江苏省南京师范大学苏州实验学校2026届数学高一上期末质量检测试题含解析.doc

江苏省南京师范大学苏州实验学校2026届数学高一上期末质量检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．为了得到函数图象，只需把的图象上的所有点（ ）
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
2．设集合，．则（ ）
A. B.
C. D.
3．已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半圆画，则该几何体的体积为（ ）

A B.
C. D.
4．如图，正方体中，直线与所成角大小为

A. B.
C. D.
5．一条侧棱垂直于底面的三棱锥P﹣ABC的三视图不可能是（ ）
A.直角三角形
B.等边三角形
C.菱形
D.顶角是90°的等腰三角形
6．半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）
A. B.
C. D.
7．下列关系中，正确的是　　
A. B.
C. D.
8．已知定义在R上的函数满足，且当]时，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
9．若方程的两实根中一个小于，另一个大于，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知非零向量、满足，，在方向上的投影为，则_______.
12．若一个扇形的周长为，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为__________
13．在空间直角坐标系中，点和之间的距离为____________.
14．已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数f(x)=x-[x].有下列结论:
①函数的图象是一条直线;②函数f(x)的值域为[0，1);③方程f(x)=有无数个解;④函数是R上的增函数.其中正确的是____.(填序号)
15．某工厂生产的产品中有正品和次品，其中正品重/个，次品重/个.现有10袋产品（每袋装100个），其中1袋装的全为次品，其余9袋装的全为正品.将这10袋产品从1～10编号，从第i号袋中取出i个产品，则共抽出______个产品；将取出的产品一起称重，称出其重量，则次品袋的编号为______.
16．已知，，当时，关于的不等式恒成立，则的最小值是_________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，
（1）求的单调递增区间.
（2）求在区间上的最大、最小值，并求出取得最值时的值.
18．如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，求此几何体的体积

19．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.
20．已知，
（1）若，求a的值；
（2）若函数在内有且只有一个零点，求实数a的取值范围
21．已知不等式的解集是
（1）若且，求的取值范围；
（2）若，求不等式的解集
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】利用三角函数图象的平移规律可得结论.
【详解】因为，
所以，为了得到函数的图象，只需把的图象上的所有点向右平移个单位.
故选：D.
2、A
【解析】先求得，然后求得.
【详解】.
故选：A
3、C
【解析】由三视图可知，该几何体为半个圆柱，故体积为.
4、C
【解析】连接通过线线平行将直线与所成角转化为与所成角，然后构造等边三角形求出结果
【详解】
连接如图
就是与所成角或其补角，
在正方体中，，
故直线与所成角为.
故选C.
【点睛】本题考查了异面直线所成角的大小的求法，属于基础题，解题时要注意空间思维能力的培养.
5、C
【解析】直接利用空间图形和三视图之间的转换的应用求出结果
【详解】由于三棱锥P﹣ABC的一条侧棱垂直于底面，
所以无论怎样摆放，该三视图都为三角形，不可能为菱形
故选：C
【点睛】本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题
6、C

【解析】求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积．
【详解】设底面半径为r，则，所以.
所以圆锥高.
所以体积.
故选：C.
【点睛】本题考查圆锥的性质及体积，圆锥问题抓住两个关键点：（1）圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面周长；（2）圆锥底面半径r、高h、母线l组成直角三角形，满足勾股定理，本题考查这两种关系的应用，属于简单题.
7、C
【解析】利用元素与集合的关系依次对选项进行判断即可
【详解】选项A：，错误；
选项B，，错误；
选项C，，正确；
选项D， 与是元素与集合的关系，应该满足，故错误；
故选C
【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题
8、A
【解析】由，可得的周期为，利用周期性和单调性化简计算即可得出结果.
【详解】因为，所以的周期为
当时，，则在上单调递减，所以在上单调递减
因为，且
所以
故
故选：A.
9、A
【解析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】由可得，
令，由已知可得，解得，
故选：A.
10、A
【解析】先判断函数的奇偶性，再根据特殊点的函数值选出正确答案.
【详解】对于，
∵，
∴为偶函数，图像关于y轴对称，排除D；
由，排除B；
由，排除C.
故选：A.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用向量数量积的几何意义得出，在等式两边平方可求出的值，然后利用平面向量数量积的运算律可计算出的值.
【详解】，在方向上的投影为，，
，
则，
可得，因此，.
故答案：.
【点睛】本题考查平面向量数量积计算，涉及利用向量的模求数量积，同时也考查了向量数量积几何意义的应用考查计算能力，属于基础题.
12、4
【解析】设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积
【详解】设扇形的半径为：R，所以2R+2R＝8，所以R＝2，扇形的弧长为：4，半径为2，
扇形的面积为：4（cm2）
故答案为4
【点睛】本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，考查计算能力
13、
【解析】利用空间两点间的距离公式求解.
【详解】由空间直角坐标系中两点间距离公式可得.
故答案为：
14、②③##③②
【解析】画出的图象，即可判断四个选项的正误.
【详解】画出函数的图象，如图所示，可以看出函数的图象不是一条直线，故A错误；函数f(x)的值域为，故②正确；方程有无数个解，③正确；函数是分段函数，且函数不是R上的增函数，故④错误.

故答案为：②③
15、 ①.55 ②.8
【解析】将这10袋产品从编号，从第号袋中取出个产品，2，，，则共抽出个产品；将取出的产品一起称重，称出其重量，得到取出的次品的个数为8个，进而能求出次品袋的编号
【详解】某工厂生产的产品中有正品和次品，其中正品重个，次品重个
现有10袋产品（每袋装100个），其中1袋装的全为次品，其余9袋装的全为正品
将这10袋产品从编号，从第号袋中取出个产品，2，，，
则共抽出个产品；
将取出的产品一起称重，称出其重量，
取出的次品的个数为8个，
则次品袋的编号为8
故答案为：55；8
16、4
【解析】由题意可知，当时，有，所以，
所以
点睛：本题考查基本不等式的应用．本题中，关于的不等式恒成立，则当时，有，得到，所以．本题的关键是理解条件中的恒成立

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）或时，当时
【解析】分析：（1）先利用辅助角公式化简函数f(x)，再利用复合函数的单调性性质求的单调递增区间.（2）利用不等式的性质和三角函数的图像和性质求在区间上的最大、最小值，并求出取得最值时的值.
详解：（1），
由得，
∴的单调递增区间为
（2）当时， 当或，
即或时， 当即时
点睛：（1）本题主要考查三角函数的单调性和区间上的最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值.
18、96
【解析】，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．所以V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥
试题解析：

如图，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．所以V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥．由题知三棱柱ABC­NDM的体积为V1＝×8×6×3＝72.
四棱锥D­MNEF体积为V2＝S梯形MNEF·DN＝××(1＋2)×6×8＝24，
则几何体的体积为V＝V1＋V2＝72＋24＝96.
点睛：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解
19、
【解析】因为和关于轴对称，所以，那么，或），
所以.
【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差余弦公式
【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则 ，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.
20、（1）
（2）
【解析】(1)由即可列方程求出a的值；
(2)化简f(x)解析式，利用进行换元，将问题转化为在内有且只有一个零点，在上无零点进行讨论.
【小问1详解】
由得，
即，
，
解得，
∵，∴；
【小问2详解】
，
令，
则当时，，，
，
在内有且只有一个零点等价于在内有且只有一个零点，在上无零点.
∵a＞1，在内为增函数.
①若在内有且只有一个零点，内无零点，
故只需，解得；
②若为的零点，内无零点，
则，得，
经检验，符合题意
综上，实数a的取值范围是
21、（1）（2）
【解析】（1）根据且知道满足不等式，不满足不等式，解出即可得出答案
（2）根据知道是方程的两个根，利用韦达定理求出a值，再带入不等式，解出不等式即可
【详解】（1）

（2）∵，∴是方程的两个根，
∴由韦达定理得解得∴不等式即为：其解集为
【点睛】本题考查元素与集合的关系、一元二次不等式与一元二次等式的关系，属于基础题