2025-2026学年湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校数学高一上期末检测试题含解析.doc

2025-2026学年湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校数学高一上期末检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知设a=log30.2b=30.2，c=0.23，则a，b，c的大小关系是（）
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.b> c>a
2．已知，则函数与函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
3．方程的根所在的区间为　　
A. B.
C. D.
4．已知向量，且，则
A. B.
C. D.
5．与函数的图象不相交的一条直线是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知角终边经过点，若，则（）
A. B.
C. D.
7．的值是（）
A B.
C. D.
8．已知命题，，则命题否定为（）
A.， B.，
C.， D.，
9．如图一铜钱的直径为毫米，穿径（即铜钱内的正方形小孔边长）为毫米，现向该铜钱内随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），则该粒米未落在铜钱的正方形小孔内的概率为

A. B.
C. D.
10．在四面体中，已知棱的长为，其余各棱长都为1，则二面角的平面角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．关于函数有下述四个结论：
①是偶函数
②在区间单调递增
③的最大值为1
④在有4个零点
其中所有正确结论的编号是______.
12．已知点在直线上，则的最小值为______
13．已知，且，则=______
14．函数的定义域是__________，值域是__________.
15．函数为奇函数，且对任意互不相等的，，都有成立，且，则的解集为______
16．若集合有且仅有两个不同的子集，则实数=_______；
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知圆与直线相切，圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为.
（1）求圆的方程，并判断圆与圆的位置关系；
（2）若横截距为-1且不与坐标轴垂直的直线与圆交于两点，在轴上是否存在定点， 使得，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由.
18．已知且，函数.
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性，并用定义证明；
（3）求使的取值范围.
19．如图，平行四边形中，，分别是，的中点，为与的交点，若,，试以，为基底表示、、

20．已知圆M与x轴相切于点（a，0），与y轴相切于点（0，a），且圆心M在直线上.过点P（2，1）直线与圆M交于两点，点C是圆M上的动点.
（1）求圆M的方程；
（2）若直线AB的斜率不存在，求△ABC面积的最大值；
（3）是否存在弦AB被点P平分？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由.
21．已知幂函数图象经过点.
（1）求幂函数的解析式；
（2）试求满足的实数a的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】由指数和对数函数单调性结合中间量0和1来比较a，b，c的大小关系即可有结果.
【详解】因为，，
所以
故选：D
2、B
【解析】
条件化为，然后由的图象 确定范围，再确定是否相符
【详解】，即.
∵函数为指数函数且的定义域为，函数为对数函数且的定义域为，A中，没有函数的定义域为，∴A错误；B中，由图象知指数函数单调递增，即，单调递增，即，可能为1，∴B正确；C中，由图象知指数函数单调递减，即，单调递增，即，不可能为1，∴C错误；D中，由图象知指数函数单调递增，即单调递减，即，不可能为1，∴D错误
故选：B.
【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，确定这两个的图象与性质是解题关键．
3、C
【解析】令函数，则方程的根即为函数的零点再根据函数零点的判定定理可得函数零点所在区间
【详解】令函数，则方程的根即为函数的零点，
再由，且，可得函数在上有零点
故选C
【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题
4、B
【解析】由已知得，
因为，
所以，即，
解得.选B
5、C
【解析】由题意求函数的定义域，即可求得与函数图象不相交的直线.
【详解】函数的定义域是，
解得： ，
当时，，
函数的图象不相交的一条直线是.
故选：C
【点睛】本题考查正切函数的定义域，属于简单题型.
6、C
【解析】根据三角函数的定义，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，角终边经过点，可得，
又由，根据三角函数的定义，可得且，解得.
故选：C.
7、C
【解析】由，应用诱导公式求值即可.
【详解】.
故选：C
8、D
【解析】根据全称命题的否定是特称命题形式，直接选出答案.
【详解】命题，，是全称命题，
故其否定命题为：，，
故选：D.
9、B
【解析】由题意结合几何概型公式可得：该粒米未落在铜钱的正方形小孔内的概率为:
.
本题选择B选项.
点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：P(A)＝.
10、C
【解析】
由已知可得AD⊥DC
又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，则BE⊥CD
在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B的平面角
∵EF=（三角形ACD的中位线），BE=（正三角形BCD的高），BF=（等腰RT三角形ABC，F是斜边中点）
∴cos∠BEF=
故选C．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分共30分。
11、①③
【解析】利用奇偶性定义可判断①；时，可判断②；
分、时求出可判断故③； 时，由可判断④.
【详解】因为，，所以①正确；
当时，，
当时，，
，时，单调递减，故②错误；
当时，，；
当时，，
综上的最大值为1，故③正确；
时，
由得，解得，
由不存在零点，
所以在有2个零点，故④错误.
故答案为：①③.

12、2
【解析】由点在直线上得上，且表示点与原点的距离
∴的最小值为原点到直线的距离，即
∴的最小值为2
故答案为2
点睛：本题考查了数学的化归与转换能力，首先要知道一些式子的几何意义，比如本题表示点 和原点的两点间距离所以本题转化为已知直线上的点到定点的距离的最小值，即定点到直线的距离最小.
13、
【解析】由同角三角函数关系求出，最后利用求解即可.
【详解】由，且得
则，
则.
故答案为：.
14、 ①. ②.
【解析】解不等式可得出原函数的定义域，利用二次函数的基本性质可得出原函数的值域.
详解】对于函数，有，即，解得，
且.
因此，函数的定义域为，值域为.
故答案为：；.
15、
【解析】由条件可得函数的单调性，结合，分和利用单调性可解.
【详解】因为，时，，所以在上单调递减，又因为为奇函数，且，所以在上单调递减，且.当时，不等式，得；当时，不等式，得.综上不等式的解集为.
故答案：
16、或.
【解析】根据集合的子集个数确定出方程解的情况，由此求解出参数值.
【详解】因为集合仅有两个不同子集，所以集合中仅有个元素，
当时，，所以，满足要求；
当时，，所以，此时方程解为，即，满足要求，
所以或，
故答案：或.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）相交（2）
【解析】（1）根据条件求得圆心和半径，从而由圆心距确定两圆的位置关系；
（2）设，与圆联立得，用坐标表示斜率结合韦达定理求解即可.
试题解析：
（1）设圆心为，则

，

（2）
联立

，

，

(2)法二：
联立
假设存在
则
，
故存在)满足条件.
18、（1）；
（2）函数是偶函数，详见解析；
（3）当时，；当时，或.
【解析】（1）根据对数的真数为正数列式可解得结果；
（2）函数是偶函数，根据偶函数的定义证明即可；
（3）不等式化为后，分类讨论底数，根据对数函数的单调性可解得结果.
【小问1详解】
要使函数数有意义，则必有，解得，
所以函数的定义域是；
【小问2详解】
函数是偶函数，证明如下：
∵，，
又
∴函数是偶函数；
【小问3详解】
使，即
当时，有，，
当时，有，解得或.
综上所述：当时，；当时，或.
19、
【解析】分析：直接利用共线向量的性质、向量加法与减法的三角形法则求解即可.
详解：由题意，如图，
，
连接，则是的重心，连接交于点，则是的中点，
∴点在上，
∴，
故答案为
；；
∴
点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）
20、（1）
（2）
（3）存在，方程为
【解析】（1）根据圆与坐标轴相切表示出圆心坐标，结合已知可解；
（2）注意到当点C到直线AB距离最大值为圆心到直线距离加半径，然后可解;
（3）根据圆心与弦的中点的连线垂直弦，或利用点差法可得.
【小问1详解】
∵圆M与x轴相切于点（a，0），与y轴相切于点（0，a），
∴圆M的圆心为M（a，a），半径.
又圆心M在直线上，
∴，解得.
∴圆M的方程为：.
【小问2详解】
当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为，
∴由，解得.
∴.
易知圆心M到直线AB的距离，
∴点C到直线AB的最大距离为.
∴△ABC面积的最大值为.
【小问3详解】
方法一：假设存在弦AB被点P平分即P为AB的中点.
又∵，∴.
又∵直线MP的斜率为，
∴直线AB的斜率为-.
∴.
∴存在直线AB的方程为时，弦AB被点P平分.
方法二：由（2）易知当直线AB的斜率不存在时，，
∴此时点P不平分AB.
当直线AB的斜率存在时，，假设点P平分弦AB.
∵点A、B是圆M上的点，设，.
∴
由点差法得.
由点P是弦AB的中点，可得，
∴.
∴
∴存在直线AB的方程为时，弦AB被点P平分.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）把点的坐标代入函数解析式求出的值，即可写出的解析式；（2）根据在定义域上的单调性，把不等式化为关于的不等式组，求出解集即可
【详解】（1）幂函数的图象经过点，
，
解得，
幂函数；
（2）由（1）知在定义域上单调递增，
则不等式可化为

解得，
实数a的取值范围是.
【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，属于容易题