山东省淄博市高青县第一中学2026届高一数学第一学期期末学业水平测试试题含解析.doc

山东省淄博市高青县第一中学2026届高一数学第一学期期末学业水平测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设实数t满足，则有（ ）
A. B.
C. D.
2．已知幂函数为偶函数，则实数的值为（）
A.3 B.2
C.1 D.1或2
3．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线方程为，则顶点C的坐标是
A. B.
C. D.
4．下列函数既是奇函数又是周期为π的函数是()
A. B.
C. D.
5．已知函数，则，则
A. B.
C.2 D.
6．已知角的终边过点，则（）
A. B.
C. D.1
7．已知幂函数的图象过（4，2）点，则
A. B.
C. D.
8．若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调增区间为
A. B.
C. D.
9．下列函数中，与函数有相同图象的一个是
A. B.
C. D.
10．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设，关于的方程有两实数根，，且，则实数的取值范围是___________.
12．设，用表示不超过的最大整数.则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则的值域为___________.
13．设，且，则的取值范围是________.
14．函数在上的最小值为__________.
15．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点.若函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是____
16．已知正实数满足，则当__________时，的最小值是__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，四边形中，，，，，、分别在、上，，现将四边形沿折起，使平面平面
（）若，是否存在折叠后的线段上存在一点，且，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由
（）求三棱锥的体积的最大值，并求此时点到平面的距离

18．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.
(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
19．已知二次函数的图象与轴、轴共有三个交点.
（1）求经过这三个交点的圆的标准方程；
（2）当直线与圆相切时，求实数的值；
（3）若直线与圆交于两点，且，求此时实数的值.
20．已知函数
（1）求的单调递增区间；
（2）画出在上的图象
21．解下列关于的不等式；
（1）；
（2）.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】由，得到求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以，，
则，
故选：B
2、C
【解析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论
【详解】幂函数为偶函数，
，且为偶数，
则实数，
故选：C
3、A
【解析】设C的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出AB的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得C点的坐标.
【详解】设C(m，n),由重心坐标公式得重心为,
代入欧拉线方程得： ①
AB的中点为，，
所以AB的中垂线方程为
联立，解得
所以三角形ABC的外心为，
则，化简得： ②
联立①②得：或，
当时，BC重合，舍去，
所以顶点C的坐标是
故选A.
【点睛】本题主要考查了直线方程的各种形式，重心坐标公式，属于中档题.
4、D
【解析】先判断函数的奇偶性，再求函数的周期，然后确定选项
【详解】是最小正周期为的奇函数，故A错误；
的最小正周期是π是偶函数，故B错误；
是最小正周期是π是偶函数，故C错误；
最小正周期为π的奇函数，故D正确﹒
故选：D
5、B
【解析】因为，所以，故选B.
6、B
【解析】根据三角函数的定义求出，再根据二倍角余弦公式计算可得；
【详解】解：∵角的终边过点，所以，
∴，故
故选：B
7、D
【解析】设函数式为，代入点（4，2）得
考点：幂函数
8、B
【解析】分别求出m，a的值，求出函数的单调区间即可
【详解】解：由题意得：，解得：，
故，将代入函数的解析式得：
，解得：，
故，
令，解得：，
故在递增，
故选B
【点睛】本题考查了幂函数的定义以及对数函数的性质，是一道基础题
9、B
【解析】逐一考查选项中的函数与所给的函数是否为同一个函数即可确定其图象是否相同.
【详解】逐一考查所给的选项：
A.，与题中所给函数的解析式不一致，图象不相同；
B.，与题中所给函数的解析式和定义域都一致，图象相同；
C.的定义域为，与题中所给函数的定义域不一致，图象不相同；
D.的定义域为，与题中所给函数的定义域不一致，图象不相同；
故选B.
【点睛】本题主要考查函数相等的概念，需要同时考查函数的定义域和函数的对应关系，属于中等题.
10、B
【解析】根据函数的特点即可判断出增长速度.
【详解】因为指数函数是几何级数增长，当x越来越大时，增长速度最快.
故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】结合一元二次方程根的分布的知识列不等式组，由此求得的取值范围.
【详解】令，
依题意关于的方程有两实数根，，且，
所以，即，解得.
故答案为：
12、
【解析】对进行分类讨论，结合高斯函数的知识求得的值域.
【详解】当为整数时，，
当不是整数，且时，，
当不是整数，且时，，
所以的值域为.
故答案为：
13、
【解析】由题意得，，又因为，则的取值范围是
14、
【解析】正切函数在给定定义域内单调递增，
则函数的最小值为.
15、##，##
【解析】根据题意，方程，即在内有实数根，若函数在内有零点．首先满足，解得，或．对称轴为．对分类讨论即可得出
【详解】解：根据题意，若函数是，上的平均值函数，
则方程，即在内有实数根，
若函数在内有零点
则，解得，或
（1），．
对称轴：
①时，，，（1），因此此时函数在内一定有零点．满足条件

②时，，由于（1），因此函数在内不可能有零点，舍去
综上可得：实数的取值范围是，
故答案为：，
16、 ①. ②.6
【解析】利用基本不等式可知，当且仅当“”时取等号.而运用基本不等式后，结合二次函数的性质可知恰在时取得最小值，由此得解.
【详解】解：由题意可知：，即，当且仅当“”时取等号，，当且仅当“”时取等号.
故答案为：，6.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，同时也考查了配方法及二次函数的图像及性质，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)答案见解析；(2)答案见解析.
【解析】1)存在，使得平面，此时，即，利用几何关系可知四边形为平行四边形，则，利用线面平行的判断定理可知平面成立
(2)由题意可得三棱锥的体积，由均值不等式的结论可知时，三棱锥的体积有最大值，最大值为
建立空间直角坐标系，则，平面的法向量为，故点到平面的距离
试题解析：
（）存在，使得平面，此时
证明：当，此时，
过作，与交，则，
又，故，
∵，，
∴，且，故四边形为平行四边形，
∴，
∵平面，平面，
∴平面成立
（）∵平面平面，平面，，
∴平面，
∵，
∴，，，
故三棱锥的体积，
∴时，三棱锥的体积有最大值，最大值为
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，

设平面的法向量为，则，
∴，取，则，，
∴
∴点到平面的距离

18、 (I) .(II)
【解析】解：(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：
红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，
红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.
其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故
所求的概率为.
(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，
多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，
其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，
所以概率为.

考点：古典概型
点评：主要是考查了古典概型的运用，属于基础题
19、（1）；（2）或；（3）
【解析】（1）先求出二次函数的图象与坐标轴的三个交点的坐标，然后根据待定系数法求解可得圆的标准方程；（2）根据圆心到直线的距离等于半径可得实数的值；（3）结合弦长公式可得所求实数的值
【详解】（1）在中，
令，可得；
令，可得或
所以三个交点分别为，，，
设圆的方程为，
将三个点的坐标代入上式得 ，解得，
所以圆的方程为，
化为标准方程为：
（2）由（1）知圆心，
因为直线与圆相切，
所以，
解得或，
所以实数的值为或
（3）由题意得圆心到直线的距离，
又，
所以，
则，
解得
所以实数的值为或
【点睛】（1）求圆的方程时常用的方法有两种：一是几何法，即求出圆的圆心和半径即可得到圆的方程；二是用待定系数法，即通过代数法求出圆的方程
（2）解决圆的有关问题时，要注意圆的几何性质的应用，合理利用圆的有关性质进行求解，可以简化运算、提高解题的效率
20、 (1) ,(2)见解析
【解析】（1）计算,得到答案.
（2）计算函数值得到列表，再画出函数图像得到答案.
【详解】（1）令,，得,
即，.
故的单调递增区间为，.
（2）因为所以列表如下：

0

0

2
4
0

0
2

【点睛】本题考查了三角函数的单调性和图像，意在考查学生对于三角函数性质的灵活运用.
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据一元二次不等式的解法即可得出答案；
（1）根据一元二次不等式的解法即可得出答案.
【小问1详解】
解：不等式可化为，
解得，
所以不等式的解集为；
【小问2详解】
解：不等式可化为，解得或，
所以不等式的解集为.