上海市奉贤区曙光中学2025-2026学年数学高一上期末检测试题含解析.doc

上海市奉贤区曙光中学2025-2026学年数学高一上期末检测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数在区间单调递减，在区间上有零点，则的取值范围是
A. B.
C. D.
2．圆：与圆：的位置关系为（）
A.相交 B.相离
C.外切 D.内切
3．函数定义域是　　
A. B.
C. D.
4．设函数，则（）
A.是偶函数，且在单调递增 B.是偶函数，且在单调递减
C.是奇函数，且在单调递增 D.是奇函数，且在单调递减
5．一钟表的秒针长，经过，秒针的端点所走的路线长为（ ）
A. B.
C. D.
6．已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最小值是
A. B.
C. D.
7．已知函数为偶函数，则　　
A.2 B.
C. D.
8．已知，则函数（ ）
A. B.
C. D.
9．已知函数的部分函数值如下表所示：
x
1
0.5
0.75
0.625
0.5625

0.6321
－0.1065
0.2776
0.0897
－0.007
那么函数的一个零点的近似值（精确度为0.01）为（）
A.0.55 B.0.57
C.0.65 D.0.7
10．函数的部分图象如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）

A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是__________(填写序号)
①平均数；②标准差；③平均数且极差小于或等于2；
④平均数且标准差；⑤众数等于1且极差小于或等于4
12．正三棱锥P﹣ABC的底面边长为1，E，F，G，H分别是PA，AC，BC，PB的中点，四边形EFGH的面积为S，则S的取值范围是__

13．定义：关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为相连不等式．如果不等式与不等式为相连不等式，且，则_________
14．若f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若方程f（x）=kx恰有3个不同的根，则实数k的取值范围是______
15．已知函数，则____
16．若是幂函数且在单调递增，则实数_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数（，）的部分图象如图所示.

（1）求的解析式；
（2）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；
（3）求实数a和正整数n，使得（）在上恰有2021个零点.
18．已知函数.
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）用函数单调性的定义证明在区间上单调递增；
（3）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．已知集合，
（1）当时，求集合；
（2）若，“”是“”的充分条件，求实数的取值范围
20．已知圆，直线.
（1）若直线与圆交于不同的两点,当时，求的值.
（2）若是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点；
（3）若为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形的面积的最大值.
21．已知以点为圆心的圆过点和，线段的垂直平分线交圆于点、，且,
（1）求直线的方程； （2）求圆的方程
（3）设点在圆上，试探究使的面积为 8 的点共有几个？证明你的结论
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】分析：结合余弦函数的单调减区间，求出零点，再结合零点范围列出不等式
详解：当，，
又∵，则，即，，
由得，，
∴，解得，
综上.
故选C.
点睛：余弦函数的单调减区间：，增区间：，零点：，对称轴：，对称中心：，.
2、A
【解析】根据圆心距以及圆的半径确定正确选项.
【详解】圆：的圆心为，半径为.
圆：的圆心为，半径为.
，，
所以两圆相交.
故选：A
3、A
【解析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域
【详解】解：要使函数有意义，则，
得，即，
即函数的定义域为
故选A
【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：一个是分数的分母不能为零，二个是偶次方根的被开方数为非负数，第三是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数不能为零.
4、D
【解析】利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性，分析函数解析式的结构可得出函数的单调性.
【详解】函数的定义域为，，所以函数为奇函数.
而，可知函数为定义域上减函数，
因此，函数为奇函数，且是上的减函数.
故选：D.
5、C
【解析】计算出秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数，然后利用扇形的弧长公式可计算出答案.
【详解】秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为，
因此，秒针的端点所走的路线长.
故选：C.
【点睛】本题考查扇形弧长的计算，计算时应将扇形的圆心角化为弧度数，考查计算能力，属于基础题.
6、A
【解析】将看作整体，先求的取值范围，再根据不等式恰有一个整点和函数的图像，推断参数，的取值范围
【详解】做出函数的图像如图实线部分所示，由，得，若，则满足不等式，不等式至少有两个整数解，不满足题意，故，所以，且整数解只能是4，当时，，所以，选择A

【点睛】本题考查了分段函数的性质，一元二次不等式的解法，及整体代换思想，数形结合思想的应用，需要根据题设条件，将数学语言转化为图形表达，再转化为参数的取值范围
7、A
【解析】由偶函数的定义，求得的解析式，再由对数的恒等式，可得所求，得到答案
【详解】由题意，函数为偶函数，
可得时，
则，，
可得，
故选A
【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，函数的奇偶性的运用，其中解答中熟练应用对数的运算性质，正确求解集合A，再根据集合的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8、A
【解析】根据，令，则，代入求解.
【详解】因为已知，
令，则，
则，
所以，‘
故选：A
9、B
【解析】根据给定条件直接判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断作答.
【详解】函数在R上单调递增，
由数表知：，
由零点存在性定义知，函数的零点在区间内，
所以函数的一个零点的近似值为.
故选：B
10、D
【解析】由图像知A="1," ,,
得，则图像向右
移个单位后得到的图像解析式为，故选D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、③⑤
【解析】按照平均数、极差、方差依次分析各序号即可.
【详解】连续7天新增病例数：0，0，0，0，2，6，6，平均数是2<3，①错；
连续7天新增病例数：6，6，6，6，6，6，6，标准差是0<2，②错；
平均数且极差小于或等于2，单日最多增加4人，若有一日增加5人，
其他天最少增加3人，不满足平均数，所以单日最多增加4人，③对；
连续7天新增病例数：0，3，3，3，3，3，6，平均数是3且标准差小于2，④错；
众数等于1且极差小于或等于4，最大数不会超过5，⑤对.
故答案为：③⑤.
12、（，+∞）
【解析】由正三棱锥可得四边形EFGH为矩形，并可得其边长与三棱锥棱长关系，从而可得面积S的范围.
【详解】∵棱锥P﹣ABC为底面边长为1的正三棱锥
∴AB⊥PC

又∵E，F，G，H，分别是PA，AC，BC，PD的中点，
∴EH//FG//AB 且EH＝FGAB，
EF//HG //PC且EF＝HGPC
则四边形EFGH为一个矩形
又∵PC，∴EF，
∴S= EFEH，
∴四边形EFGH的面积S的取值范围是（，+∞），
故答案为:（，+∞）
三、
13、＃＃
【解析】二次不等式解的边界值即为与之对应的二次方程的根，利用根与系数的关系可得，整理得，结合范围判定求值
【详解】设的解集为，则的解集为
由二次方程根与系数的关系可得

∴，即
∴，即
又∵，则
∴，即
故答案为：
14、 [-，-）∪（，]
【解析】利用周期与对称性得出f（x）的函数图象，根据交点个数列出不等式得出k的范围
【详解】∵当x＞2时，f（x）=f（x-1），∴f（x）在（1，+∞）上是周期为1的函数，作出y=f（x）的函数图象如下：

∵方程f（x）=kx恰有3个不同的根，∴y=f（x）与y=kx有三个交点，若k＞0，则若k＜0，由对称性可知.
故答案为[-，-）∪（，].
【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数周期与奇偶性的应用，方程根的问题常转化为函数图象的交点问题，属于中档题
15、16、
【解析】令，则，所以，故填.
16、2
【解析】由幂函数可得，解得或2，检验函数单调性求解即可.
【详解】为幂函数，所以，解得或2.
当时，，在不单调递增，舍去；
当时，，在单调递增成立.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及单调性，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
（3）当时，；当时，
【解析】（1）根据图象的特点，通过的周期和便可得到的解析式；
（2）通过换元转化为一元二次不等式的恒成立问题，根据二次函数的特点得到，然后解出不等式即可；
（3）将函数的零点个数问题，转化为的图象与直线的交点个数问题，然后分析在一个周期内与的交点情况，根据的取值情况分类讨论即可
【小问1详解】
根据图象可知，且，的周期为：
解得：，此时，
，且
可得：
解得：
故
【小问2详解】
当时，
令，又恒成立
等价于在上恒成立
令，
则有：开口向上，且，只需即可满足题意
故实数m的取值范围是
【小问3详解】
由题意可得：的图象与直线在上恰有2021个零点
在上时，，分类讨论如下：
①当时，的图象与直线在上无交点；
②当时，的图象与直线在仅有一个交点，此时的图象与直线在上恰有2021个交点，则；
③当或时，的图象与直线在上恰有2个交点，的图象与直线在上有偶数个交点，不会有2021个交点；
④当时，的图象与直线在上恰有3个交点，此时才能使的图象与直线在上有2021个交点.
综上，当时，；当时，.
18、（1）为奇函数，证明见解析
（2）证明见解析（3）
【解析】（1）求出函数的定义域，然后验证、之间的关系，即可证得函数为奇函数；
（2）任取、，且，作差，因式分解后判断差值的符号，即可证得结论成立；
（3）由参变量分离法可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
证明：函数为奇函数，理由如下：
函数的定义域为，，
所以为奇函数.
【小问2详解】
证明：任取、，且，则，，

，
所以，，所以在区间上单调递增.
【小问3详解】
解：不等式在上恒成立
等价于在上恒成立，
令，因为，所以，
则有在恒成立，
令，，则，
所以，所以实数的取值范围为.
19、（1）
（2）
【解析】（1）先化简集合A，由解得集合，然后利用并集运算求解.
（2）根据“”是“”的充分条件，转化为求解.
【小问1详解】
由得：，即，
当时，，
所以.
【小问2详解】
因为，所以，
由“”是“”的充分条件，则，
则，
实数的取值范围是.
201）；（2）直线过定点；（3）
【解析】（1）利用点到直线的距离公式，结合点到的距离，可求的值；
（2）由题意可知：、、、四点共圆且在以为直径的圆上，、在圆上可得直线，的方程，即可求得直线是否过定点；
（3）设圆心到直线、的距离分别为，．则，表示出四边形的面积，利用基本不等式，可求四边形的面积最大值
【详解】解：（1），点到的距离
，

（2）由题意可知：、、、四点共圆且在以为直径的圆上，
设，其方程为：，
即，
又、在圆上
，
即
由，得，
直线过定点）
（3）设圆心到直线、的距离分别为，
则
，

当且仅当即时，取“”
四边形的面积的最大值为
21、（1）；（2） 或；（3）2
【解析】（1）根据直线是线段的垂直平分线的方程，求出线段中点坐标和直线的斜率，即可解直线的方程；
（2）作图，利用圆的几何性质即可；
（3）用面积公式可以推出点Q到直线AB的距离，从而判断出Q的个数.
【详解】由题意作图如下：

（1）∵，的中点坐标为
∴直线的方程为：即；
（2）设圆心，则由在上得……①
又直径为，∴∴……②
①代入②消去得，解得或，
当时，当时∴圆心或，
∴圆的方程为： 或；
（3）∵
∴当面积为 8 时，点到直线的距离为
又圆心到直线的距离为，圆的半径，
且
∴圆上共有两个点，使的面积为 8；
故答案为：， 或，2.