天津市河西区2025年高一上数学期末综合测试模拟试题含解析.doc

天津市河西区2025年高一上数学期末综合测试模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．关于函数，下列说法正确的是（）
A.最小值为0 B.函数为奇函数
C.函数是周期为周期函数 D.函数在区间上单调递减
2．的值为（ ）
A. B.1
C. D.2
3．已知函数的部分图象如图所示，下列说法错误的是（）

A.
B.f（x）的图象关于直线对称
C.f（x）在[－，－]上单调递减
D.该图象向右平移个单位可得的图象
4．函数的图象如图所示，则（ ）

A. B.
C. D.
5．非零向量，，若点关于所在直线的对称点为，则向量为
A. B.
C. D.
6．若，是第二象限的角，则的值等于（ ）
A. B.7
C. D.-7
7．如果，那么（）
A. B.
C. D.
8．若，，，，则， ， 的大小关系是
A. B.
C. D.
9．以，为基底表示为
A. B.
C. D.
10．如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角（　　）

A.90° B.60°
C.45° D.30°
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为________.
12．用表示函数在闭区间上的最大值．若正数满足，则的最大值为__________
13．已知，且，若不等式恒成立，则实数的最大值是______
14．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，过点；当时，图象是线段BC，其中.根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为____________.（写成区间形式）

15．已知实数x，y满足条件，则的最大值___________.
16．已知一组样本数据x1，x2，…，x10，且++…+=2020， 平均数 ，则该组数据的标准差为_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．有一圆与直线相切于点，且经过点，求此圆的方程
18．已知函数，
（1）求最小正周期；
（2）求的单调递增区间；
（3）当时，求的最大值和最小值
19．已知函数为奇函数.
（1）求的值；
（2）探究在上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.
20．已知函数部分图象如图所示，点为函数的图象与y轴的一个交点，点B为函数图象上的一个最高点，且点B的横坐标为，点为函数的图象与x轴的一个交点

（1）求函数的解析式；
（2）已知函数的值域为，求a，b的值
21．已知OPQ是半径为1，圆心角为2θ（θ为定值）的扇形，A是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形内的内接矩形，记∠AOP＝（0＜＜θ）

（1）用表示矩形ABCD的面积S；
（2）若θ＝，求当取何值时，矩形面积S最大？并求出这个最大面积
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据三角函数的性质，得到的最小值为，可判定A不正确；根据奇偶性的定义和三角函数的奇偶性，可判定C不正确；举例可判定C不正确；根据三角函数的单调性，可判定D正确.
【详解】由题意，函数，
当时，可得，所以，
当时，可得，所以，
所以函数的最小值为，所以A不正确；
又由，所以函数为偶函数，所以B不正确；
因为，，所以，
所以不是的周期，所以C不正确；
当时，，，
当时，，即函数在区间上单调递减，
又因为，所以函数在区间上单调递减，
所以D正确.
故选：D.
2、B
【解析】根据正切的差角公式逆用可得答案
【详解】，
故选：B
3、C
【解析】先根据图像求出即可判断A，利用正弦函数的对称轴及单调性即可判断BC，通过平移变换即可判断D.
【详解】根据函数的部分图象，可得所以，故A正确；
利用五点法作图，可得，可得，所以，令x，求得，为最小值，故函数的图象
关于直线对称，故B正确：当时，，函数f（x）没有单调性，故C错误；把f（x）的图象向右平移个单位
可得的图象，故D正确
故选：C.
4、C
【解析】根据正弦型函数图象与性质，即可求解.
【详解】由图可知：，所以，故，又，可求得，，由可得
故选：C.
5、A
【解析】如图由题意点B关于所在直线的对称点为B1，所以∠BOA=∠B1OA，所以又由平行四边形法则知:,且向量的方向与向量的方向相同，由数量积的概念向量
在向量方向上的投影是OM=，设与向量方向相同的单位向量为：，所以向量=2=2=，所以=.
故选A.
点睛：本题利用平行四边形法则表示和向量，因为对称，所以借助数量积定义中的投影及单位向量即可表示出和向量,解题时要善于借助图像特征体现向量的工具作用.
6、B
【解析】先由同角三角函数关系式求出，再利用两角差的正切公式即可求解.
【详解】因为，是第二象限的角，
所以，所以.
所以.
故选：B
7、D
【解析】利用对数函数的单调性，即可容易求得结果.
【详解】因为是单调减函数，
故等价于
故选：D
【点睛】本题考查利用对数函数的单调性解不等式，属基础题.
8、D
【解析】分析：利用指数函数与对数函数及幂函数的行贿可得到，再构造函数，通过分析和的图象与性质，即可得到结论.
详解：由题意在上单调递减，所以，
在上单调递则，所以，
在上单调递则，所以，
令，则其为单调递增函数，显然在上一一对应，
则，
所以，在坐标系中结合和的图象与性质，
量曲线分别相交于在和处，
可见，在时，小于；在时，大于；
在时，小于，
所以，所以，即，综上可知，故选D.
点睛：本题主要考查了指数式、对数式和幂式的比较大小问题，本题的难点在于的大小比较，通过构造指数函数与一次函数的图象与性质分析解决问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定难度，属于中档试题.
9、B
【解析】设，利用向量相等可构造方程组，解方程组求得结果.
【详解】设
则

本题正确选项：
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够通过向量相等构造出方程组，属于基础题.
10、B
【解析】将原图还原到正方体中，连接SC，AS，可确定（或其补角）是PB与AC所成的角.
【详解】因为ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，可将原图还原到正方体中，连接SC，AS，则PB平行于SC，如图所示.

∴（或其补角）是PB与AC所成的角，∵为正三角形，
∴，∴PB与AC所成角为.
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】设此圆的底面半径为，高为，母线为，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出，再根据勾股定理得 ，即得此圆锥高的值
【详解】设此圆的底面半径为，高为，母线为，
因为圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形,
所以，得 ,解之得，
因此,此圆锥的高，
故答案为:
【点睛】本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识，属于基础题．
12、
【解析】对分类讨论，利用正弦函数的图象求出和，代入，解出的范围，即可得解.
【详解】当，即时，，，因为，所以不成立；
当，即时，，，不满足；
当，即时，，，由得，得，得；
当，即时，，，由得，得，得，得；
当，即时，，，不满足；
当，即时，，，不满足.
综上所述：.
所以得最大值为
故答案为：
【点睛】关键点点睛：对分类讨论利用正弦函数的图象求出和是解题关键.
13、9
【解析】利用求的最小值即可.
【详解】，当且仅当a＝b＝时取等号，
不等式恒成立，则m≤9，故m的最大值为9.
故答案为：9.
14、
【解析】当，时，设，把点代入能求出解析式；当，时，设，把点、代入能求出解析式，结合题设条件，列出不等式组，即可求解.
详解】当x∈（0，12]时，设，
过点（12，78）代入得，a
则f（x），
当x∈(12，40]时，
设y＝kx+b，过点B（12，78）、C（40，50）
得，即，
由题意得，或
得4＜x≤12或12＜x＜28，
所以4＜x＜28，
则老师就在x∈（4，28时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳，
故答案为：（4，28）
【点睛】本题考查解析式的求法，考查不等式组的解法，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用，属于中档题
15、
【解析】利用几何意义，设，则k可看作圆上的动点P到原点的连线的斜率，而相切时的斜率为最大或最小值，即可求解.
【详解】由题意作出如下图形：
令，则k可看作圆上的动点P到原点的连线的斜率，而相切时的斜率为最大或最小值，
当直线与圆相切时，在直角三角形OAB中，,∴，∴.

故答案为：
16、9
【解析】根据题意，利用方差公式计算可得数据的方差，进而利用标准差公式可得答案
【详解】根据题意，一组样本数据，且，
平均数，
则其方差
，
则其标准差，
故答案为：9.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、x2＋y2－10x－9y＋39＝0
【解析】法一:设出圆的方程,代入B点坐标,计算参数,即可.法二:设出圆的方程，结合题意，建立方程，计算参数，即可．法三：设出圆的一般方程，代入A,B坐标，建立方程，计算参数，即可．法四：计算CA直线方程，计算BP方程，计算点P坐标，计算半径和圆心坐标，建立圆方程，即可
【详解】法一：由题意可设所求的方程为，
又因为此圆过点，将坐标代入圆的方程求得，
所以所求圆的方程为.

法二：设圆的方程为，
则圆心为，由，,
，解得，
所以所求圆的方程为.
法三：设圆的方程为，由，，在圆上，
得，解得，
所以所求圆的方程为.
法四：设圆心为，则，又设与圆的另一交点为，
则的方程为，
即.
又因为，
所以，所以直线的方程为.
解方程组，得，所以
所以圆心为的中点，半径为.
所以所求圆的方程为.
【点睛】考查了圆方程的计算方法，关键在于结合题意建立方程组，计算参数，即可，难度中等
18、（1）
（2），
（3）最大值为，最小值为
【解析】（1）由周期公式直接可得；
（2）利用正弦函数的单调区间解不等式可得；
（3）先根据x的范围求出的范围，然后由正弦函数的性质可得.
【小问1详解】
的最小正周期
【小问2详解】
由，，得，．所以函数的单调递增区间为，
【小问3详解】
∵，∴
当，即时，
当，即时，.
19、（1）；（2）在上为增函数，证明见解析.
【解析】（1）由可求得的值；
（2）任取，可证明，则，从而可得结论.
【详解】（1）由于是定义在上的奇函数，
故，解得.
经检验，是奇函数；
（2）是上的增函数，证明如下：
任取，
，
由于，所以，，
所以，即，
所以在上为增函数
【点睛】本题主要考查根据奇偶性求参数，考查了函数单调性的判断与证明，同时考查了计算能力，属于中档题.
201）
（2）或
【解析】(1)根据图象可得函数的周期，利用求出，根据五点画图法求出，根据点A坐标求出A，进而得出解析式；
(2)根据三角函数的性质求出的值域，由（1）知，对的取值分类讨论，列出方程组，解之即可.
【小问1详解】
由函数的部分图象可知，函数的周期，
可得，
由五点画图法可知，可得，
有，
又由，可得，
故有函数的解析式为；
【小问2详解】
由（1）知，
函数的值域为
①当时，解得；
②当时，解得
由上知或
21、（1）S＝（0＜＜θ）；（2）当α＝时，S取得最大值为2﹣
【解析】（1）由题意可求得∠ADO，△COD为等腰三角形，在△OAD中利用正弦定理求出AD，从而可用表示矩形ABCD的面积S；
（2）由（1）可得，然后由的范围结合正弦函数的性质可求出其最大值
【详解】解：（1）由题意可得AD∥OE∥CB，
∴∠POE＝∠PDA＝θ，
∴∠ODC＝＝∠DCO，∠BOA＝2θ﹣2，△COD为等腰三角形
故AB＝2sin（θ﹣）， 再由∠ADO＝＝π﹣θ，
△OAD中，利用正弦定理可得， 化简可得AD=
故矩形ABCD的面积S＝f（）＝AB•AD＝（0＜＜θ）
（2）θ＝，由（1）可得S＝f（）＝＝＝
再由 0＜＜可得 ＜2＋＜，
故当 2＋＝，即当＝时，S＝f（）取得最大值为2﹣