量积的定义可得
【详解】||＝1，||＝2，与的夹角θ，
∴||27，
∴12+2×1×2×cosθ+22＝7，
解得cosθ
故选：B
2、C
【解析】利用空间几何体的结构特征可得.
【详解】由旋转体的概念可知，球体是旋转体，故A正确；
圆柱的母线平行于圆柱的轴，垂直于其底面，故B正确；
斜棱柱的侧面中可能有矩形，故C错误；
用正棱锥截得的棱台叫做正棱台，故D正确.
故选：C.
3、A
【解析】先求出，从而可得关于的方程，故可求的值.
详解】因为，，故，
因为三点共线，故，故，
故选：A.
4、B
【解析】应用诱导公式及正余弦的齐次式，将题设等式转化为，即可求值.
【详解】，
∴，可得.
故选：B.
5、D
【解析】当时，直线，，此时满足，因此适合题意；
当时，直线，化为，可得斜率，
化为，可得斜率
∵，
∴，计算得出，
综上可得：或
本题选择D选项.
6、A
【解析】分析：讨论函数的性质，可得答案.
详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数，
又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数
故选A.
点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.
7、B
【解析】根据题意，先分析函数的奇偶性，排除AC，再判断函数在上的符号，排除D，即可得答案
【详解】∵f(x)定义域[－1，1]关于原点对称，且，
∴f(x)为偶函数，图像关于y轴对称，故AC不符题意；
在区间上，，，则有，故D不符题意，B正确.
故选：B
8、A
【解析】先看时，是否成立，即判断充分性；再看成立时，能否推出，即判断必要性，由此可得答案.
【详解】当时，，
即“”是的充分条件；
当时，，
则 或，
则 或,即成立，推不出一定成立，
故“”不是的必要条件，
故选：A.
9、A
【解析】由条件利用两角和的正切公式求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系与二倍角公式，求得的值
【详解】解：∵tan（α），则tanα，
∵tanα，sin2α+cos2α＝1，α∈（，0），
可得 sinα
∴
2sinα＝2（）
故选A
点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，考查计算能力，属于基础题
10、A
【解析】根据正方体的表面积，可求得正方体的棱长，进而求得体对角线的长度；由体对角线为外接球的直径，即可求得外接球的表面积
【详解】设正方体的棱长为a
因为表面积为24，即
得a = 2
正方体的体对角线长度为
所以正方体的外接球半径为
所以球的表面积为
所以选A
【点睛】本题考查了立体几何中空间结构体的外接球表面积求法，属于基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】求出的值，求解计算即可.
【详解】
故答案为：
12、
【解析】由已知求得，然后应用诱导公式把求值式化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质求得范围
【详解】，，所以，
所以
，
，，，
故答案为：
13、2
【解析】，令，易得函数为奇函数，则，从而可得出答案.
【详解】解：

，
令，
因为，
所以函数为奇函数，
所以，即，
所以，
即.
故答案为：2.
14、3
【解析】先换元求得函数，然后然后代入即可求解.
【详解】且，令，则，即，解得，
故答案为：3.
15、②③
【解析】由条件可得方程有两个实数解，然后逐一判断即可.
【详解】∵在上单调递增，由条件②可知，即方程有两个实数解；
∵x+1=x无实数解，∴①不存在“递增黄金区间”；
∵的两根为：1和2，不难验证区间[1，2]是函数的一个“递增黄金区间”；
在同一坐标系中画出与的图象如下：

由图可得方程有两个根，∴③也存在“递增黄金区间”；
在同一坐标系中画出与的图象如下：

所以没有实根，∴④不存在.
故答案为：②③.
16、####
【解析】等价于，解即得解.
【详解】解：因为命题“是假命题”，
所以，
所以.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），
（2），
【解析】（1）根据三角函数的基本关系式，准确运算，即可求解；
（2）利用两角差的正弦公式和两角和的正切公式，准确运算，即可求解.
【小问1详解】
因为，根据三角函数的基本关系式，可得，
又因为，所以，且.
【小问2详解】
由，和
根据两角差的正弦公式，可得，
再结合两角和的正切公式，可得
18、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）在平面内作出辅助线，然后根据线面平行判定定理证明即可；
（2）作出三棱锥的高，将看作三棱锥的底面，利用三棱锥体积公式计算即可.
【小问1详解】
证明：连接，交于，连接，因为是直三棱柱，所以为中点，而点为的中点，

所以，
因为平面，平面，
所以平面
【小问2详解】
解：过作于，
因为是直三棱柱，点为的中点，
所以，且底面，
所以,
因为，所以，
则 ,
所以

19、（1）或
（2）
【解析】（1）根据题意，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论求解，当直线斜率存在时，根据点到直线的距离公式求参数即可；
（2）设直线l方程为，，进而与圆的方程联立得中点的坐标，，解方程得直线方程，再求三角形面积即可.
【小问1详解】
解：若直线l的斜率不存在，则l的方程为，
此时直线l与圆O相切，符合题意；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
因为直线l与圆O相切，所以圆心（0，0）到l的距离为2，
即，解得，
所以直线l的方程为，即
故直线l的方程为或
【小问2详解】
解：设直线l的方程为，
因为直线l与圆O相交，所以结合（1）得
联立方程组消去y得，
设，则，
设中点，，①
代入直线l的方程得，②
解得或（舍去）
所以直线l的方程为
因为圆心到直线l的距离，
所以
因为N到直线l的距离
所以
20、 (Ⅰ)最小正周期是，单调递增区间是.
(Ⅱ)最大值为，最小值为
【解析】详解】试题分析：
(Ⅰ)将函数解析式化为，可得最小正周期为；将代入正弦函数的增区间可得函数的单调递增区间是．(Ⅱ) 由可得，故，从而可得函数在区间上的最大值为，最小值为
试题解析：
（Ⅰ）

，
所以函数的最小正周期是，
由，
得，
所以的单调递增区间是.
（Ⅱ）当时，
，
所以，
所以，
所以在区间上的最大值为，最小值为
点睛：解决三角函数综合题
（1）将f(x)化为的形式；
（2）构造；
（3）逆用和（差）角公式得到（其中φ为辅助角）；
（4）利用，将看做一个整体，并结合函数的有
关知识研究三角函数的性质
21、（1）
（2）或
【解析】（1）根据对称轴以及判别式等于得出，再由基本不等式得出函数的值域；
（2）利用换元法结合对数函数以及二次函数的单调性得出a的值
【小问1详解】
依题意得，
因为，所以，
解得，，故，，
当时，，当且仅当，即时，等号成立
当时，，当且仅当，即时，等号成立
故的值域为
【小问2详解】
，
令，则
①当时，，因，所以，解得
因为，所以，解得或（舍去）
②当时，，因为，所以，解得
，解得或（舍去）
综上，a的值为或