上海第二工业大学附属龚路中学2025年数学高一上期末调研试题含解析.doc

上海第二工业大学附属龚路中学2025年数学高一上期末调研试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知菱形的边长为2，，点分别在边上，,.若，则等于(　　)
A. B.
C. D.
2．若两平行直线与之间的距离是，则
A.0 B.1
C.-2 D.-1
3．已知函数（，且）在上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是
A. B.[，]
C.[，]{} D.[，）{}
4．已知角的终边经过点，则的值为
A. B.
C. D.
5．已知函数，则的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
6．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（）
A. B.
C. D.
7．已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，，则直角梯形边的长度是

A. B.
C. D.
8．已知指数函数的图象过点，则（）
A. B.
C.2 D.4
9．已知，，，则a、b、c的大小顺序为（）
A. B.
C. D.
10．函数的定义域为
A B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若函数在单调递增，则实数的取值范围为________
12．若，则的值为______
13．给出下列命题：
①存在实数，使；
②函数是偶函数；
③若是第一象限角，且，则；
④是函数的一条对称轴方程
以上命题是真命题的是_______（填写序号）
14．在中，已知是上的点，且，设，，则＝_．(用，表示)

15．已知函数，，若关于x的方程（）恰好有6个不同的实数根，则实数λ的取值范围为_______.
16．若函数满足，且当时，则______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．函数f（x）=Asin（2ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示
（1）求A，ω，φ的值；
（2）求图中a，b的值及函数f（x）的递增区间；
（3）若α∈[0，π]，且f（α）=，求α的值

18．一次高三高考适应性测试，化学、地理两选考科目考生的原始分数分布如下：
等级
A
B
C
D
E
比例
约
约
约
约
约
化学学科各等级对应的原始分区间

地理学科各等级对应的原始分区间

（1）分别求化学、地理两学科原始成绩分数的分位数的估计值（结果四舍五入取整数）；
（2）按照“”新高考方案的“等级转换赋分法”，进行等级赋分转换，求（1）中的估计值对应的等级分，并对这种“等级转换赋分法”进行评价.
附：“”新高考方案的“等级转换赋分法”
（一）等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间
等级
A
B
C
D
E
原始分从高到低排序的等级人数占比
约
约
约
约
约
转换分T的赋分区间

（二）计算等级转换分T的等比例转换赋分公式：，其中分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限（T的计算结果四舍五入取整数）.
19．已知函数.
（1）用“五点法”做出函数在上的简图；
（2）若方程在上有两个实根，求a的取值范围.
20．一家货物公司计划在距离车站不超过8千米的范围内征地建造仓库，经过市场调查了解到下列信息：征地费用（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：千米）的关系为.为了交通方便，仓库与车站之间还要修一条道路，修路费用（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：千米）成正比.若仓库到车站的距离为3千米时修路费用为18万元.设为征地与修路两项费用之和.
（1）求的解析式；
（2）仓库应建在离车站多远处，可使总费用最小，并求最小值
21．已知函数，.
（1）求函数图形的对称轴；
（2）若，不等式的解集为，，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】，，即①，同理可得②，①+②得，故选C
考点：1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算
2、C
【解析】∵l1∥l2，∴n=-4，l2方程可化为为x+2y－3=0.又由d=，
解得m=2或－8（舍去），∴mn=-2.
点睛：两平行线间距离公式是对两平行线方程分别为，，则距离为，要注意两直线方程中的系数要分别相等，否则不好应用此公式求距离
3、C
【解析】由在上单调递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，，又时，抛物线与直线相切，也符合题意，∴实数的取值范围是，故选C.
【考点】函数性质综合应用
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解
4、C
【解析】因为点在单位圆上，又在角的终边上，所以；
则；故选C.
5、A
【解析】由于，所以.
6、D
【解析】依次判断4个选项的单调性及奇偶性即可.
【详解】对于A，在区间上单调递增，错误；
对于B，，由得，单调递增，错误；
对于C，当时，没有意义，错误；
对于D，为偶函数，且在时，单调递减，正确.
故选：D.
7、B
【解析】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半，
原高为
而横向长度不变，且梯形是直角梯形，

故选
8、C
【解析】由指数函数过点代入求出，计算对数值即可.
【详解】因为指数函数的图象过点，
所以，即，
所以，
故选：C
9、D
【解析】由对数的运算性质可判断出，而由已知可得，从而可判断出，进而可比较大小
详解】由，故，
因为，所以，
因为，所以，所以，即

故选：D
10、C
【解析】要使得有意义，要满足真数大于0，且分母不能为0，即可求出定义域.
【详解】要使得有意义，则要满足，解得.答案为C.
【点睛】常见的定义域求解要满足：（1）分式：分母0；
（2）偶次根式：被开方数0；
（3）0次幂：底数0；
（4）对数式：真数，底数且；
（5）：；

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据复合函数单调性性质将问题转化二次函数单调性问题，注意真数大于0.
【详解】令，则，因为为减函数，所以在上单调递增等价于在上单调递减，且，即，解得.
故答案为：
12、0
【解析】由，得到
∴sin
∴2sin+4
两边都除以，得：2tan
故答案为0
13、②④
【解析】根据三角函数的性质，依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：①因为，故不存在实数，使得成立，错误；
②函数，由于是偶函数，故是偶函数，正确；
③若，均为第一象限角，显然，故错误；
④当时，，由于是函数的一条对称轴，故是函数的一条对称轴方程，正确.
故正确的命题是：②④
故答案为：②④
14、＋##
【解析】根据平面向量的线性运算可得答案.
【详解】因为，所以，所以可解得
故答案为：
15、
【解析】令，则方程转化为，可知可能有个不同解，二次函数可能有个不同解，由恰好有6个不同的实数根，可得有2个不同的实数根，有3个不同的实数根，则，然后根据，，分3种情况讨论即可得答案.
【详解】解：令，则方程转化为，画出的图象，如图

可知可能有个不同解，二次函数可能有个不同解，
因为恰好有6个不同的实数根，所以有2个不同的实数根，有3个不同的实数根，则，
因为，解得，，解得，
所以，，每个方程有且仅有两个不相等的实数解，
所以由，可得，即，解得；
由，可得，即，解得；
由，可得，
即，而在上恒成立，
综上，实数λ的取值范围为.
故答案为：.
16、1009
【解析】推导出，当时，从而当时，，，由此能求出的值
【详解】∵函数满足，
∴，
∵当时，
∴当时，，，
∴
故答案为1009
【点睛】本题主要考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2），递增区间为；（3）或.
【解析】（1）利用函数图像可直接得出周期T和A，再利用，求出，
然后利用待定系数法直接得出的值
（2）通过第一问求得的值可得到的函数解析式，令再根据a的位置确定出a的值；令得到的函数值即为b的值；利用正弦函数单调增区间即可求出函数的单调增区间
（3）令结合即可求得的取值
【详解】解：（1）由图象知A=2，=-（-）=，
得T=π，
即=2，得ω=1，
又f（-）=2sin[2×（-）+φ]=-2，
得sin（-+φ）=-1，
即-+φ=-+2kπ，
即ω=+2kπ，k∈Z，
∵|φ|＜，
∴当k=0时，φ=，
即A=2，ω=1，φ=；
（2）a=--=--=-，
b=f（0）=2sin=2×=1，
∵f（x）=2sin（2x+），
∴由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
即函数f（x）的递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z；
（3）∵f（α）=2sin（2α+）=，
即sin（2α+）=，
∵α∈[0，π]，
∴2α+∈[，]，
∴2α+=或，
∴α=或α=
【点睛】关于三角函数图像需记住：
两对称轴之间的距离为半个周期；
相邻对称轴心之间的距离为半个周期；
相邻对称轴和对称中心之间的距离为个周期
关于正弦函数单调区间要掌握：
当时，函数单调递增；
当时，函数单调递减
18、（1）；（2）化学和地理的等级分都是，评价见解析.
【解析】（1）根据题目所给数据求得的估计值.
（2）根据赋分公式求得化学和地理的等级分，并由此进行评价.
【详解】（1）依题意，.
（2）设化学的等级分为，
则.
设地理的等级分为，
则.
等级赋分的意义是将不同科目的成绩进行比较.如果本题中和都是，说明化学分，和地理分，在考生中的排位是相同的.
19、（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）根据“五点法”作图法，列表、描点、作图，即可得到结果；
（2）将原问题转化为与在上有两个不同的交点，作出函数在的图象，由数形结合即可得到结果.
【小问1详解】
解：列表：
x
0

1

1
3
1
作图：
【小问2详解】
解：若方程在上有两个实根，
则与在上有两个不同交点，
因为，所以
作出函数在的图象，如下图所示：

又，，，，
由图象可得，或，
故a的取值范围是.
20、（1），；（2）当仓库建在离车站5千米时，总费用最少，最小值为70万元.
【解析】（1）先设，依题意求参数，即得的解析式；
（2）先整理函数，再利用基本不等式求最值，即得函数最小值及取最小值的条件.
【详解】解：（1）根据题意，设修路费用， ，解得，.
，；
（2）=，当且仅当 即时取等号.
当仓库建在离车站5千米时，总费用最少，最小值为70万元.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）利用余弦的降幂扩角公式化简为标准正弦型函数，进而求解对称轴即可；
（2）求得函数在区间上的值域，以及绝对值不等式的解集，根据集合之间的包含关系，即可求得参数的取值范围.
【详解】（1）

，
解得：；
（2），，
，
又解得
而
，得.
【点睛】本题考查利用降幂扩角公式以及辅助角公式化简三角函数，以及三角函数对称轴和值域的求解，涉及根据集合之间的关系求参数的取值范围，属综合中档题.