甘肃省靖远第四中2025年高一数学第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

甘肃省靖远第四中2025年高一数学第一学期期末学业质量监测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，则半径的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2．已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．以下元素的全体不能够构成集合的是
A.中国古代四大发明 B.周长为的三角形
C.方程的实数解 D.地球上的小河流
4．在四面体中，已知棱的长为，其余各棱长都为1，则二面角的平面角的余弦值为（ ）

A. B.
C. D.
5．植物研究者在研究某种植物1-5年内的植株高度时，将得到的数据用下图直观表示.现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1-5年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是（ ）

A.(且 )
B.(，且 )
C.
D.
6．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（ ）
A. B.
C. D.
7．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
8．已知向量，，若与共线，则等于（ ）
A. B.
C. D.
9．某圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角为　　
A. B.
C. D.1
10．已知直线过，两点，则直线的斜率为
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设、为平面向量，若存在不全为零的实数λ，μ使得λμ0，则称、线性相关，下面的命题中，、、均为已知平面M上的向量
①若2，则、线性相关；
②若、为非零向量，且⊥，则、线性相关；
③若、线性相关，、线性相关，则、线性相关；
④向量、线性相关的充要条件是、共线
上述命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）
12．为了实现绿色发展，避免用电浪费，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”．计费方法如表所示，若某户居民某月交纳电费227元，则该月用电量为_______度．
每户每月用电量
电价
不超过210度的部分
0.5元/度
超过210度但不超过400度的部分
0.6元/度
超过400度的部分
0.8元/度

13．奇函数的定义域为，若在上单调递减，且，则实数的取值范围是________________ .
14．函数定义域是____________
15．设，且，则的取值范围是________.
16．求方程在区间内的实数根，用“二分法”确定的下一个有根的区间是____________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解关于的不等式.
18．已知函数的图象过点
（1）求的值并求函数的值域；
（2）若关于的方程有实根，求实数的取值范围；
（3）若为偶函数，求实数的值
19．已知函数
（1）求的图象的对称轴的方程；
（2）若关于的方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围
20．旅游社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15 000元．旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若旅游团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团人数最多为75人
(1)写出飞机票的价格关于旅游团人数的函数；
(2)旅游团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
21．已知向量，，设函数
Ⅰ求函数的最小正周期和单调递增区间；
Ⅱ求函数在区间的最大值和最小值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，先求圆心到直线的距离，再求半径的范围
【详解】解：圆的圆心坐标，圆心到直线的距离为：，
又圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，满足，
即：，解得
故半径的取值范围是，（如图）
故选：

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想，属于中档题
2、D
【解析】根据图象可得：，，，.，
则.令，，，而函数.即可求解.
【详解】解：函数，的图象如下：

根据图象可得：若方程有四个不同的解，，，，且，
则，，，.
，，
则.
令，，，而函数在，单调递增.
所以，则.
故选：D.
【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意借助图象分析问题，属于中档题.
3、D
【解析】地球上的小河流不确定，因此不能够构成集合，选D.
4、C
【解析】
由已知可得AD⊥DC
又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，则BE⊥CD
在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B的平面角
∵EF=（三角形ACD的中位线），BE=（正三角形BCD的高），BF=（等腰RT三角形ABC，F是斜边中点）
∴cos∠BEF=
故选C．
5、B
【解析】由散点图直接选择即可.
【详解】解：由散点图可知，植物高度增长越来越缓慢，故选择对数模型，
即B符合.
故选：B.
6、C
【解析】利用对数的运算性质求出，由此可得答案.
详解】
,
所以.
故选：C
7、D
【解析】
根据题意，依次判断选项中函数的奇偶性、单调性，从而得到正确选项.
【详解】根据题意，依次判断选项：
对于A，，是非奇非偶函数，不符合题意；
对于B，，是余弦函数，是偶函数，
在区间上不是单调函数，不符合题意；
对于C，，是奇函数，不是偶函数，不符合题意；
对于D，，是二次函数，其开口向下对称轴为y轴，
既是偶函数又在上单调递增，
故选：D.
8、A
【解析】先求出，，再根据向量共线求解即可.
【详解】由题得，
因为与共线，

.
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算和向量共线的坐标表示意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
9、C
【解析】直接利用已知条件，转化求解弦所对的圆心角即可．
【详解】圆的一条弦长等于半径，故由此弦和两条半径构成的三角形是等边三角形， 所以弦所对的圆心角为．
故选C．
【点睛】本题考查扇形圆心角的求法，是基本知识的考查．
10、C
【解析】由斜率的计算公式计算即可
【详解】因为直线过，两点，所以直线的斜率为.
【点睛】本题考查已知两点坐标求直线斜率问题，属于基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、①④
【解析】利用和线性相关等价于和是共线向量，故①正确，②不正确，④正确．通过举反例可得③不正确
【详解】解：若、线性相关，假设λ≠0，则，故和是共线向量
反之，若和是共线向量，则，即λμ0，故和线性相关
故和线性相关等价于和是共线向量
①若2 ，则2 0，故和线性相关，故①正确
②若和为非零向量，⊥，则和不是共线向量，不能推出和线性相关，故②不正确
③若和线性相关，则和线性相关，不能推出若和线性相关，例如当时，
和可以是任意的两个向量．故③不正确
④向量和线性相关的充要条件是和是共线向量，故④正确
故答案为①④
【点睛】本题考查两个向量线性相关的定义，两个向量共线的定义，明确和线性相关等价于和是共线向量，是解题的关键
12、410
【解析】由题意列出电费（元）关于用电量（度）的函数，令，代入运算即可得解.
【详解】由题意，电费（元）关于用电量（度）的函数为：
，
即，
当时，，
若，，则，解得.
故答案为：410.
13、
【解析】因为奇函数的定义域为，若在上单调递减，所以在定义域上递减，且，所以 解得，故填.
点睛：利用奇函数及其增减性解不等式时，一方面要确定函数的增减性，注意奇函数在对称区间上单调性一致，同时还要注意函数的定义域对问题的限制，以免遗漏造成错误.
14、
【解析】根据偶次方根式下被开方数非负，有因此函数定义域，注意结果要写出解集性质.
考点：函数定义域
15、
【解析】由题意得，，又因为，则的取值范围是
16、
【解析】根据二分法的步骤可求得结果.
【详解】令，
因为，，，
所以下一个有根的区间是.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、答案见解析
【解析】不等式等价于，再分，和三种情况讨论解不等式.
【详解】原不等式可化为，即，
①当，即时，；
②当，即时，原不等式的解集为；
③当，即时，.
综上知：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时原不等式的解集为.
18、（1）（2）（3）
【解析】（1）函数图象过，代入计算可求出的值，结合对数函数的性质可求出函数的值域；（2构造函数，求出它在上的值域，即可求出的取值范围；（3）利用偶函数的性质，即可求出
【详解】（1）因为函数图象过点，所以，解得.
则，
因为，所以，
所以函数的值域为.
（2）方程有实根，即，有实根，
构造函数，
则，
因为函数在R上单调递减，而在（0，）上单调递增，
所以复合函数是R上单调递减函数
所以在上，最小值，最大值为，即，
所以当时，方程有实根
（3），是R上的偶函数，
则满足，
即恒成立，
则恒成立，
则恒成立，
即恒成立，
故，则恒成立，
所以.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，及对数函数的性质，属于中档题
19、（1），
（2）
【解析】（1）先将解析式化成正弦型函数，然后利用整体代换即可求得对称轴方程.
（2）方程有两个不同的实数根转化成图像与有两个交点即可求得实数的取值范围
【小问1详解】
，
由，，得，
故的图象的对称轴方程为，
【小问2详解】
因为，当时，不满足题意；
当时，可得．画出函数在上的图象，

由图可知或，解得
或．综上，实数a的取值范围为
20、（1）.
(2) 旅游团人数为60时，旅行社可获得最大利润
【解析】（1）根据自变量 的取值范围，分0或，确定每张飞机票价的函数关系式；
（Ⅱ）利用所有人的费用减去包机费就是旅行社可获得的利润，结合自变量的取值范围，可得利润函数，结合自变量的取值范围，分段求出最大利润，从而解决问题
【详解】(1)设旅游团人数为人，飞行票价格为元，依题意，当，且时，，当，且时，y＝900－10(x－30)＝－10x＋1 200.
所以所求函数为
y＝
(2)设利润为元，则

当，且时， (元)，
当，且时，元，因为21 000元>12 000元，
所以旅游团人数为60时，旅行社可获得最大利润
【点睛】此题考查了分段函数以及实际问题中的最优化问题，培养学生对实际问题分析解答能力，属于中档题
21、 (Ⅰ)最小正周期是，增区间为，；(Ⅱ)最大值为5，最小值为4
【解析】Ⅰ根据向量数量积，利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；Ⅱ根据的范围得的范围，结合正弦函数的单调性可得的最大最小值
【详解】Ⅰ，，

，
，
由，得，
所以的增区间为，；
Ⅱ， ，
可得
，
的最大值为5，最小值为4
【点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，三角函数的图象与性质为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.