2025年广州黄埔区第二中学数学高一第一学期期末统考模拟试题含解析.doc

2025年广州黄埔区第二中学数学高一第一学期期末统考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知全集，，，则集合
A. B.
C. D.
2．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（）
①；②；③；④
A.①② B.①④
C.②③ D.③④
3．已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（）
A.a＜b＜2 B.b＜a＜2
C.2＜a＜b D.2＜b＜a
4．与直线垂直，且在轴上的截距为-2的直线方程为（）
A. B.
C. D.
5．设函数，则下列结论不正确的是
A.函数的值域是；
B.点是函数的图像的一个对称中心；
C.直线是函数的图像的一条对称轴；
D.将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数
6．已知集合，，则　　
A.或 B.或
C. D.或
7．已知圆心在轴上的圆与直线切于点.若直线与圆相切，则的值为（）
A.9 B.7
C.-21或9 D.-23或7
8．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（）
A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
9．如果关于x的不等式x2＜ax＋b的解集是{x|-1＜x＜3}，那么ba等于（
A.－9 B.9
C.－ D.－8
10．已知函数，当时．方程表示的直线是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若函数f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是：_____________.
12．若函数在区间内有最值，则的取值范围为_______
13．若函数在内恰有一个零点，则实数a的取值范围为______
14．已知函数的最大值与最小值之差为，则______
15．已知函数，则下列命题正确的是______填上你认为正确的所有命题的序号
①函数单调递增区间是；
②函数的图象关于点对称；
③函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是；
④若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，则
16．=________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．2022年是苏颂诞辰1001周年，苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟．水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟．如图，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，当点P从枢轮最高处随枢轮开始转动时，打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动．以枢轮中心为原点，水平线为x轴建立平面直角坐标系令P点纵坐标为，水面纵坐标为，P点转动经过的时间为x分钟．（参考数据：，，）

（1）求，关于x的函数关系式；
（2）求P点进入水中所用时间的最小值（单位：分钟，结果取整数）
18．在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，以角的终边为始边，逆时针旋转得到角
Ⅰ求值；
Ⅱ求的值
19．（1）计算：；
（2）化简：
20．已知，，计算：
（1）
（2）
21．已知x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.
(1)求元素x满足的条件;
(2)若-2∈A,求实数x.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】因为A∪B={x|x≤0或x≥1}，所以，故选D.
考点：集合的运算.
2、D
【解析】对每个函【解析】判断奇偶性及单调性即可.
【详解】对于①，，奇函数，在和上分别单增，不满足条件；
对于②，，偶函数，不满足条件；
对于③，，奇函数，在R上单增，符合题意；
对于④，，奇函数，在R上单增，符合题意；
故选：D
3、D
【解析】先根据判断a接近2，进一步对a进行放缩，，进而通过对数运算性质和基本不等式可以判断a>2；
根据b的结构，构造函数，得出函数的单调性和零点，进而得到a,b的大小关系，最后再判断b和2的大小关系，最终得到答案.
【详解】.
构造函数：，易知函数是R上的减函数，且，由，可知：，又，∴，则a>b.
又∵，∴a>b>2
故选：D.
【点睛】对数函数式比较大小通常借助中间量，除了0和1之外，其它的中间量需要根据题目进行分析，中间会用到指对数的运算性质和放缩法；另外，构造函数利用函数的单调性比较大小是比较常用的一种方法，需要我们对式子的结构进行仔细分析，平常注意归纳总结.
4、A
【解析】先求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解.
【详解】由题得所求直线的斜率为，
∴所求直线方程为，
整理为
故选：A
【点睛】方法点睛：求直线的方程，常用的方法：待定系数法，先定式（从直线的五种形式中选择一种作为直线的方程），后定量（求出直线方程中的待定系数）.
5、B
【解析】根据余弦函数的性质一一判断即可；
【详解】解：因为，，
所以，即函数的值域是，故A正确；
因为，所以函数关于对称，故B错误；
因为，所以函数关于直线对称，故C正确；
将函数的图像向右平移个单位长度得到为偶函数，故D正确；
故选：B
6、A
【解析】进行交集、补集的运算即可．
【详解】；
，或
故选A．
【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．
7、D
【解析】先求得圆的圆心和半径，根据直线若直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径列方程，解方程求得的值.
【详解】圆心在轴上圆与直线切于点.
可得圆的半径为3,圆心为.
因为直线与圆相切,
所以由切线性质及点到直线距离公式可得,
解得或7.
故选:D

【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于基础题.
8、A
【解析】设出直线方程，利用待定系数法得到结果.
【详解】设与直线平行的直线方程为，
将点代入直线方程可得，解得
则所求直线方程为．故A正确
【点睛】本题主要考查两直线的平行问题，属容易题．两直线平行倾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以与直线平行的直线方程可设为
9、B
【解析】根据一元二次不等式的解集，利用根与系致的关系求出的值 ,再计的值.
【详解】由不等式的解集是，
所以是方程的两个实数根.
则，所以
所以
故选：B
10、C
【解析】先利用对数函数的性质得到所以，再利用直线的斜率和截距判断.
【详解】因为时，，
所以
则直线的斜率为，
在轴上的截距
故选：C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据题意，有在R上恒成立，则，即可得解.
【详解】若函数f（x）=的定义域为R，
则在R上恒成立，
则，
解得：，
故答案为：.
12、
【解析】当函数取得最值时有，由此求得的值，根据列不等式组，解不等式组求得的取值范围（含有），对赋值求得的具体范围.
【详解】由于函数取最值时，，，即，又因为在区间内有最值.所以时，有解，所以，即，由得，当时，，当时，又，，所以的范围为.
【点睛】本小题主要考查三角函数最值的求法，考查不等式的解法，考查赋值法，属于中档题.
13、
【解析】根据实数a的正负性结合零点存在原理分类讨论即可.
【详解】当时，，符合题意，
当时，二次函数的对称轴为：，
因为函数在内恰有一个零点，所以有：
，或，即或，
解得：，或，
综上所述：实数a的取值范围为，
故答案为：
14、或.
【解析】根据幂函数的性质，结合题意，分类讨论，利用单调性列出方程，即可求解.
【详解】由题意，函数，
当时，函数在上为单调递增函数，可得，解得；
当时，显然不成立；
当时，函数在上为单调递减函数，可得，解得，
综上可得，或.
故答案为：或.
15、①③④
【解析】先利用辅助角公式化简，再根据函数，结合三角函数的性质及图形，对各选项依次判断即可
【详解】①，令，所以，因为，所以令，则，所以单调增区间是，故正确；
②因为，所以不是对称中心，故错误；
③的图象向左平移个单位长度后得到，且是偶函数，所以，所以且，
所以时，，故正确；
④函数

，故错误；
⑤因为，作出在上的图象如图所示：
与有且仅有三个交点：

所以，又因为时，且关于对称所以，所以，故正确；
故选:①③⑤
16、
【解析】利用两角差的正切公式直接求值即可.
【详解】=
故答案为
【点睛】本题主要考查两角差的正切公式，特殊角的三角函数值，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），（2）13分钟
【解析】（1）按照题目所给定的坐标系分别写出和的方程即可；
（2）根据零点存在定理判断即可.
【小问1详解】
可设，
∵转动的周期为30分钟，∴，
∵枢轮的直径为3.4米，∴，
∵点P的初始位置为最高点，∴，
∴，
∵退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，∴水面的初始纵坐标为，
∵水位以每分钟0.017米速度下降，
∴；
【小问2详解】
P点进入水中，则，即
∴
作出和的大致图像，显然在内存在一个交点

令，
∵，
，
∴P点进入水中所用时间的最小值为13分钟；
综上，，，P点进入水中所用时间的最小值为13分钟.
18、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】Ⅰ由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值
Ⅱ先根据题意利用任意角的三角函数的定义求得、的值，再利用二倍角公式求得、的值，再利用两角和的余弦公式求得的值
【详解】解：Ⅰ角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，

Ⅱ以角的终边为始边，逆时针旋转得到角，
由Ⅰ利用任意角的三角函数的定义可得，，
，

【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式，两角和的余弦公式的应用，属于中档题
19、（1）；（2）
【解析】（1）由题意利用对数的运算性质，计算求得结果
（2）由题意利用诱导公式，计算求得结果
【详解】解：（1）
（2）
20、（1）；（2）.
【解析】（1）先把化为，然后代入可求；
（2）先把化为，然后代入可求.
【详解】（1）；
（2）
.
【点睛】本题主要考查齐次式的求值问题，齐次式一般转化为含有正切的式子，结合正切值可求.
21、（1）x≠-1,且x≠0,且x≠3（2）x=-2.
【解析】(1)由集合中元素的互异性可得x≠3,且x2-2x≠x,x2-2x≠3,
解得x≠-1,且x≠0,且x≠3.
故元素x满足的条件是x≠-1,且x≠0,且x≠3.
(2)若-2∈A,则x=-2或x2-2x=-2.
由于方程x2-2x+2=0无解,所以x=-2.
点睛：已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法：(1)确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值．(2)互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验