2026届山东省济南市济钢高级中学数学高一第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

2026届山东省济南市济钢高级中学数学高一第一学期期末教学质量检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，表达式是
A. B.
C. D.
2．两圆和的位置关系是
A.内切 B.外离
C.外切 D.相交
3． “”是“”成立的（ ）条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
4．若角600°的终边上有一点（-4，a），则a的值是
A. B.
C. D.
5．的值等于
A. B.
C. D.
6．实数满足，则下列关系正确的是
A. B.
C. D.
7．角度化成弧度为（）
A. B.
C. D.
8．函数的最小值为（ ）
A. B.3
C. D.
9．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝DC＝2，CB＝，动点P从点A出发，由A→D→C→B沿边运动，点P在AB上的射影为Q.设点P运动的路程为x，△APQ的面积为y，则y＝f(x)的图象大致是（）

A. B.
C. D.
10．函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f（x）等于（　　）
A.﹣x+1 B.﹣x﹣1
C.x+1 D.x﹣1
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若a∈{1，a2﹣2a+2}，则实数a的值为___________.
12．若集合有且仅有两个不同的子集，则实数=_______；
13．函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是______.
14．已知，g(x)=x+t，设，若当x为正整数时，恒有h(5)≤h(x)，则实数t的取值范围是______
15．在△ABC中，，面积为12，则=______
16．已知函数，则__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
18．已知函数f(x)＝2cos.
（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）求函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的取值集合；
（3）求函数f(x)的单调增区间
19．已知集合，或，
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求
20．已知关于的不等式
（Ⅰ）解该不等式；
（Ⅱ）定义区间的长度为，若，求该不等式解集表示的区间长度的最大值
21．为适应市场需求，某公司决定从甲、乙两种类型工业设备中选择一种进行投资生产，根据公司自身生产经营能力和市场调研，得出生产经营这两种工业设备的有关数据如下表：
类别
年固定成本
每台产品原料费
每台产品售价
年最多可生产
甲设备
100万元
m万元
50万元
200台
乙设备
200万元
40万元
90万元
120台
假定生产经营活动满足下列条件：
①年固定成本与年生产的设备台数无关；
②m为待定常数，其值由生产甲种设备的原料价格决定，且m∈[30，40]；
③生产甲种设备不需要支付环保、专利等其它费用，而生产x台乙种设备还需支付环保专利等其它费用0.25x2万元；
④生产出来的设备都能在当年全部销售出去
（Ⅰ）若该公司选择投资生产甲设备，则至少需要年生产a台设备，才能保证对任意m∈[30，40]，公司投资生产都不会赔本，求a的值；
（Ⅱ）公司要获得最大年利润，应该从甲、乙两种工业设备中选择哪种设备投资生产？请你为该公司作出投资选择和生产安排
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】若，则，利用给出的解析式求出，再由奇函数的定义即，求出.
【详解】设，则，当时，，
，
函数是定义在上的奇函数，
，
，故选D .
【点睛】本题考查了函数奇偶性在求解析式的应用，属于中档题.本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为
2、D
【解析】根据两圆方程求解出圆心和半径，从而得到圆心距；根据得到两圆相交.
【详解】由题意可得两圆方程为：和
则两圆圆心分别为：和；半径分别为：和
则圆心距：
则 两圆相交
本题正确选项：
【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，关键是判断出圆心距和两圆半径之间的关系，属于基础题.
3、B
【解析】通过和同号可得前者等价于或，通过对数的性质可得后者等价于或，结合充分条件，必要条件的概念可得结果.
【详解】或，或，
即“”是“”成立必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了不等式的性质以及充分条件，必要条件的判定，属于中档题.
4、C
【解析】∵角的终边上有一点，根据三角函数的定义可得，即，故选C.
5、C
【解析】因为，所以可以运用两角差的正弦公式、余弦公式，求出的值.
【详解】，
，
，故本题选C.
【点睛】本题考查了两角差的正弦公式、余弦公式、以及特殊角的三角函数值.其时本题还可以这样解：
，
.
6、A
【解析】根据指数和对数的运算公式得到
【详解】=故A正确.
故B不正确；
故C，D不正确.

故答案为A.
【点睛】这个题目考查了指数和对数的公式的互化，以及换底公式的应用，较为简单.
7、A
【解析】根据题意，结合，即可求解.
【详解】根据题意，.
故选：A.
8、C
【解析】运用乘1法，可得，再利用基本不等式求最值即可.
【详解】由三角函数的性质知

当且仅当，即，即，时，等号成立.
故选：C
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
9、D
【解析】结合P点的运动轨迹以及二次函数，三角形的面积公式判断即可
【详解】解：P点在AD上时，△APQ是等腰直角三角形，
此时f（x）＝•x•x＝x2，（0＜x＜2）是二次函数，排除A，B，
P在DC上时，PQ不变，AQ增加，是递增的一次函数，排除C，
故选D
【点睛】本题考查了数形结合思想，考查二次函数以及三角形的面积问题，是一道基础题
10、B
【解析】当x＜0时， ,选B.
点睛：已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、2
【解析】利用集合的互异性，分类讨论即可求解
【详解】因为a∈{1，a2﹣2a+2}，则：a=1或a=a2﹣2a+2，
当a=1时：a2﹣2a+2=1，与集合元素的互异性矛盾，舍去；
当a≠1时：a=a2﹣2a+2，解得：a=1(舍去)或a=2；
故答案为：2
【点睛】本题考查集合的互异性问题，主要考查学生的分类讨论思想，属于基础题
12、或.
【解析】根据集合的子集个数确定出方程解的情况，由此求解出参数值.
【详解】因为集合仅有两个不同子集，所以集合中仅有个元素，
当时，，所以，满足要求；
当时，，所以，此时方程解为，即，满足要求，
所以或，
故答案：或.
13、
【解析】先化简，然后分析的奇偶性，将的最大值和小值之和转化为和有关的式子，结合对勾函数的单调性求解出的取值范围.
【详解】，
令，定义域为关于原点对称，
∴，
∴为奇函数，∴，
∴，
，由对勾函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于函数奇偶性的判断，同时需要注意到奇函数在定义域上如果有最值，那么最大值和最小值一定是互为相反数.
14、 [-5，-3]
【解析作出的图象，如图，

设与的交点横坐标为，
则在时，总有，
所以当时，有，，
由，得；
当当时，有，，
由，得，
综上，，
故答案为：.
15、
【解析】利用面积公式即可求出sinC．使用二倍角公式求出cos2C
【详解】由题意，在中，，，面积为12，
则，解得
∴
故答案为
【点睛】本题考查了三角形的面积公式，二倍角公式在解三角形中的应用，其中解答中应用三角形的面积公式和余弦的倍角公式，合理余运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题
16、2
【解析】先求出，然后再求的值.
【详解】由题意可得，
所以，
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)；(2) ;(3).
【解析】
(1)利用二倍角的正切公式求解即可；
(2)将分子分母同除得到，代值求解即可；
(3)先求得，再用两角差的正弦公式求解即可.
【详解】(1)
(2)
(3)

18、（1）
（2）当时，取得最大值为.
（3）
【解析】（1）根据三角函数最小正周期公式求得正确答案.
（2）根据三角函数最大值的求法求得正确答案.
（3）利用整体代入法求得的单调递增区间.
【小问1详解】
的最小正周期为.
【小问2详解】
当时，取得最大值为.
【小问3详解】
由，解得，
所以的单调递增区间为.
19、（1）（2）
【解析】（1）根据交集直接能算；
（2）根据补集、并集运算求解.
【详解】（1）因为，或，
所以
（2）由或，知，
所以.
20、（Ⅰ）当时，原不等式的解为，当或时，原不等式的解集为，
当或时，原不等式的解为（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）原不等式化为，根据1＜a＜2，a=1或a=2分类讨论，能求出原不等式的解集；（Ⅱ）当a≠1且a≠2时，，由此能求出该不等式解集表示的区间长度的最大值
试题解析：（Ⅰ）原不等式可化为，
当，即时，
原不等式的解为；
当，即或时，原不等式的解集为；
当，即或时，
原不等式的解为
综上所述，当时，原不等式的解为，
当或时，原不等式的解集为，
当或时，原不等式的解为
（Ⅱ）显然当或时，该不等式解集表示的区间长度不可能最大
当且时，，
设，，
则当时，，当时，，当时，，
∴当时，
考点：一元二次不等式的解法
21、（Ⅰ）10（Ⅱ）详见解析
【解析】（Ⅰ）由年销售量为a台，按利润的计算公式求得利润，再由利润大于等于0，分离参数a求解；
（Ⅱ）分别写出投资生产甲、乙两种工业设备的利润函数，由函数的单调性及二次函数的性质求函数的最大值，然后作出比较得答案
【详解】（Ⅰ）由年销售a台甲设备，公司年获利y1=50a-100-am，
由y1=50a-100-am≥0（30≤m≤40），
得a≥（30≤m≤40），
函数f（m）=在[30，40]上为增函数，则f（m）max=10，
∴a≥10
则对任意m∈[30，40]，公司投资生产都不会赔本，a的值为10台；
（Ⅱ）由年销售量为x台，按利润的计算公式，
有生产甲、乙两设备的年利润y1，y2分别为：
y1=50x-（100+mx）=（50-m）x-100，0≤x≤200且x∈N
y2=90x-（200+40x）-0.25x2=-0.25x2+50x-200
=-0.25（x-100）2+2300，0≤x≤120，x∈N
∵30≤m≤40，∴50-m＞0，
∴y1=（50-m）x-100为增函数，
又∵0≤x≤200，x∈N，
∴x=200时，生产甲设备的最大年利润为（50-m）×200-100=9900-200m（万元）
又y2=-0.25（x-100）2+2300，0≤x≤120，x∈N
∴x=100时，生产乙设备的最大年利润为2300（万元）
（y1）max-（y2）max=（9900-200m）-2300=7600-200m
当30≤m＜38时，7600-200m＞0，当m=38时，7600-200m=0，当38＜m＜40时，7600-200m＜0，
故当30≤m＜38时，投资生产甲设备200台可获最大年利润；
当m=38时，生产甲设备与生产乙设备均可获得最大年利润；
当38＜m＜40时，投资生产乙设备100台可获最大年利润
【点睛】考查根据实际问题抽象函数模型的能力，并能根据模型的解决，指导实际生活中的决策问题，属中档题