陕西省榆林一中2025年高一数学第一学期期末统考试题含解析.doc

陕西省榆林一中2025年高一数学第一学期期末统考试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知是定义在R上的单调函数，满足，且，若，则a与b的关系是　　
A. B.
C. D.
2．函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
3．已知函数，若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围为（）
A B.
C. D.
4．已知，，则在方向上的投影为（）
A. B.
C. D.
5． “幸福感指数”是指某个人主观地评价自己对目前生活状态的满意程度的指标.常用区间内的一个数来表示，该数越接近表示满意度越高.甲、乙两位同学分别随机抽取位本地市民，调查他们的幸福感指数，甲得到位市民的幸福感指数分别为，，，，，，，，，，乙得到位市民的幸福感指数的平均数为，方差为，则这位市民幸福感指数的方差为（）
A. B.
C. D.
6．已知，，且满足，则的最小值为（）
A.2 B.3
C. D.
7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC与A1D1所成的角是

A.30° B.45°
C.60° D.90°
8．已知集合A={1，2，3}，B={x∈N|x≤2}，则A∪B=（ ）
A.{2，3} B.{0，1，2，3}
C.{1，2} D.{1，2，3}
9．幂函数的图象过点，则（）
A. B.
C. D.
10．一个袋中有个红球和个白球，现从袋中任取出球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是______
12．已知角的终边上有一点，则____
13．已知一组样本数据x1，x2，…，x10，且++…+=2020， 平均数 ，则该组数据的标准差为_________.
14．已知，若，使得，若的最大值为，最小值为，则__________
15．已知函数,现有如下几个命题：
①该函数为偶函数； 
②是该函数的一个单调递增区间；
③该函数的最小正周期为；
④该函数的图像关于点对称；
⑤该函数值域为.
其中正确命题的编号为 ______
16．已知函数y=sin（x+）（>0, -<）的图象如图所示，则=________________ .

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在正方体中挖去一个圆锥，得到一个几何体，已知圆锥顶点为正方形的中心，底面圆是正方形的内切圆，若正方体的棱长为.
(1)求挖去的圆锥的侧面积；
(2)求几何体的体积.
18．已知角α的终边经过点P.
（1）求sinα的值；
（2）求的值.
19．已知角，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
20．求值：（1）
（2）2log310＋log30.81
21．已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）设，已知，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1A
【解析】由题意，设，则，又由，求得，得t值，确定函数的解析式，据此分析可得，即，又由，利用换底公式，求得，结合对数的运算性质分析可得答案
【详解】根据题意，是定义在R上的单调函数，满足，
则为常数，设，则，
又由，即，则有，解可得，则，
若，即，则，
若，必有，
则有，又由，则，
解可得，即，所以，
故选A
【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及对数的运算性质的应用，其中解答中根据题意，设，求得实数的值，确定出函数的解析式，再利用对数的运算性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及换元思想的应用，属于中档试题
2、D
【解析】由函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可求得原函数的定义域.
【详解】函数有意义，只需且，解得且
因此，函数的定义域为.
故选：D.
3、C
【解析】先分析出的奇偶性，再得出的单调性，由单调性结合奇偶性解不等式得到，再利用均值不等式可得答案.
【详解】的定义域满足，由，
所以在上恒成立.所以的定义域为

则

所以，即为奇函数.
设，由上可知为奇函数.
当时，，均为增函数，则在上为增函数.
所以在上为增函数.
又为奇函数，则在上为增函数，且
所以在上为增函数.
所以在上为增函数.
由，即
所以对任意实数x恒成立
即，由
当且仅当，即时得到等号.
所以
故选：C
4、A
【解析】利用向量数量积的几何意义以及向量数量积的坐标表示即可求解.
【详解】，，
在方向上的投影为：
.
故选：A
【点睛】本题考查了向量数量积的几何意义以及向量数量积的坐标表示，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
5、C
【解析】设乙得到位市民的幸福感指数为，甲得到位市民的幸福感指数为，求出，，由甲的方差可得的值，再求出的值，由方差公式即可求解.
【详解】设乙得到位市民的幸福感指数为，则，
甲得到位市民的幸福感指数为，可得，，
所以这位市民的幸福感指数之和为，平均数为，
由方差的定义，乙所得数据的方差：，
由于，解得：.
因为甲得到位市民的幸福感指数为，，，，，，，，，，
所以，
所以这位市民的幸福感指数的方差为：

，
故选：C.
6、C
【解析】由题意得，根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当时，即，时取等号
所以的最小值为.
故选：C
7、B
【解析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中, AC∥A1C1,所以为异面直线AC与A1D1所成的角,由此能求出结果.
【详解】因为AC∥A1C1,所以为异面直线AC与A1D1所成的角,
因为是等腰直角三角形,所以.
故选:B
【点睛】本题考查异面直线所成的角的求法,属于基础题.
8、B
【解析】先求出集合B，再求A∪B.
【详解】因为，所以.
故选：B
9、C
【解析】将点代入中，求解的值可得，再求即可.
【详解】因为幂函数的图象过点，所以有：，即.
所以，故，
故选：C.
10、D
【解析】从袋中任取出球，然后放回袋中再取出一球，共有种方法，
其中取出的两个球同色的取法有种，因此概率为 选D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】观察函数的解析式，推断函数的性质，借助函数性质解不等式
【详解】令 ，则，得，即函数的图像关于中心对称，且单调递增，不等式可化为，即，得，解集为
【点睛】利用函数解决不等式问题，关键是根据不等式构造适当的函数，通过研究函数的单调性等性质解决问题
12、
【解析】直接根据任意角的三角函数的定义计算可得；
【详解】解：因为角的终边上有一点，则
所以，
所以
故答案为：
【点睛】考查任意角三角函数的定义的应用，考查计算能力，属于基础题
13、9
【解析】根据题意，利用方差公式计算可得数据的方差，进而利用标准差公式可得答案
【详解】根据题意，一组样本数据，且，
平均数，
则其方差
，
则其标准差，
故答案为：9.
14、
【解析】作出函数的图像，计算函数的对称轴，设，数形结合判断得时，取最小值，时，取最大值，再代入解析式从而求解出另外两个值，从而得和，即可求解.
【详解】作出函数的图像如图所示，令，则函数的对称轴为，由图可知函数关于，，对称，设，则当时，取最小值，此时，可得，故；当时，取最大值，此时，可得，故，所以.
故答案为：

【点睛】解答该题的关键是利用数形结合，利用三角函数的对称性与周期性判断何时取得最大值与最小值，再代入计算.
15、②③
【解析】由于为非奇非偶函数, ①错误.,此时,其在上为增函数, ②正确.由于,所以函数最小正周期为,③正确.由于,故④正确.当时,,故⑤错误.综上所述,正确的编号为②③.
16、
【解析】由图可知，

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1).(2).
【解析】（1）求出圆锥的底面半径和母线，利用公式侧面积为即可；
（2）正方体体积减去圆锥的体积即可.
试题解析：
（1）圆锥的底面半径，高为，母线，
∴挖去的圆锥的侧面积为.
（2）∵的体积为正方体体积减去圆锥的体积，
∴的体积为.
18、（1）；（2）
【解析】（1）由正弦函数定义计算；
（2）由诱导公式，商数关系变形化简，由余弦函数定义计算代入可得.
【详解】（1）因为点P，
所以|OP|=1，sinα=.
（2）
由三角函数定义知cosα=，故所求式子的值为
19、（1）
（2）
【解析】（1）依题意可得，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得到的方程，解得，再根据的范围求出；
（2）根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
【小问1详解】
解：由，有，
有，整理为，
有，解得或.
又由，有，可得；
【小问2详解】
解：

.
20、（1）（2）4
【解析】（1）利用分数指数幂的性质运算即可;(2)利用对数的运算性质计算可得结果.
试题解析：
(1)，
(2)2log310＋log30.81=
21、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据降幂公式、二倍角的正弦公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性进行求解即可；
（2）利用代入法，根据同角的三角函数关系式，结合两角差的正弦公式进行求解即可.
【小问1详解】

，
当时，函数单调递增，
即，
所以函数的单调递增区间为；
【小问2详解】
由，
因为，所以，而，
所以，于是有，