河南省郑州市中原区第一中学2025-2026学年数学高一第一学期期末教学质量检测试题含解析.doc

河南省郑州市中原区第一中学2025-2026学年数学高一第一学期期末教学质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．用斜二测画法画一个水平放置平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中BC=AB=2，则原平面图形的面积为（）

A. B.
C. D.
2．命题“，都有”的否定为（）
A.，使得 B.，使得
C.，都有 D.，使得
3．已知函数，，则函数的值域为（）
A. B.
C. D.
4．如图，在正四棱柱中，，点是平面内的一个动点，则三棱锥的正视图和俯视图的面积之比的最大值为

A B.
C. D.
5．如图所示，在中，．若，，则（）

A. B.
C. D.
6．下列函数中最小正周期为的是
A. B.
C. D.
7．直线与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8．定义在上的连续函数有下列的对应值表：

0
1
2
3
4
5
6

0
-1.2
-0.2
2.1
-2
3.2
2.4
则下列说法正确是
A.函数在上有4个零点 B.函数在上只有3个零点
C.函数在上最多有4个零点 D.函数在上至少有4个零点
9．已知的值域为，那么的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10．已知函数（ω>0），对任意x∈R，都有≤，并且在区间上不单调，则ω的最小值是（　　）
A.6 B.7
C.8 D.9
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设函数且是定义域为的奇函数；
（1）若，判断的单调性并求不等式的解集；
（2）若，且，求在上的最小值
12．计算：___________.
13．若幂函数是偶函数，则___________.
14．高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为，其中表示不超过x的最大整数.例如：，.已知函数，若，则________；不等式的解集为________.
15．设角的顶点与坐标原点重合，始变与轴的非负半轴重合，若角的终边上一点的坐标为，则的值为__________
16．已知，，则______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数．

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）在所给坐标系中画出函数在区间的图象（只作图不写过程）．
18．已知集合，集合
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围
19．某种放射性元素的原子数随时间的变化规律是，其中是正的常数，为自然对数的底数.
（1）判断函数是增函数还是减函数；
（2）把表示成原子数的函数.
20．已知直线
（1）求直线的斜率；
（2）若直线m与平行，且过点，求m的方程.
21．已知函数为奇函数
（1）求实数的值，判断函数的单调性并用定义证明；
（2）求关于的不等式的解集
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】先求出直观图中，∠ADC=45°，AB=BC=2，，DC=4，即可得到原图形是一个直角梯形和各个边长及高，直接求面积即可.
【详解】直观图中，∠ADC=45°，AB=BC=2，DC⊥BC，∴，DC=4，
∴原来的平面图形上底长为2，下底为4，高为的直角梯形，
∴该平面图形面积为.
故选：C
2、A
【解析】根据全称命题的否定表示方法选出答案即可.
【详解】命题“ 都有”的否定为：
“ 使得”，所以选项A正确.
故选：A.
3、B
【解析】根据给定条件换元，借助二次函数在闭区间上的最值即可作答.
【详解】依题意，函数，，令，则在上单调递增，即，
于是有，当时，，此时，，
当时，，此时，，
所以函数的值域为.
故选：B
4、B
【解析】由题意可知，P在正视图中的射影是在C1D1上，
AB在正视图中，在平面CDD1C1上的射影是CD，P的射影到CD的距离是AA1=2，
所以三棱锥P﹣ABC的正视图的面积为
三棱锥P﹣ABC的俯视图的面积的最小值为，
所以三棱锥P﹣ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为，
故选B
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
5、C
【解析】根据．且，，利用平面向量的加法,减法和数乘运算求解.
【详解】因为．且，，
所以，

，
，
.
故选：C
6、A
【解析】利用周期公式对四个选项中周期进行求解
【详解】A项中Tπ，
B项中T，
C项中T，
D项中T，
故选A
【点睛】本题主要考查了三角函数周期公式的应用．对于带绝对值的函数解析式，可结合函数的图象来判断函数的周期
7、D
【解析】如图所示：
当直线过（1,0）时，将（1,0）代入直线方程得：m=；
当直线与圆相切时，圆心到切线的距离d=r，即，
解得：m=舍去负值.
则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时，m的范围为.
故选D
8、D
【解析】由表格数据可知，连续函数满足，根据零点存在定理可得，在区间 上，至少各有一个零点，所以函数在上至少有 个零点，故选D.
9、C
【解析】先求得时的值域，再根据题意，当时，值域最小需满足，分析整理，即可得结果.
【详解】当，，
所以当时，，
因为的值域为R，
所以当时，值域最小需满足
所以，解得，
故选：C
【点睛】本题考查已知函数值域求参数问题，解题要点在于，根据时的值域，可得时的值域，结合一次函数的图像与性质，即可求得结果，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题.
10、B
【解析】根据，得为函数的最大值，建立方程求出的值，利用函数的单调性进行判断即可
【详解】解：对任意，都有，
为函数的最大值，则，，
得，，
在区间，上不单调，
，
即，即，得，
则当时，最小.
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、（1）是增函数，解集是
（2）
【解析】（1）根据函数为奇函数，求得，得到，由，求得，得到是增函数，把不等式转化为，结合单调性，即可求解；
（2）由，求得，得到，得出，
令，结合指数函数的性质和换元法，即可求解.
【小问1详解】
解：因为函数且是定义域为的奇函数，
可得，即，
可得，所以，即，
由，可得且且，解得，
所以是增函数，
又由，可得，
所以，解得，所以不等式的解集是
【小问2详解】
解：由函数，
因为，即且，解得，所以，
由，
令，则由（1）得在上是增函数，故，
则在单调递增，
所以函数的最小值为，
即在上最小值为.
12、7
【解析】直接利用对数的运算法则以及指数幂的运算法则化简即可.
【详解】

.
故答案为：7.
13、
【解析】根据幂函数的定义得，解得或，再结合偶函数性质得.
【详解】解：因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，，为奇函数，不满足，舍；
当时，，为偶函数，满足条件.
所以
故答案为：
14、 ①. ②.
【解析】第一空：”根据“高斯函数”的定义，可得，进而再分类讨论建立方程求值即可；第二空：分类讨论建立不等式求解即可.
【详解】由题意，得，
当时，，即；
当时，，即(舍)，
综上；
当时，，即，
当时，，即，
综上，.
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：求解分段函数相关问题的关键是“分段归类”，即应用分类讨论思想.
15、
【解析】
16、
【解析】把已知的两个等式两边平方作和即可求得cos（α﹣β）的值
【详解】解：由已知sinα+sinβ＝1①，
cosα+cosβ＝0②，
①2+②2得：2+2cos（α﹣β）＝1，
∴cos（α﹣β），
故答案为
点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角差的余弦，是基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）最小正周期T＝π；单调递减区间为（k∈Z）；（2）图象见解析．
【解析】（1）利用二倍角公式化简函数，再根公式求函数的周期和单调递减区间；（2）利用“五点法”画出函数的图象.
【详解】解：f（x）＝＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin（2x＋）
（1）∴函数f（x）的最小正周期T＝＝π，
当2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，时，即2kπ＋≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，故kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z
∴函数f（x）单调递减区间为[kπ＋，kπ＋π]（k∈Z）
（2）图象如下：

18、（1）；（2）；（3）
【解析】（1）求出集合，利用并集的定义可求得集合；
（2）利用可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（3）分和两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式组，可求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，则；
（2）由知，解得，即的取值范围是；
（3）由得
①若，即时，符合题意；
②若，即时，需或
得或，即
综上知，即实数的取值范围为
【点睛】易错点睛：在求解本题第（3）问时，容易忽略的情况，从而导致求解错误.
19、 (1)减函数；(2)（其中）.
【解析】（1）即得是关于的减函数；
（2）利用指数式与对数式的互化，可以把t表示为原子数N的函数
试题解析：
（1）由已知可得
因为是正常数，，所以，即，
又是正常数，所以是关于的减函数
（2）因为，所以，所以，即（其中）.
点睛：本题利用指数函数的单调性即可容易得出函数的单调性，利用指数与对数的互化可得出函数的表达式.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）将直线变形为斜截式即可得斜率；
（2）由平行可得斜率，再由点斜式可得结果.
【详解】（1）由，可得，
所以斜率为；
（2）由直线m与平行，且过点，
可得m的方程为，整理得：.
21、（1），函数为R上的增函数，证明见解析
（2）
【解析】(1)f(x)是R上奇函数，则f(0)＝0，即可求出a；设R，且，作差化简判断大小关系，根据单调性的定义即可判断单调性；
(2)，根据(1)中单调性可去掉“f”，将问题转化为解三角不等式.
【小问1详解】
∵的定义域是R且是奇函数，
∴，即.
为R上的增函数，证明如下：
任取R，且，
则，
∴为增函数，，∴
∴，
∴，即，
∴在R上是增函数
【小问2详解】
∵，，
又在R上是增函数，，即，
，
∴原不等式的解集为.