哈尔滨市第六中学2026届数学高一第一学期期末达标测试试题含解析.doc

哈尔滨市第六中学2026届数学高一第一学期期末达标测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，，则直角梯形边的长度是

A. B.
C. D.
2．已知集合，，有以下结论：①；②；③．其中错误的是（）
A.①③ B.②③
C.①② D.①②③
3．若函数是偶函数，函数是奇函数，则（）
A.函数是奇函数 B.函数是偶函数
C.函数是偶函数 D.函数是奇函数
4．已知定义在R上的奇函数满足：当时，.则（ ）
A.2 B.1
C.-1 D.-2
5．已知直线，直线，则与之间的距离为（）
A. B.
C. D.
6．如图，在中，为线段上的一点，且，则

A. B.
C. D.
7．已知，则（ ）
A.a间是（ ）
A. B.
C. D.
9．设函数,则使成立的的取值范围是
A. B.
C. D.
10．已知为角终边上一点，则（）
A. B.1
C.2 D.3
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在下列四个函数中：①，②，③，④．同时具备以下两个性质：(1)对于定义域上任意x，恒有；(2)对于定义域上的任意、，当时，恒有的函数是______(只填序号)
12．若实数x，y满足，则的最小值为___________
13．已知平面向量，的夹角为，，则 =______
14．在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”．一个回归年定义为从某年春分到次年春分所经历的时间，也指太阳直射点回归运动的一个周期．某科技小组以某年春分为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）．设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该小组通过对数据的整理和分析，得到y与x近似满足，则一个回归年对应的天数约为______（精确到0.01）；已知某年的春分日是星期六，则4个回归年后的春分日应该是星期______．（）
15．若命题“是假命题”，则实数的取值范围是___________.
16．的值为_______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，正方形的边长为，，分别为边和上的点，且的周长为2.

（1）求证：；
（2）求面积的最小值.
18．如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数（，）.

（1）求这一天6~14时的最大温差；
（2）写出这段曲线的解析式；
（3）预测当天12时的温度（，结果保留整数）.
19．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
（1）已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的值.
20．（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
21．已知函数，且点在函数图象上.

（1）求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象；
（2）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半，
原高为
而横向长度不变，且梯形是直角梯形，

故选
2、C
【解析】解出不等式，得到集合，然后逐一判断即可.
【详解】由可得
所以，故①错；，②错；，③对，
故选：C
3、C
【解析】根据奇偶性的定义判断即可；
【详解】解：因为函数是偶函数，函数是奇函数，所以、，
对于A：令，则，故是非奇非偶函数，故A错误；
对于B：令，则，故为奇函数，故B错误；
对于C：令，则，故为偶函数，故C正确；
对于D：令，则，故为偶函数，故D错误；
故选：C
4、D
【解析】由奇函数定义得，从而求得，然后由计算
【详解】由于函数是定义在R上的奇函数，
所以，而当时，，
所以，
所以当时，，
故.
由于为奇函数，
故.
故选：D.
【点睛】本题考查奇函数的定义，掌握奇函数的概念是解题关键
5、D
【解析】利用两平行线间的距离公式即可求解.
【详解】直线的方程可化为，
则与之间的距离
故选：D
6、D
【解析】根据得到，根据题中条件，即可得出结果.
【详解】由已知得，
所以，
又，
所以，
故选D.
【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.
7、A
【解析】
找中间量0或1进行比较大小，可得结果
【详解】，所以，
故选：A.
【点睛】此题考查利用对数函数、指数函数的单调性比较大小，属于基础题
8、B
【解析】根据零点存在性定理，计算出区间端点的函数值即可判断；
【详解解：因为，在上是连续函数，且，即在上单调递增，
，，，
所以在上存在一个零点.
故选：.
【点睛】本题考查函数的零点的范围，注意运用零点存在定理，考查运算能力，属于基础题
9、A
【解析】，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，∴，∴，∴的范围为故答案为A.
考点：抽象函数的不等式.
【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把可转化为，解绝对值不等式即可
10、B
【解析】先根据三角函数的定义求出，再利用齐次化将弦化切进行求解.
【详解】为角终边上一点，故，故.
故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、③④
【解析】满足条件(1)则函数为奇函数，满足条件(2)则函数为其定义域上的减函数.分别判断四个函数的单调性和奇偶性即可.
【详解】满足条件(1)则函数为奇函数，满足条件(2)则函数为其定义域上的减函数.
①，f(x)奇函数，在定义域不单调；
②，f(x)是偶函数，在定义域R内不单调；
③，f(x)是奇函数，且在定义域R上单调递减；
④，满足为奇函数，且根据指数函数性质可知其在定义域R上为减函数.
综上，满足条件(1)(2)的函数有③④.
故答案为：③④.
12、
【解析】由对数的运算性质可求出的值，再由基本不等式计算即可得答案
【详解】由题意，
得：，
则（当且仅当时，取等号）
故答案为：
13、
【解析】=代入各量进行求解即可.
【详解】=,故答案.
【点睛】本题考查了向量模的求解，可以通过先平方再开方即可，属于基础题.
14、 ①.365.25 ②.四
【解析】（1）利用周期公式求出一个回归年对应的天数；
（2）先计算出4个回归年经过的天数，再根据周期即可求解.
【详解】因为周期，所以一个回归年对应的天数约为365.25；
一个回归年对应的天数约为365.25，则4个回归年经过的天数为.
因为，且该年春分日是星期六，所以4个回归年后的春分日应该是星期四.
故答案为：365.25；四.
15、####
【解析】等价于，解即得解.
【详解】解：因为命题“是假命题”，
所以，
所以.
故答案为：
16、
【解析】直接按照诱导公式转化计算即可
【详解】tan300°=tan（300°﹣360°）=tan（﹣60°）=﹣tan60°=
故答案为：
【点睛】本题考查诱导公式的应用：求值．一般采用“大角化小角，负角化正角”的思路进行转化

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）补形得证明其与全等，从而得证.
（2）引进参数，由已知建立参数变量之间的等量关系，再用方程根的判别式获得变量最值，进一步得到所求面积最值.
【详解】（1）如图：延长至，使，连接，则.
故，，.
又.
，即.

（2）设，，，则，
，，
于是，
整理得：，
.
即.
又，，当且仅当时等式成立.
此时，
因此当，时，取最小值.
的最小值为.
【点睛】方法点睛：引进参数建立参变量方程，再变换主次元，利用方程根的判别式，确定参数取值范围是求最值的方法之一.
18、（1）20℃；
（2）()；
（3）27℃.
【解析】（1）观察图象求出函数的最大、最小值即可计算作答；
（2）根据给定图象求出解析式中相关参数，即可代入作答；
（3）求出当时的y值作答.
【小问1详解】
观察图象得：6时的温度最低为10℃，14时的温度最高为30℃，
所以这一天6~14时的最大温差为20℃.
【小问2详解】
观察图象，由解得：，周期，，即，则，
而当时，，则，又，有，
所以这段曲线的解析式为：，.
小问3详解】
由（2）知，当时，，
预测当天12时的温度为27℃.
19、（1）减区间为，增区间为；；（2）.
【解析】（1）设，，，则，，根据函数的性质，可得单调性根据单调性可得值域；
（2）根据单调性求出函数在上的值域，再根据的值域是的值域的子集列式可解得结果.
【详解】（1），
设，，，则，，
由已知性质得，当，即时，单调递减，所以减区间为；
当，即时，单调递增，所以增区间为；
由，，，得的值域为；
（2）因为为减函数，故函数在上的值域为.
由题意，得的值域是的值域的子集，
所以，所以.
【点睛】本题考查了对勾函数的单调性，考查了利用函数的单调性求值域，考查了转化化归思想，属于中档题.
20、（1）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最短篱笆的长度为；（2）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最大面积是.
【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.
（1）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形周长的最小值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论；
（2）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形面积的最大值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论.
【详解】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.
（1）由已知得，由，可得，所以，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为；
（2）由已知得，则，矩形菜园的面积为.
由，可得，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，在运用基本不等式求最值时，充分利用“积定和最小，和定积最大”的思想求解，同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.
21、（1），图象见解析
（2）
【解析】（1）先根据点在函数的图象上求出，再分段画出函数的图象；
（2）将问题转化为直线与函数的图象有两个公共点，在同一坐标系中作出图象，利用图象进行求解.
【小问1详解】
解：因为点在函数的图象上，
所以，解得，
即，
其图象如图所示：
【小问2详解】
解：将化为，
因为方程有两个不相等的实数根，
所以直线与函数的图象有两个公共点，
在同一坐标系中作出直线与函数的图象（如图所示），

由图象，得，即，
即的取值范围是.