2025年陕西省西安市西北大学附中数学高一上期末统考模拟试题含解析.doc

2025年陕西省西安市西北大学附中数学高一上期末统考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
2．设，则的大小关系是（）
A. B.
C. D.
3．已知函数，若方程有8个相异实根，则实数的取值范围
A. B.
C. D.
4．已知a > b，则下列式子中一定成立的是（）
A. B.|a|> |b|
C. D.
5．总体由编号为01，02，...，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）
79619507840313795103209443168317
18696254073892615789810641384975
A.20 B.18
C.17 D.16
6．如图，网格线上小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的体积是

A.3 B.2
C. D.
7．箱子中放有一双红色和一双黑色的袜子，现从箱子中同时取出两只袜子，则取出的两只袜子正好可以配成一双的概率为（）
A. B.
C. D.
8．已知直线是函数图象的一条对称轴，的最小正周期不小于，则的一个单调递增区间为（）
A. B.
C. D.
9．已知函数，下列结论中错误的是（ ）
A.的图像关于中心对称
B.在上单调递减
C.的图像关于对称
D.的最大值为3
10．已知集合，若，则（）
A.-1 B.0
C.2 D.3
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，若正实数，满足，则的最小值是____________
12．已知，，试用a、b表示________.
13．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是________
14．在正三角形中，是上的点，，则________
15．命题，，则为______.
16．若函数的图象与的图象关于对称，则_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知在第一象限，若，，，求：
（1）边所在直线的方程；
18．在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系为：

根据表格中的数据画出散点图如下：

为了描述从第小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：
①，②，③
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
（2）利用和这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到百万个
19．已知角的终边经过点，试求：
（1）tan的值；
（2）的值.
20．函数是定义在上的奇函数，且.
（1）确定函数的解析式；
（2）用定义证明在上是增函数.
21．已知向量，，，，函数，的最小正周期为
（1）求的单调增区间；
（2）方程；在上有且只有一个解，求实数n的取值范围；
（3）是否存在实数m满足对任意x1∈[-1，1]，都存在x2∈R，使得++m（-）+1＞f（x2）成立．若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据二次函数的图象与性质，可知区间在对称轴的右面，即，即可求得答案.
【详解】函数为对称轴开口向上的二次函数，
在区间上是单调增函数，
区间在对称轴的右面，即，
实数的取值范围为.
故选B.
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，明确二次函数的对称轴、开口方向与函数的单调性的关系是解题关键.
2、B
【解析】利用“”分段法确定正确选项.
详解】，，
所以.
故选：B
3、D
【解析】画出函数的图象如下图所示．由题意知，当时，；当时，

设，则原方程化为，
∵方程有8个相异实根，
∴关于的方程在上有两个不等实根
令，
则，解得
∴实数的取值范围为．选D
点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．本题中在结合函数图象分析得基础上还用到了方程根的分布的有关知识
4、D
【解析】利用特殊值法以及的单调性即可判断选项的正误.
【详解】对于A，若则，故错误；
对于B，若则，故错误；
对于C，若则，故错误；
对于D，由在上单调增，即，故正确.
故选：D
5、D
【解析】利用随机数表从给定位置开始依次取两个数字，根据与20的大小关系可得第5个个体的编号.
【详解】从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始由左向右依次选取两个数字，
小于或等于20的5个编号分别为：07，03，13，20，16，
故第5个个体编号为16.
故选：D.
【点睛】本题考查随机数表抽样，此类问题理解抽样规则是关键，本题属于容易题.
6、D
【解析】由三视图可知该几何体为有一条侧棱与底面垂直的三棱锥．其体积为
故选D
7、B
【解析】先求出试验的样本空间，再求有利事件个数，最后用概率公式计算即可.
【详解】两只红色袜子分别设为，，两只黑色袜子分别设为，，这个试验的样本空间可记为，共包含6个样本点，记为“取出的两只袜子正好可以配成一双”，则，包含的样本点个数为2，所以.
故选：B
8、B
【解析】由周期得出的范围，再由对称轴方程求得值，然后由正弦函数性质确定单调性
【详解】根据题意，，所以，，，所以，，故，
所以.令，，
得，.令，得的一个单调递增区间为.
故选：B

9、B
【解析】根据三角函数的性质，依次整体代入检验即可得答案.
【详解】解:对于A选项,当时,,所以是的对称中心,故A选项正确;
对于B选项,当时, ,此时函数在区间上不单调，故B选项错误；
对于C选项，当时,，所以的图像关于对称，故C选项正确；
对于D选项，的最大值为，故D选项正确.
故选：B
10、C
【解析】根据元素与集合的关系列方程求解即可.
【详解】因为，所以或，
而无实数解，所以.
故选：C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、9
【解析】根据指数的运算法则，可求得，根据基本不等式中“1”的代换，化简计算，即可得答案.
【详解】由题意得，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是9
故答案为：9
12、
【解析】根据对数式指数式互化公式，结合对数换底公式、对数的运算性质进行求解即可.
【详解】因为，所以，因此有：
，
故答案为：
13、 (0,1)
【解析】结合二次函数的性质得得到，在-1和1处的函数值均小于0即可.
【详解】结合二次函数的性质得得到，在-1和1处的函数值均小于0即可，实数m满足不等式组解得0形的性质以及向量的数量积的定义式，结合向量的特点，可以确定，故答案为
考点：平面向量基本定理，向量的数量积，正三角形的性质
15、，
【解析】由全称命题的否定即可得解.
【详解】因为命题为全称命题，
所以为“，”.
故答案为：，.
16、
【解析】求出的反函数即得
【详解】因为函数的图象与的图象关于对称，所以是的反函数，
的值域是，
由得，即，所以
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）或.
【解析】（1）直接写出直线方程得解；
（2）求出直线的斜率即得解.
小问1详解】
解因为，，
所以直线所在直线方程为.
【小问2详解】
解：当点在直线上方时，由题得直线的斜率为，
所以边所在直线点斜式方程为；
当点在直线下方时，由题得直线的斜率为，
所以边所在直线的点斜式方程为.
综合得直线的方程为或.
18、（1），理由见解析；
（2），至少再经过小时，细菌数量达到百万个
【解析】（1）分析可知，所选函数必须满足三个条件：（ⅰ）定义域包含；（ⅱ）增函数；（ⅲ）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小．对比三个函数模型可得结论；
（2）将所选的两点坐标代入函数解析式，求出参数值，可得出函数模型的解析式，再由，解该不等式即可得出结论.
【小问1详解】
解：依题意，所选函数必须满足三个条件：
（ⅰ）定义域包含；
（ⅱ）增函数；
（ⅲ）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小
因为函数的定义域为，时无意义；
函数随着自变量的增加，函数值的增长速度变大
函数可以同时符合上述条件，所以应该选择函数
【小问2详解】
解：依题意知，解得，所以
令，解得
所以，至少再经过小时，细菌数量达到百万个
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据特殊角的三角函数值，结合正切函数的定义进行求解即可；
（2）利用同角的三角函数关系式进行求解即可.
【小问1详解】
∵，
，
∴点P的坐标为(1，3)，由三角函数的定义可得：

；
【小问2详解】

.
20、（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由函数是定义在上的奇函数，则，解得的值，再根据，解得的值从而求得的解析式；
（2）设，化简可得，然后再利用函数的单调性定义即可得到结果
【详解】解：（1）依题意得∴
∴∴
（2）证明：任取，∴
∵，∴，，，
由知，，∴.
∴.∴在上单调递增.
21、（1），（2）或（3）存在，且m取值范围为
【解析】（1）函数，的最小正周期为．可得，即可求解的单调增区间
（2）根据x在上求解的值域，即可求解实数n的取值范围；
（3）由题意，求解最小值，利用换元法求解的最小值，即可求解m的范围
【详解】（1）函数f（x）•1＝2sin2（ωx）cos（2ωx）﹣1
＝sin（2ωx）cos（2ωx）
＝2sin（2ωx）
∵f（x）的最小正周期为π．ω＞0
∴，
∴ω＝1
那么f（x）的解析式f（x）＝2sin（2x）
令2x，k∈Z
得：x
∴f（x）的单调增区间为[，]，k∈Z
（2）方程f（x）﹣2n+1＝0；在[0，]上有且只有一个解，
转化为函数y＝f（x）+1与函数y＝2n只有一个交点
∵x在[0，]上，
∴（2x）
那么函数y＝f（x）+1＝2sin（2x）+1的值域为[，3]，结合图象可知
函数y＝f（x）+1与函数y＝2n只有一个交点
那么2n＜2或2n＝3，
可得或n＝
（3）由（1）可知f（x）＝2sin（2x）
∴f（x2）min＝﹣2
实数m满足对任意x1∈[﹣1，1]，都存在x2∈R，
使得m（）+1＞f（x2）成立
即m（）+1＞﹣2成立
令ym（）+1
设t，那么（）2+2＝t2+2
∵x1∈[﹣1，1]，
∴t∈[，]，
可得t2+mt+5＞0在t∈[，]上成立
令g（t）＝t2+mt+5＞0，
其对称轴t
∵t∈[，]上，
∴①当时，即m≥3时，g（t）min＝g（），解得；
②当，即﹣3＜m＜3时，g（t）min＝g（）0，解得﹣3＜m＜3；
③当，即m≤﹣3时，g（t）min＝g（）0，解得m≤﹣3；
综上可得，存在m，可知m的取值范围是（，）
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题