辽宁省大连育明高级中学2025-2026学年数学高一上期末达标检测试题含解析.doc

辽宁省大连育明高级中学2025-2026学年数学高一上期末达标检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知点在函数的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是（）
A. B.
C. D.
2．函数的图象如图所示，则函数的零点为（ ）

A. B.
C. D.
3．若，则（）
A.“”是“”的充分不必要条件 B.“”是“”的充要条件
C.“”是“”的必要不充分条件 D.“”是“”的既不充分也不必要条件
4．图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地利用一表高为的圭表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（）（参考数据：，）

A. B.
C. D.
5．如图，点，，分别是正方体的棱，的中点，则异面直线和所成的角是（ ）

A. B.
C. D.
6．使幂函数为偶函数，且在上是减函数的值为（　　）
A. B.
C. D.2
7．函数为定义在R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．函数的图像大致是
A. B.
C. D.
9．设函数则　　
A.1 B.4
C.5 D.9
10．若，是第二象限的角，则的值等于（ ）
A. B.7
C. D.-7
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，若关于的方程在上有个不相等的实数根，则实数的取值范围是___________.
12．已知，，若与的夹角是锐角，则的取值范围为______
13．已知正三棱柱的所有顶点都在球的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2，高为，则球的表面积为________
14．两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为________．
15．对于定义在上的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调递增的；②当时，函数的值域也是，则称是函数的一个“递增黄金区间”.下列函数中存在“递增黄金区间”的是：___________.（填写正确函数的序号）
①；②；③；④.
16．写出一个周期为且值域为的函数解析式：_________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，（，，）图象的一部分如图所示.

（1）求函数的解析式；
（2）当时，求的值域.
18．已知函数是奇函数，是偶函数
（1）求的值；
（2）设，若对任意恒成立，求实数a的取值范围
19．已知函数是定义域为的奇函数，当时，.
（1）求出函数在上解析式；
（2）若与有3个交点，求实数的取值范围.
20．一只口袋装有形状大小都相同的只小球，其中只白球，只红球，只黄球，从中随机摸出只球，试求
（1）只球都是红球的概率
（2）只球同色概率
（3）“恰有一只是白球”是“只球都是白球”的概率的几倍？
21．已知函数过点
（1）求的解析式；
（2）求的值；
（3）判断在区间上的单调性，并用定义证明
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】由题意可得，再依次验证四个选项的正误即可求解.
【详解】因为点在函数的图象上，
所以，
，故选项A不正确；
，故选项B不正确；
，故选项C不正确；
，故选项D正确.
故选：D
2、B
【解析】根据函数的图象和零点的定义，即可得出答案.
【详解】解根据函数的图象，可知与轴的交点为，
所以函数的零点为2.
故选：B.
3、C
【解析】根据推出关系依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】对于A，，，则“”是“”的必要不充分条件，A错误；
对于B，，，则“”是“”的充分不必要条件，B错误；
对于C，，，则“”是“”的必要不充分条件，C正确；
对于D，，，则“”是“”的充分不必要条件，D错误.
故选：C.
4、B
【解析】由题意有，可得，从而可得
【详解】由图1可得，又，
所以，所以，

所以，
该地的纬度约为北纬，
故选：
5、C
【解析】通过平移的方法作出直线和所成的角，并求得角的大小.
【详解】依题意点，，分别是正方体的棱，的中点，
连接，结合正方体的性质可知，
所以是异面直线和所成的角，
根据正方体的性质可知，是等边三角形，所以，
所以直线和所成的角为.
故选：C

【点睛】本小题主要考查线线角的求法，属于基础题.
6、B
【解析】根据幂函数的性质确定正确选项.
【详解】A选项，是奇函数，不符合题意.
B选项，为偶函数，且在上是减函数，符合题意.
C选项，是非奇非偶函数，不符合题意.
D选项，，在上递增，不符合题意.
故选：B
7、B
【解析】由在单调递增可得函数为增函数，保证两个函数分别单调递增，且连接点处左端小于等于右端的函数值即可
【详解】由题意，函数为定义在R上的单调函数
且在单调递增
故在单调递增，即
且在处，
综上：
解得
故选：B
8、A
【解析】依题意，，函数为减函数，且由向右平移了一个单位，故选.
点睛：本题主要考查对数函数的图像与性质，考查图像的平移变换.对于对数函数，当时，函数为减函数，图像过，当时，函数为增函数，图像过.函数与函数的图像可以通过平移得到，口诀是“左加右减”.在平移过程中要注意原来图像的边界.
9、C
【解析】根据题意，由函数的解析式求出与的值，相加即可得答案
【详解】根据题意，函数，
则，
又由，
则，
则；
故选C
【点睛】本题考查对数的运算，及函数求值问题，其中解答中熟记对数的运算，以及合理利用分段函数的解析式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题
10、B
【解析】先由同角三角函数关系式求出，再利用两角差的正切公式即可求解.
【详解】因为，是第二象限的角，
所以，所以.
所以.
故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】数形结合，由条件得在上有个不相等的实数根，结合图象分析根的个数列不等式求解即可.
【详解】作出函数图象如图所示：

由，得，
所以，且，
若，即在上有个不相等的实数根，
则 或，
解得.
故答案为：
【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：
（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；
（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.
12、
【解析】利用坐标表示出和，根据夹角为锐角可得且与不共线，从而构造出不等式解得结果.
【详解】由题意得：，

解得：
又与不共线，解得：

本题正确结果：
【点睛】本题考查根据向量夹角求解参数范围问题，易错点是忽略两向量共线的情况.
13、
【解析】首先判断正三棱柱外接球的球心，即上下底面正三角形中心连线的中点，然后构造直角三角形求半径，代入公式求解.
【详解】如图：设和分别是上下底面等边三角形的中心，
由题意可知连线的中点就是三棱柱外接球的球心，连接，
是等边三角形，且，，
，
球的表面积.

故答案为：
【点睛】本题考查求几何体外接球的表面积的问题，意在考查空间想象能力和转化与化归和计算能力，属于基础题型.
14、
【解析】设两球半径分别为，由可得，所以．即两球的表面积之比为
考点：球的表面积，体积公式．
15、②③
【解析】由条件可得方程有两个实数解，然后逐一判断即可.
【详解】∵在上单调递增，由条件②可知，即方程有两个实数解；
∵x+1=x无实数解，∴①不存在“递增黄金区间”；
∵的两根为：1和2，不难验证区间[1，2]是函数的一个“递增黄金区间”；
在同一坐标系中画出与的图象如下：

由图可得方程有两个根，∴③也存在“递增黄金区间”；
在同一坐标系中画出与的图象如下：

所以没有实根，∴④不存在.
故答案为：②③.
16、
【解析】根据函数的周期性和值域，在三角函数中确定一个解析式即可
【详解】解：函数的周期为，值域为,，
则的值域为,，
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），（2）
【解析】（1）根据函数的最大值得到，根据周期得到，根据得到，从而得到.
（2）首先根据题意得到，再根据，利用正弦函数图象性质求解值域即可.
【详解】（1）因为，，所以.
又因为，所以，即，.
因为，，，
所以，又因为，所以，.
（2）
.
因为，所以，
所以，即，
故函数的值域为.
18、（1）
（2）
【解析】（1）利用奇函数的定义可求得实数的值，利用偶函数的定义可求得实数的值，即可求得的值；
（2）分析可知函数在上为增函数，可求得，根据已知条件得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：由于为奇函数，且定义域为，则，
因为，所以，，
所以，恒成立，所以，，即.
由于，，
是偶函数，
，则，
所以，，所以，，
因此，.
小问2详解】
解：，，
因为函数在上为增函数，函数在上为减函数，
所以，函数在区间上是增函数，
当时，，所以，，
由题意得，解之得，
因此，实数的取值范围是.
19、（1）；（2）.
【解析】（1）利用函数的奇偶性求出函数的解析式即可
（2）与图象交点有3个，画出图象观察，求得实数的取值范围
【详解】（1）①由于函数是定义域为的奇函数，则；
②当时，，因为是奇函数，所以.
所以.
综上：.
（2）图象如下图所示：

单调增区间： 单调减区间：.
因为方程有三个不同的解，
由图象可知， ，即
20、（1）（2）（3）8
【解析】记两只白球分别为，；两只红球分别为，；两只黄球分别为，
用列举法得出从中随机取2只的所有结果；
（1）列举只球都是红球的种数，利用古典概型概率公式，可得结论；
（2）列举只球同色的种数，利用古典概型概率公式，可得结论；
（3）求出恰有一只是白球的概率，只球都是白球的概率，可得结论
【详解】解：记两只白球分别，；两只红球分别为，；两只黄球分别为，
从中随机取2只的所有结果为，，，，，
，，，，，，，，
，共15种
（1）只球都是红球为共1种，概率
（2）只球同色的有：，，，共3种，概率
（3）恰有一只是白球的有：，，，，，，，，共8种，概率;
只球都是白球的有：，概率
所以：“恰有一只是白球”是“只球都是白球”的概率的8倍
【点睛】本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题
21、（1）
（2）
（3）在区间上单调递增；证明见解析
【解析】（1）直接将点的坐标代入函数中求出，从而可求出函数解析式，
（2）直接利用解析求解即可，
（3）利用单调性的定义直接证明即可
【小问1详解】
∵函数∫过点，∴，
∴，得的解析式为：
【小问2详解】

【小问3详解】
在区间上单调递增
证明：，且，有

∵，
∴
∴，即
∴在区间上单调递增